Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004) (1076130), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.7). Рис. 1.7, Поток энергии излучения, падающий на элементарную плошадку Тепловое излучение в любой точке пространства вблизи выделенной площадки равномерно распределено по всевозможным направлениям в пределах телесного угла 4к. Поэтому плотность энергии излучения, приходящегося на телесный угол с11л= = яп Ос10йгр, т. е. падающего на площадку М под углом 0 к ее нормали, можно записать в виде с1й = и)Т) —. с1й 4л (1.13) Но если излучение с такой плотностью энергии, распространяясь со скоростью света в вакууме с, падает на площадку ЛЯ под 21 углом О к нормали, то за время Ьт на эту площадку попадает вся энергия излучения, заключенная в заштрихованном на рис. 1.7 объеме, т. е.
Ив = ИйсЬгЬэ' = ЫйсЬгЫ сов 8 = — и(Т) соя Вз1п Ог1дйрЬБЬг. (1.14) 4н Суммируя энергии излучений, падающих под всевозможными углами, находим полный поток энергии Ф излучения, падающего на единицу поверхности в единицу времени: 2я Ф= — 'и(Т) ) г1р~ В 1пВаЕ=— ' и(Т). (1.15) 4н 4 В состоянии термодинамического равновесия такой же поток энергии излучения должен испускаться с единицы поверхности абсолютно черного тела.
Но этот поток энергии, по определению, есть энергетическая светимость абсолютно черного тела. Поэтому Я = — и(Т), или и(Т) = — Я . 4 с (1.16) Проведенные выше выкладки справедливы и для каждой спектральной составляющей излучения частотой ш Поэтому аналогичным соотношением связаны спектральная испускательная способность абсолютно черного тела г г и спектральная объемная плотность энергии равновесного теплового излучения и с 4, гв,г= — цайт нли но,г= — го,т (1.17) 4 с 22 Формула Рэлен — Джинса. В рассмотренной выше полости кубической формы с идеально отражающими стенками тепловое излучение как электромагнитное поле может существовать только в виде суперпозиции прямых и отраженных волн, т. е. в виде стоячих электромагнитных волн, имеющих узлы на стенках полости.
Направим оси декартовой системы координат вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер кубической полости (рис. 1.8) и обозначим через е„е и е, единичные орты вдоль соответствующих осей координат. Тогда для волны, распространяющейся строго вдоль оси х, условие образования стоячей волны имеет вид Х 1 = ис †, ис = 1, 2, 3... 2 (1.18) т. е.
на длине 1 между отражающими стенками должно укладываться целое число длин полу- волн. Так как для такой волны волновой вектор 1с = )с„ е„ где 2л 1с = †, то условие образования х )„' стоячей волны в направлении оси х можно записать и как условие на волновое число: Рис. 1.8. Кубическая полость 1с =ис —, из =1, 2, 3, ... (1.19) с тепловым излучением х 1с=1с,е„+1с е +й е, должны выполняться условия л л и 1с =ис —, 1с =и2 —, 1с =из —. х 1 У 1 ' 7 (1.20) Здесь ис, из и из — целочисленные параметры, принимающие независимо друг от друга значения О, 1, 2 и т. д. 23 Аналогичные рассуждения для волн, распространяющихся вдоль осей у и т, позволяют сформулировать общий вывод о том, что для стоячей волны, являющейся суперпозицией прямых и отраженных волн, распространяющихся в кубической полости в произвольном направлении, задаваемом волновым вектором ческой поверхности в пространстве У": „г г г г (1.23) о31 где Я = — — радиус сферы.
Ес Теперь число У стоячих волн в полости, частоты которых не превосходят значения а, можно определить, подсчитав число изображающих точек из положительного октанта пространства У, попавших в шар радиуса К Так как с каждой точкой в пространстве Е связана ячейка единичного объема, то объем 1/8 части шара радиуса Я и определяет искомое число точек (стоячих волн). Поэтому 1 4 1оз313 1 юЗ Ж=-.-лй'= — = — У. 8 3 бягсЗ блг 3 (1.24) У =2Ф= — У. Зяг 3 (1.25) Дифференцируя (1.25) по частоте, найдем число стоячих волн в полости, попадающих в интервал частот от ю до ю+ Ыг»: 2 дМ= У. 2 3 (1.26) 25 Здесь У =1 — объем полости, в которой заключено рассматри- 3 ваемое равновесное тепловое излучение. Следует учесть, что электромагнитные волны — поперечные волны и в каждом направлении 1с в полости в общем случае могут распространяться две волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Поэтому число стоячих волн с частотой, не превышающей з данного значения оь следует определить как Если теперь через (е) обозначить среднюю энергию стоячей электромагнитной волны частоты а, то, согласно определению спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения, имеем Отсюда, с учетом (1.26), находим, что Оз "ехт = г 3Ж пс (1.27) Я = — ИТ+ — ИТ = йт. 1 1 2 2 (1.28) Из (1.27) получаем (1.29) С помощью соотношений (1.17) это выражение для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения можно пре- образовать в формулу Рэлея — Джинса для испускательной спо- собности абсолютно черного тела: 26 Развивая теорию теплового излучения, Д. Рэлей (1900) и Д.
Джинс (1905) предложили рассмотреть каждую стоячую электромагнитную волну как объект с двумя степенями свободы, одна из которых — электрическая, а другая — магнитная. Согласно классической теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы, в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы системы приходится в среднем энергия, равная — йТ, где й = 1,38 10 Дж/К вЂ” посто- 1 -23 2 янная Больцмаиа. Поэтому для равновесного теплового излучения при температуре Т на каждую стоячую электромагнитную волну частотой ю приходится в среднем энергия 2 гат — 2 2кТ.
4л с Формула Рэлея — Джинса достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными об излучении абсолютно черного тела в области малых частот или больших длин волн и резко расходится с опытом для больших частот нли малых длин волн излучения. Кроме того, интегрируя (1.29) и (1.30) по всем частотам, мы получаем бесконечные значения для интегральной плотности энергии равновесного теплового излучения и(Т) и для энергетической светимости абсолютно черного тела Я . Действительно, и(Т) = — Я = ~ивх т доз= 2 з ~ш доз-~ 4, /сТ о "' о Таким образом, из классической теории теплового излучения следует вывод о том, что при конечных значениях энергии излучения равновесие между веществом и излучением невозможно, но он противоречит опыту. Этот противоречивый результат, содержащийся в формуле Рэлея — Джинса, вывод которой с точки зрения классической теории не вызывал сомнений, П.
Эренфест назвал "ультрафиолетовой катастрофой ". Гипотеза о квантах. Формула Планка. "Ультрафиолетовая катастрофа" показала, что классическая физика содержит ряд принципиальных внутренних противоречий, которые проявились в теории теплового излучения и разрешить которые можно только с помощью принципиально новых физических идей. Такая физическая идея была сформулирована в 1900 г. М. Планком в виде гипотезы о квантах. Согласно этой гипотезе, излучение испускается и поглощается веществом не не е ывно, а конечными порциями эне гии, кото ые Планк назвал квантами Энергия кванта зависит от частоты излучения н определяется по формуле Е=Зп, илн Е=лш (1.31) 27 Здесь Ь = 2ял — новая фундаментальная физическая константа, которую называют постоянной Планка.
Экспериментально опре- деленное с большой точностью значение этой константы в соот- ветствии с современными данными равно Ь=(6,6261810,00004) 10 Дж с. Так как размерность этой постоянной "энергия Х время" совпадает с размерностью величины, которую в механике называют действием, то постоянную Планка называют также квантом действия. Гипотеза Планка о квантах нарушила "незыблемое" правило классической физики о том, что любая физическая величина, в том числе и энергия, изменяется непрерывным образом и за бесконечно малый промежуток времени ее изменение всегда бесконечно малб. Эта гипотеза оказала огромное влияние на последующее развитие физики.
Именно развитие гипотезы Планка о квантах, высказанной в начале ХХ в., привело к появлению квантовой механики — современной физической теории, в которой идея квантования, или дискретности, распространяется на различные физические величины, характеризующие состояние системы. В этом смысле 1900 г. можно назвать годом рождения квантовой физики, которая за последующие сто лет бурно развивалась и позволила создать законченную и непротиворечивую картину микромира на уровне атомных явлений.
На первом этапе с помощью гипотезы о квантовании энергии излучения Планку удалось дать исчерпывающее теоретическое описание равновесного теплового излучения, сняв все противоречия классической теории. Основное отличие квантовой теории излучения от классической обнаруживается уже при расчете средней энергии излучения частотой в. С учетом гипотезы Планка среднюю энергию излучения определяют по формуле (в)= ~Р„В. я=о (1.32) 28 Здесь в„= пню — возможные значения энергии излучения; Є— вероятность того, что в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т излучение будет иметь энергию в„. Эту вероятность можно оценить с помощью распределения Больцмана, записав ее с точностью до некоторой константы в виде ел Р А ~т л (1.33) Если учесть, что ,') Рл = 1, то для константы А получим знал=о чение Таким образом, в квантовой теории излучения среднее значение энергии излучения частотой го определяется из следующего выражения: (1.34) ЛОЗ где с= —.
АТ Сумму, стоящую в знаменателе выражения (1.34), определим по формуле геометрической прогрессии 5= Ге "л= 1-е ~ (1.35) Формально дифференцируя это соотношение по г„находим сумму ряда, стоящего в числителе формулы (1.34): Х = г л=о '~ (1 -ь) (1.36) 29 кт (е) = ~е ьт ~) ле '~ = ллл— е л~ л=о Подставляя найденные значения сумм в (1.34), получаем оконча- тельно выражение для средней энергии излучения частотой оз в квантовой теории (1.37) вы 1 Й~~ йоз — Лго Заметим, что на малых частотах, когда — «1 и еот 1+ —, ИТ АТ из (1.37) получаем формулу классической теории: (а) = кТ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
