Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004), страница 7

е. соответствуют излучению большей частоты, чем фотоны, догоняющие движущегося наблюдателя. Экспериментально установлено, что Солнце движется относительно фона реликтового излучения со скоростью примерно 400 км/с в направлении созвездия Льва. Задача 15. Определите число фотонов в единице объема пространства, заполненного равновесным тепловым излучением прн температуре Т. Реьмение. Если ввести объемную концентрацию л, фотонов излучения из интервала частот от в до а+Ив, то искомая концентрация фотонов излучения всевозможных частот определится как аф = ~а„фш о По определению, спектральная обьемная плотность энергии нзлуче ння ищ г = Лом .

Поэтому, с учетом формулы Планка (1.38), нахо дим, что 42 Несобственный интеграл 1 может быть вычислен. Его приближенное значение равно 2,4. Поэтому окончательно для расчета концентрации фотонов получаем формулу 1,%' По этой формуле находим, в частности, что лф =9 10 м при 9 — 3 Т =10 К и лф =9 10 м при Т=1000 К. Такая зависимость кон-1б .3 цеитрации частиц от температуры является характерной особенностью фотонного газа. Задача 1.6. В теории "горячей" Вселенной считается, что "отрыв" излучения от вещества на ранней стадии эволюции Вселенной произошел при температуре Т, =ЗОООК и плотности вещества р„= =10 кгlм . Считая, что в настоящее время плотность вещества во -17 3 Вселенной ро =10 кгlм, оцените температуру реликтового излу- -26 3 челна на современном этапе эволюции Вселенной. Решение.

Предположим„что излучение, заполняюшее всю Вселенную, расширяется вместе с ней адиабатно. Тогда, с учетом (1.52), находим, что Т У ТО У О з з где То — искомая температура реликтового излучения в настоящее время, а Ч„и Ъо — объемы расширяющейся Вселенной соответственно на ранней и современной стадиях ее эволюции. Считая массу вещества Вселенной неизменной и равной М, оп- М М ределим плотности вещества р, = — и ро = —. Тогда У* Уо т = — т,= — т,. з 1'* з Ро з го Р* 32 Отсюда получаем 43 Подставляя значения плотностей р, и рс, находим, что 19-з .

До такой температуры "остыло" излучение в расширяющейся Все- ленной к настоящему времени. 1.4. Квантовая оптика В соответствии с основными положениями квантовой теории Планка и Эйнштейна излучение, и в частности видимый свет, обладает корпускулярными свойствами. Очевидно, что при определенных условиях эти свойства должны проявляться в оптических экспериментах. Класс оптических явлений, для объяснения которых следует использовать представления о квантах энергии излучения и их носителях — фотонах, получил название явлений квантовой оптики. Такие явления связаны прежде всего с взаимодействием излучения с веществом, которое удается описать как взаимодействие частиц излучения (фотонов) с частицами вещества.

Рассмотрим два таких явления квантовой оптики. Фотоэффект. Определим внешний фотоэффект как явление испускания электронов вещества под действием излучения. Впервые фотоэффект был открыт в 1887 г. Г. Герцем, который обнаружил, что искровой разряд между двумя металлическими шариками происходит значительно интенсивнее, если один из шариков освещать ультрафиолетовым излучением. Измерение удельного заряда частиц, вылетающих из металла под действием излучения, позволило установить, что эти частицы являются электронами (Ф. Ленард, Дж. Дж. Томсон, 1899). Хотя эмиссия электронов под действием излучения наблюдается практически у всех веществ, наиболее часто фотоэффект связывают с металлами, в которых существуют оторванные от атомов "свободные" электроны, удерживаемые внутри металла некоторым энергетическим барьером вблизи его поверхности.

Преодолевая этот барьер при вылете из металла, электрон совершает работу выхода, затрачивая на нее часть своей кинетической энергии. Работа выхода А, электронов из металлов имеет значение порядка нескольких электрон-вольт. Детальное экспериментальное исследование закономерностей внешнего фотоэффекта для металлов было выполнено в 1888 г. А.Г.

Столетовым на установке с фотоэлементом (рис. 1.12.) Фотоэлемент в виде вакуумной двухэлектродной лампы имеет металлический катод К, который при освещении его через кварцевое окошко видимым светом или ультрафиолетовым излучением испускает электроны. Вылетевшие из катода фотоэлектроны, достигая анода А, обеспечивают протекание в цепи электрического тока, который фиксируется гальванометром или миллиамперметром.

Специальная схема подключения источника позволяет изменять полярность напряжения, подаваемого на фотоэлемент. Качественный вил вольт-ампериой характеристики такого фотоэлемента, т. е. зависимости фототока 1 от напряжения У между катодом и анодом для случая неизменного светового потока, падающего на катод, представлен на рис. 1.13. Рис. 1.12. Схема установки Столетова для изучения фотоэффекта Положительное напряжение соответствует ускоряющему электрическому полю, в которое попадают вылетающие из катода электроны. Поэтому в области положительных напряжений все испускаемые катодом электроны достигают анода, обусловливая фототок насыщения 1„„. 45 -и, о У Рис.

1.13. Вольт-амперная характеристика фотоэффекта 1 2 Е = — гпоп = еУз. 2 (1.54) Небольшой спад фототока при малых положительных напряжениях, который наблюдается в опытах, связан с контактной разностью потенциалов между катодом и анодом. Далее при обсуждении закономерностей фотоэффекта мы будем пренебрегать влиянием контактной разности потенциалов. При отрицательном напряжении (У < 0) нспущенный катодом электрон попадает в тормозя1цее электрическое поле, преодолеть которое он может, лишь имея определенный запас кинетической энергии.

Электрон с малой кинетической энергией, вылетев нз катода, не может преодолеть тормозящее поле и попасть на анод. Такой электрон возвращается на катод, не давая вклада в фототок. Поэтому плавный спад фототока в области отрицательных напряжений указывает на то, что вылетающие из катода фотоэлектроны имеют разные значения кинетической энергии. При некотором отрицательном напряжении, модуль которого Уз называют задерживающим напряжением (потенциалом), фототок становится равным нулю.

Соответствующее тормозящее электрическое поле при этом задерживает все вылетающие из катода электроны, включая электроны с максимальной кинетической энергией Е,„. Измерив задерживающее напряжение, можно определить эту максимальную энергию или максимальную скорость и фотоэлектронов из соотношения Экспериментально были установлены следующие основные законы фотоэффекта. 1. Для монохроматического света определенной длины волны фототок насыщения пропорционален световому потоку, падающему на катод. 2.

Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов не зависит от величины светового потока, а определяется лишь частотой излучения. 3. Для каждого вещества катода существует своя граничная частота ч„, такая, что излучение с частотой ч < ч„фотоэффекта не вызывает. Эту граничную частоту называют частотой красной границы фотоэффекта. По шкале длин волн ей соответствует длина волны красной границы Х„, такая, что эмиссию электронов из данного металла вызывает излучение лишь с меньшей длиной волны (Х < 3.„).

Попытки объяснить закономерности фотоэффекта используя классическую волновую теорию, в которой излучение рассматривалось как электромагнитные волны, приводили к выводам, противоположным наблюдаемым в эксперименте. Действительно, поскольку согласно этой теории вырывание электронов из металла обусловлено силовым воздействием на них со стороны электрического поля волны, то максимальная кинетическая энергия фото- электронов должна определяться световым потоком, падающим на катод.

Наличие красной границы у фотоэффекта также противоречило выводам волновой теории. Именно для объяснения экспериментов по фотоэффекту в 1905 г. А. Эйнштейн едложил кон еп ию отонов как ча тиц и ения нес их квант эне гии. Рассмотрев процесс взаимодействия излучения с металлом как процесс неупругого соударения фотона со свободным электроном металла, Эйнштейн легко объяснил закономерности фотоэффекта. Действительно, в таком процессе электрон получает всю энергию от фотона, которая пропорциональна частоте излучения. Число же вырванных из металла электронов и, следовательно, фототок насыщения пропорциональны числу падающих на металл фотонов, которое определяется величиной потока энергии излучения.

Если в такой модели процесса пренебречь потерями энергии электрона при его движении внутри металла по направлению к поверхности, то из закона сохранения энергии следует соотношение 47 Ьч=А +Е, (1.55) которое называют уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэфг фекла. Здесь Е = — максимальная кинетическая энергия 2 нерелятивистских фотоэлектронов. Из этого уравнения непосредственно вытекают второй и третий законы фотоэффекта. Действительно, из (1.55) следует, что максимальная энергия фотоэлектронов зависит от частоты падающего на металл излучения.

Кроме того, если )п < А„то фотоэффекг не должен наблюдаться. Отсюда для частоты и длины волны красной границы фотоэффекта получаем простые формулы (1.56) Ь ~ А из которых следует, что этн характеристики полностью определяются значением работы выхода электрона из металла. Таким образом, квантовая теория излучения в отличие от волновой теории с успехом объясняет явление фотоэффекта. Единственным возражением против квантового объяснения мог бы стать известный (см. задачу 1.7) вывод теории о том, что свободный эле н не может поглотить отри, ибо такой процесс противоречит законам сохранения энергии и импульса.

Это возражение, о пако, снимается, если есть, что в металле эле он взаимо- действует с атомами кристаллической ешетки. Поэтому при поглощении электроном тона часть импульса фотона может быть передана кристаллической решетке металла. Квантовую природу фотоэффекта подтверждают также опыты Э. Майера и В. Герлаха, которые в 1914 г. исследовали фотоэлектрический эффект на мельчайших частицах металлической пыли. В этих опытах удалось оценить время, за которое частица получает энергию от излучения, достаточную для эмиссии электрона.