Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Квантовая физика (2004), страница 5

Однако в области больших частот отличие средней энергии излучения, рассчитанной по формулам (1.28) и (1.37), становится существенным. Но именно в этой области частот классическая теория излучения приводит к "ультрафиолетовой катастрофе". Квантовая теория излучения разрешает это противоречие теории и эксперимента. Действительно, подставляя (1.37) в (1.27), получаем известную формулу Планка для спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения „з но,т =— 2 3 йо) акт 1 (1.38) Формула связи (1.17) позволяет также записать функцию План- ка Ьго~ 1 '„т =-~(ю,Т) =— 4л2 2 А~о ,ьт 1 (1.39) 30 описывающую испускательную способность абсолютно черного тела во всем диапазоне частот.

Функция Планка находится в соответствии с результатами экспериментальных исследований излучения абсолютно черного тела на всех частотах и при всех температурах. При малых частотах формула (1.39) квантовой теории излучения переходит в формулу (1.30) Рзлея — Джинса классической теории. При больших часто%о тах, когда лю» 14Т, с высокой точностью е хг» 1. В этом случае формула (1.39) переходит в соотношение аа й 3 У(~,Т)= е ьт 4н2с2 С1А0) Задача 1.3. Используя основные соотношения квантовой теории из- лучения, выведите закон Стефана — Больцмана и определите значе- ние постоянной Стефана — Больцмана.

Реитение. Интегрируя функцию Планка (1.39) по всем частотам, на- ходим энергетическую светимость абсолкпио черного тела. В резуль- тате интегрирования имеем 31 44Т4 3 1х * Ыг~~ 21 ае 2231 о 4кзс о Е 4ксл ое" — 1 ехг -1 Полученное соотношение соответствует закону Стефана 4 Больцмана (1.7), так как оно может быть записано в виде и = оТ, где 44 31х о= 422„31 х пс ое Значение несобственного интеграла ~хНх гхе Нх о е 1 о14 вычислим, разложив в ряд его знаменатель ~1-е ") =1+е '+е '+... 31 структуру которого предсказал еще в 1893 г. В.

Вин. Отметим, что вывод формулы Планка в квантовой теории излучения может быть проведен различными способами. Некоторые из них будут рассмотрены в последующих главах. и проинтегрировав почленно это выражение. В результате получим 3 2- 1= )х~е (1+е +е "+...)4(х=~ (хе Их=~ — ) х е ох= о =1 О =1" о 3 1 е лх ~~ 4 б~ 4 л=1л О л=1 л л=1 л Поэтому значение постоянной Стефана — Больцмана можно предста- вить через универсальные константы 14, с и й: Следует отметить, что сам Планк, пользуясь экспериментальным зна- чением и, по этой формуле впервые определил значение постоян- ной й.

Задача 1.4. С помощью функции Планка для испускательной способ- ности абсолютно черного тела определите значение постоянной Ь в законе Вина для теплового излучения. 2пс Решение. По формуле (1.3) с помощью замены переменной ю = —, преобразуя функцию Планка (1.39), находим испускательную способность абсолютно черного тела как функцию длины волны: 2ксй Вводя обозначение 2 = —, представляем функцию 1р в виде ИТ Найдем, пРи каком значении 2 = тм фУнкциЯ ~Р имеет максимУм. Дла этого, взяв производную 32 6 л=1л О 2) 4 и= =5,67 10 Вт м -К 6 263 5 1р=А, А=сопзг. е' -1 4 4 б — = —. 90 15 52~(е~ -1)-т~е' — =А г12 (, )2 и приравняв ее нулю, получим для экстремального значения 2 = 2 трансцендентное уравнение 5(егв — 1)-2 ее'" =О, 2 =5(1-е "").

Решение этого уравнения можно найти методом последовртельных приближений, считая, что е ~'" <<1. Тогда в первом приближении получаем тм = 5. Во втором приближении искомый корень уравне- 0) ния находим из соотношения 2~~~=5(1-е )=4,966. Это значение можно взять в качестве приближенного решения рассматриваемого трансцендентного уравнения. Следовательно, испускательная способность абсолютно черного тела достигает максимума при длине волны Х = Х,„, для которой = 4,966. ЗмМТ Отсюда находим, что Ъ. Т= =~9 10 м К. 4,9661 Обозначив константу в правой части этого равенства через Ь, получим закон смещения Вина: Х,„Т =Ь, в котором постоянная Ь выра° жена через универсальные константы 2г, с и й. 33 2 — 10329 1.3.

Фотонный газ н его свойства Ьс аф =Йч =— Х (1.41) лежат в широком диапазоне от нескольких электрон-вольт для видимого света (Х-500нм), до миллионов электрон-вольт для коротковолнового (жесткого) у-излучения (Х -10 нм). Для фотона, так же как для любой материальной частицы, можно определить релятивистскую массу т~.

Она связана с энергией фотона известным релятивистским соотношением: тес = еф . Отсюда, с учетом (1.41), находим, что М й с2 сХ (1.42) Фотонная теории излучения. Развивая гипотезу М. Планка о квантах, А. Эйнштейн в 1905 г. предположил, что квантовые свойства излучения (света) проявляются не только при испускании и поглощении его веществом, но и при распространении излучения в пространстве. Возрождая корпускулярную теорию света, предложенную И.

Ньютоном еще в начале ХЧШ в., А. Эйнштейн выдвинул гипотезу, согласно которой излучение можно представить состоящим из большого числа частиц, каждая из которых, обладая квантом энергии, движется в пространстве со скоростью света в вакууме с = 3 10 и/с. Рассмотрим свойства таких частиц.

Частица излучения, которую назвали фотоном, представляет собой ультрарелятивистскую незаряженную частицу. Свойства фотона могут быть описаны только с использованием основных соотношений специальной теории относительности. В частности, из этой теории следует, что фотон является уникальной элементарной частицей, имеющей нулевую массу покоя. Это означает, что фотон всегда движется со скоростью с и не может находиться в состоянии покоя. Если при неупругом столкновении с другой элементарной частицей фотон "останавливается", то он исчезает, передавая всю свою энергию этой частице. Значения энергии фотона В частности, в гравитационном поле фотон ведет себя как частица с гравитационной массой лсп —— тф. Движущийся со скоросп ю с фотон обладает импульсом, величина которого связана с его энергией релятивистским соотношением рф =аф/с, учитывающим, что масса покоя фотона равна нулю.

Отсюда следует, что М Ь 2ла )с Х (1.43) Для фотона, направление распространения которого задается 2л волновым вектором 1с, с модулем 1с = —, формулу (1.43) можно )с записать в векторном виде рф =Ыс. (1.44) 35 Опыт Боте. Можно ли экспериментально обнаружить отдельный фотон излучения? Очевидно, что сделать это будет легче, если фотон будет иметь достаточно большую энергию.

Как следует из (1.41) — (1.43), таким фотоном будет фотон коротковолнового электромагнитного излучения, например рентгеновского излучения. Эксперимент по обнаружению фотонов рентгеновского излучения был проведен В. Боте в 1925 г. В этом опыте тонкую металлическую фольгу Ф (рис. 1.10, а) облучали ренттеновским излучением. При этом фольга становилась сама источником слабого вторичного излучения.

Согласно волновым представлениям, энергия даже столь слабого излучения должна распределяться в пространстве равномерно влево и вправо. В этом случае левый и правый счетчики С„и С„должны срабатывать практически одновременно, а самописцы Л и П, связанные со счетчиками, должны оставлять метки на движущейся ленте друг против друга.

С точки зрения корпусссулярной фотонной теории излучения, при малой энергии вторичного излучения, сравнимой с энергией одного фотона, фотоны должны излучаться фольгой либо только вправо, либо только влево. Поэтому метки на ленте от самописцев Л и П не должны совпадать. Опыт (рис. 1.10, б) подтвердил вывод фотонной теории излучения и тем самым явился первым экспериментальным доказательством существования фотонов. Л П Рис. 1.10. Опыт Боте: а — схема установки; б — лента с записью регистрации фотонов В опытах, проведенных под руководством С.И.

Вавилова, было установлено, что человеческий глаз может реагировать на свет при попадании всего лишь нескольких сотен фотонов в секунду. Поэтому в слабых световых потоках флуктуации, связанные с изменением числа излучаемых фотонов, могут быть обнаружены даже визуально. Единичные фотоны с энергией порядка 0,1 эВ (инфракрасное излучение) были зарегистрированы детекторами на основе сверхпроводящего нитрида ниабия.

Уравнение состояния фотонного газа С точки зрения фотонной теории равновесное тепловое излучение можно представить в виде фотонного газа, заполняющего полость, частицы которого движутся хаотически, т. е. равновероятно по всем направлениям. Очевидно, что газ фотонов не может быть описан как классический идеальный газ. Частицы фотонного газа не имеют распределения по скоростям, а их распределение по энергиям не описывается классическим распределением Максвелла — Больцмана.

Это распределение фотонов по энергиям будет выведено после детального обсуждения квантовой теории систем тождественных частиц. Сейчас же мы ограничимся обсуждением некоторых свойств фотонного газа, вытекающих из общих термодинамическнх законов и соотношений, примененных к равновесному тепловому излучению. Зб Прежде всего получим уравнение состояния фотонного газа, связывающее его термодинамические параметры: давление, объем и температуру. Для этого, как и в молекулярно-кинетической теории газов, выведем формулу для давления фотонного газа, рассмотрев процесс передачи импульса стенке сосуда падающими на нее фотонами.