Бойт К. - Мир электроники, страница 8

В) л (А ч С) = А ч (В л С) Х=(КчМ)д(КчМ) Кч(МдМ). Выражение МлМ является логическим сложением переменной и ее инвертированного значения. По аксиоме 4 на рис. 4.6 это выражение дает результат 0: А л А =0 МлМ=О. Тогда для У: У = Кч(мл М) У=КчО т т А чб=А. Согласно аксиоме 5 (рис. 4.8) выражение (переменная ч О) равно переменной Е = К. 4.3.4. Теоремы де Моргана Английский математик де Морган (1806 — 1871) дополнил аксиомы алгебры логики теоремами, названными в его честь.

Теоремы де Моргана имеют большое практическое значение при упрощении инвертируемых выражений для логических операций с элементами И-НЕ и ИЛИ-НЕ. Существуют две теоремы де Моргана. Первая теорема де Моргана: Эта теорема доказывается с помощью таблицы истинности (рис. 4.17). Вторая теорема де Моргана: Согласно теоремам взаимно меняется тип логической операции (И и ИЛИ). Вторая теорема доказывается с помощью таблицы истинности (рис.

4.18). а "в=х в х в=х в Рис. 4.18. Таблица истинности для доказа- тельства второй теоремы Моргана. Рис. 4.17. Таблица истинности для доказа- тельства первой теоремы Моргана. Покажем важность теорем де Моргана на примере. С их помощью можно значительно упростить выражение: Р=ЯлЮчЯлЮ.

Первая часть уравнения Я до" согласно первой теореме преобразуется в Я ч Ю. Вторая часть уравнения Я д о" согласно той же теореме преобразуется в Я ч Х. Я согласно аксиоме 9 равно Я. Р=ЯЛ5чллЮ; Р=ЯчХчЯчУ; Р=ЯчХчЯчХ. Последовательность переменных изменена. Проведем преобразования по аксиомам 8, 7 и 6: Х~~Х Оз 4.3.д д д ф Теоремы де Моргана действуют также и для логических операций с большим количеством переменных: Задание Составьте таблицу истинности и проверьте истинность теоремы де Моргана для трех переменных. 4.3.5. Приоритеты логических операций Логическая операция И и ИЛИ с несколькими переменными может привести к неоднозначности.

Уравнение У = Ам ВлС может быть решено двумя способами. Можно сначала сложить переменные А и В, затем умножить результат на С. Соответствующая схема и таблица истинности изображены на рис. 4.19. С другой стороны, можно сначала перемножить переменные В и С, а результат сложить с А. Соответствующая схема и таблица истинности изображены на рис. 4.20. Ув этих двух вариантах является результатом абсолютно разных логических операций. Неоднозначность можно устранить с помощью скобок. В первом случае нужно писать Х = (А и В) л С. Во втором случае — У = А и (В л С). и в> с Рис.

4Л9. Схема и таблица истинности лля функции У = (А х В) л С. с л ~в с1 Рис. 4.20. Схема и таблица истинности лля функции У = А л (В х С). ~~6 Г 4А бр От скобок можно отказаться, если ввести приоритеты логических операций. Логическая операция с более высоким приоритетом выполняется перед другими логическими операциями. Приоритет существует и в обычной алгебре. Умножение и деление имеют там более высокий приоритет перед сложением и вычитанием.

В алгебре логики более высокий приоритет имеет операция логического умножения И. Операция логического умножения И выполняется перед логическим сложением ИЛИ. к,=АчВл С==ФАн(Вл С). Теперь рассмотренное выше уравнение становится однозначным. Если в выражении алгебры логики присутствуют операции логического умножения и сложения, то переменные, связанные логическим умножением, должны читаться так, как будто взяты в скобки. 4.4. Функции И-НЕ и ИЛИ-НЕ Алгебра логики построена на трех основных логических операциях — И, ИЛИ и НЕ. На элементах, выполняющих эти операции, можно реализовать любую логическую функцию. Поэтому элементы И, ИЛИ и НЕ называются основными. Из первой теоремы де Моргана следует, что элемент логического умножения всегда может быть заменен элементом ИЛИ и несколькими элементами НЕ: АлВ=АчВ; АлВ=АчВ. Это означает, что без элементов И можно обойтись.

Отсюда следует правило: Любая логическая функция может быть реализована только на элементах ИЛИ и НЕ. Вентили ИЛИ и НЕ можно реализовать на элементах ИЛИ-НЕ (рис. 4.21). Если соединить входы элемента ИЛИ-НЕ вместе, то получится элемент НЕ. Элемент ИЛИ получается путем инвертирования выхода ИЛИ-НЕ. Для этого к выходу элемента ИЛИ-НЕ последовательно подключается еще один элемент ИЛИ-НЕ, который действует как элемент НЕ (рис.

4.21). Вентиль И может быть образован согласно уравнению, следующему из первой теоремы де Моргана: А л В = А ж В. 4.4. Я4 4 Л-ЛГ ХЯХ-ХГ 4ф Рис. 4.21. Вентили ИЛИ и НЕ, реа- лизованные на логических элемен- тах ИЛИ-НЕ. не я -'>я я >~яв я а~ ез яв=я в в в я в а я в н в ':П-— в=я в Рис. 4.22. Вентиль И, реализо- ванный на логических элемен- тах ИЛИ-НЕ. Для получения А и В применяют два элемента ИЛИ-НЕ. Для логической операции сложения используется еще один элемент ИЛИ-НЕ (рис. 4.22). Итак, если основные логические элементы ИЛИ, НЕ, И можно реализовать только на элементах ИЛИ-НЕ, то это значит„что любую возможную логическую функцию также можно реализовать только на элементах ИЛИ-НЕ. Любая логическая функция может быть реализована только на элементах ИЛИ-НЕ.

Элементы ИЛИ-НЕ можно использовать как универсальные логические элементы. Из второй теоремы де Моргана следует, что логический элемент ИЛИ может быть заменен логическим элементом И и несколькими элементами НЕ: АмВ=АяВ; А Я В = Ал В. Это означает, что без элементов ИЛИ можно обойтись. Отсюда следует правило: Любая логическая функция может быть реализована только на элементах И и НЕ. АмВ=АЯВ.

Вентиль НЕ можно реализовать на элементах И-НЕ. Если соединить входы элемента И-НЕ вместе, то получится элемент НЕ. Элемент И получается путем последовательного включения элемента И-НЕ и еще одного элемента И-НЕ, который действует как элемент НЕ (рис. 4.23). Вентили ИЛИ также можно реализовать на элементах И-НЕ. Из второй теоремы де Моргана следует: НЕ А:,"> А Рис. 4.23. Вентили НЕ и И, реа- лизованные на логических элемен- тах И-НЕ. л — 4в~лв л в в лвса в или в в ив Вс ачВ Рис.

4.24. Вентиль ИЛИ, реали- зованный на логических элемен- тах И-НЕ. Для реализации вентиля ИЛИ требуются два элемента И-НЕ, включенные как элементы НЕ. Еще один последовательно включенный элемент ИНЕ используется для логического умножения с инверсией (рис. 4.24). Итак, если основные логические элементы ИЛИ, НЕ, И можно реализовать только на элементах И-НЕ, то любую возможную логическую функцию также можно реализовать только на элементах И-НЕ.

Любая логическая функция может быть реализована только на элементах И-НЕ. Пример Преобразуйте уравнение У = (А л В л С) ж (А л В л С) так, чтобы соответству- ющая схема содержала только элементы И-НЕ. У = (А л В л С) и (А л В л С); У =(АлВлС)л(АлВлС). Синтезированная на основе преобразованного уравнения схема показана на рис.

4.25. Пример Преобразуйте уравнение У = (А л В л С) г (А л В л С) так, чтобы соответству- ющая схема содержала только элементы ИЛИ-НЕ. У =(АлВлС)м(АлВлС); Элементы И-НЕ, так же как и элементы ИЛИ-НЕ, можно использовать как универсальные логические элементы. Для синтеза цифровых схем только на элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ часто требуется многошаговое преобразование уравнений алгебры логики. Такие преобразования могут быть произведены разными способами. Путь, обычно ведущий к цели кратчайшей дорогой, начинается с операции двойного отрицания. Двойное отрицание не меняет результат выражения.

44. Ю г я.ее нлм.нк 4Д9 Я в с Рне. 4.25. Схема только на элементах И-НЕ. У =(АлВлС)ч~АлВлС); У = (А л В л С) м (А л В л С) . Синтезированная на основе преобразованного уравнения схема показана на рис. 4.26. На практике часто возникают трудности при преобразовании алгебраических уравнений в логические операции И-НЕ и ИЛИ-НЕ. Есть способ избежать этих преобразований. В схеме, построенной из основных элементов, отдельные основные элементы можно заменить элементами И-НЕ и ИЛИ-НЕ, как указано на рис. 4.21, 4.22, 4.23 и 4.24.

При этом получаются более сложные схемы, которые, тем не менее, легко упрощать. Так, например, часто встречаются два следующих друг за другом вентиля НЕ. Эти вентили можно вычеркнуть, так как их действия взаимно компенсируются (двойное инвертирование переменной не меняет ее). Вследствие этого схема значительно упрощается. Пример такого упрощения показан на рис. 4.27. В верхней части рисунка представлена схема, соответствующая функции У = (А л В л С) и (А л В л С) и состоящая из основных элементов.

Преобразуем эту схему в схему, состоящую только из элементов И-НЕ. Для этого каждый основной элемент л в с Рне. 4.26. Схема только на элементах ИЛИ-НЕ. ($0 Г 4.Л е Рис. 4.27. Схема с основными эле- ментами, замененными соответ- ствуианими элементами И-НЕ. в сч а в с схемы заменяется соответствующим ему элементом И-НЕ. Последовательно включенные элементы НЕ можно вычеркнуть.