Бойт К. - Мир электроники, страница 7

Даже если после длительных стараний удается найти подходящую схему, она обычно оказывается избыточно функциональной, и ее применение экономически нецелесообразно. Найти простую,но идеально подходящую схему методом подбора невозможно. Для анализа и синтеза цифровых схем служит разработанный английским математиком Булем (1815 — 18б4) математический аппарат, который изучается в средней школе в курсе «Теория множеств«. Специальным разделом булевой алгебры является алгебра логики.

4.1. Переменные и постоянные величины (константы) В алгебре логики, как и в обычной алгебре, есть понятия переменных и постоянных величин (констант). Но в алгебре логики константы могут иметь только два значения, а именно О или 1. Любая переменная в алгебре логики равна либо О, либо 1.

В алгеоре логики есть только две константы: О и 1. Эти константы соответствуют логическим состояниям О и 1. Каждая величина, которая может принимать значение О или значение 1, представляет собой переменную величину. Входные величины схемы, например А, В, С, являются переменными величинами, так как они могут иметь логические состояния 1 или О. Также выходные величины схемы являются переменными величинами. Выражения вида (А л В), состоящие из двух переменных величин, также являются величинами переменными, так как могут быть тоже равны только О или 1.

Переменными алгебры логики являются величины, которые могут иметь состояния О или 1. Следовательно, переменная алгебры логики является бинарной величиной. Ее можно наглядно изобразить в виде выключателя (рис. 4.1). Условимся, что Разомкнутому ключу соответствует логическое состояние О. Замкнутому ключу соответствует логическое состояние Н 4.!. 3 бР !!41 я=о я=! Рис.

4.1. Представление возможных состояний переменной А. Рис. 4.2. Представление констант 0 и 1. Это схемотехническое представление переменных величин очень просто для понимания. Можно ли так же просто изобразить графически постоянные величины? Можно понимать постоянные величины как «фиксированные переключатели». Если переключатель является фиксированным в разомкнутом состоянии, то он никогда не сможет замкнуться и всегда имеет значение О. Если переключатель является фиксированным в замкнутом состоянии, то он никогда не сможет разомкнуться и всегда имеет значение 1. Постоянно разомкнутый переключатель можно рассматривать как разрыв в линии.

Постоянно замкнутый переключатель можно рассматривать как обычный провод (рис. 4.2). Обрыв линии: О Неразрывное соединение: 1 4.2. Законы алгебры логики Основные законы алгебры логики являются правилами, также называемыми еще аксиомами, действующими для логических операций над постоянными величинами. о 1о "о= — "о ~ '> о о 1о !=!1 о о=-!1 ! о 1~,о=-оД ~ > о Е::Е3] 1 ! Ф ! С! С=2! Ф ! Рис. 4лй Правило логического умножения И.

Рис. 4.4. Правило логического сложения ИЛИ. Закон для операции логического умножения И пока- 1 = о зан на рис. 4.3. Схематично логическое умножение И можт=о но изобразить в виде последовательного соединения ключей. Логическая единица на выходе будет только в том случае, если оба ключа одновременно замкнуты (рис. 4.3). ТИ Иначе результат умножения равен нулю. Закон для операции логического сложения ИЛИ изобРи' 4 з' пР"иле ражен на рис. 44, Для логического сложения ключи в логического отрица(ииаерсии) кв схеме рис. 4.4 включены пар ельно. На выходе бу е' логическая 1 тогда, когда хотя бы один ключ находится в состоянии 1.

В логическом элементе НЕ единица на входе превращается в 0 на выходе, а 1 на входе — в 0 на выходе (рис. 4.5). 4.3. Аксиомы и тождества алгебры логики 4.3.1. Аксиомы Правила для логической операции переменной величины с константой или переменной величины с самой собой или ее инвертированным значением называются аксиомами. Обозначим некоторую переменную величину как А.

Все, что верно для А, верно и для любой другой переменной величины. На рис. 4.6 изображены четыре возможные аксиомы логического умножения. Для представления инверсии А применен нормально-замкнутый контакт. Он замкнут, если главный выключатель разомкнут. И размыкается при замыкании главного выключателя. Таким образом, при Аж А один из последовательно включенных ключей всегда разомкнут и в линии имеет место разрыв (О). Представление аксиом алгебры логики в виде простых схем очень наглядно. Также аксиомы можно изобразить в виде таблиц истинности (рис. 4.7).

Аксиомы для логической операции сложения ИЛИ следукп из рис. 4.8. Операцию ИЛИ можно изобразить в виде параллельного включения контактов. Если переменная инвертируется и затем еще раз инвертируется, то она принимает первоначальное значение (рис. 4.9). Два штриха инверсии над переменной не меняют ее состояния.

Девять аксиом пронумерованы от 1 до 9. Под этими номерами они далее приводятся в сборнике формул. 4.3.2. Законы коммутативности и ассоциативности Закон коммутативности еще называют переместнтельным законом. Он применяется для логического сложения и умножения и интуитивно понятен из схем на рис. 4.10 и 4.11. Результат операции логического умножения И не зависит от порядка обработки переменных. РЕЗультат ОпЕрации лсгичЕСкОгО СлОжЕния ИЛИ нЕ ЗавиСит От псрядка Обработки переменных. д.д. ~ д дд Д вар. А О 2=А О=О А-4 а1 ΠΠΠΠ— ~ О 2 1 О О О! Я О ~О Вар.

А 1 2=А,1=А А~а О 1 О А г й 1А О-Я1 ВАР. А А 2=А,А=А А-~~В О О О А~ А 2 1 1 1 ОО ЯД~:Я ВАР. А Д 2=А Я=О А-~ В~ О 1 О 2 1 О О Од (А, А=О Рис. 4.7. Таблицы истинности для аксиом логического умножения И. д А А=А ОО [ А = А~ вэр.1А~ А~ А Ода Рис. 4.9. Аксиомы логическо- го отрицания НЕ.

1О1 22 1А О=А ОБ ~А1 =! й ~~я А1 ОР Б м:=-Я Рис. 4.11. Переместительный закон для опе- рации логического сложения ИЛИ. Рис. 4.4. Аксиомы логического умножения И. Рис. 4.8. Аксиомы логического умножения ИЛИ. Рис. 4.10. Перемести- тельный закон для опе- рации логического умно- жения И. (' Г ~42 Г 4.«6» ©г=л (в с)=я в> с Рис. 442. Сочетательный закон лля операции логического умножения И. Рис.

4АЗ. Сочетательный закон Лля с операции логического сложения ИЛИ. Закон ассоциативности еще называют сочетательиым законом. Он применяется для логического умножения (рис. 4.12) и сложения (рис. 4.13). Результат операции логического умножения И не зависит от порядка обработки переменных. Результат операции логического сложения ИЛИ не зависит от порядка обработки переменных. 4.3.3. Дистрибутивный закон Дистрибутивный закон также называют распределительным законом.

Распределительный закон логического умножения по отношению к сложению играет большую роль на практике при преобразовании логических выражений. Различают конъюнктивный распределительный закон и дизъюнктивный распределительный закон. Конъюнктивный распределительный закон записывается как Переменная А в операции логического умножения И «распределяется» по переменным В и С. Схема на рис. 4.14 доказывает правильность этого тождества.

Так как оба контакта А могут коммутироваться только одновременно, узлы 1 и 2 можно соединить без изменения действия схемы. Чтобы еще лучше пояснить этот закон, тождество проверяется таблицей истинности (рис. 4.15). Состояния переменных в колонках Хи 1'одинаковы. Значит, конъюнктивный распределительный закон верен. Дизъюнктивный распределительный закон записывается как Переменная А в операции логического сложения ИЛИ «распределяется» по переменным В и С.

Схема на рис. 4.16 доказывает правильность этого тождества. Так как оба контакта А могут коммутироваться только М.в~ м с~=л (в с1 Рис. 4.15. Проверка правильности коиъюиктивного распределительного закона при помощи таблицы истинности. Рис. 4.14. Коиъюиктивиый распреде- лительиый закон. одновременно, схему можно преобразовать, как это изображено на рис. 4.1б, без изменения действия схемы. Советуем самостоятельно проверить последнее тождество таблицей истинности аналогично таблице на рис.

4.15. Покажем применение дизъюнктивного распределительного закона на примере. Упростим выра- жение гл в~ . и с~ = л ~в с~ ю = (К ч М) л (К ч М). Рис. 4.16. Дизъюиктивиый распределительный закон. Согласно дизъюнктивному распределительному закону оно преобразуется: (А .