Бойт К. - Мир электроники, страница 10

Входная переменная С назначается для кнопки (С = 1: кнопка нажата, С = 0: не нажата). Выходной переменной величиной будет 8: г, = 1 значит, что лифт может ехать. г = 0 значит, что лифт ехать не может. Шаг 3. Составление таблицы истинности Мы имеем три переменных величины. Следовательно, таблица истинности имеет 8 возможных вариантов (рис. 5.1). Лифт может ехать тогда, когда дверь закрыта (А = 1), нет перегрузки (В = 0) и кнопка нажата (С = 1).

Все эти условия выполняются одновременно только в варианте 6 таблицы истинности (рис. 5.1). Для этого варианта У = 1. Во всех остальных случаях л, = О. Шаг 4. Определение необходимых логических операций После составления таблицы истинности можно рассчитать схему. Правила расчета будут даны позже. Для такой простой задачи можно также применять метод подбора. г, равно 1 только тогда, когда А = 1, В = 0 и С = 1. Если подать вход В на инвертор НЕ, то на выходе этого элемента будет состояние 1.

При А = 1, В = 1 и С = 1 имеем три 1-состояния. Они далее поступают на вход ея В С Рис. 5.1. Таблица истинности лля схемы бе- зопасности лифта. Рис. 5.2. Цифровая схема безопасности лифта. гг. н.р .Ф р ° ° в) трехвходового элемента И (рис. 5.2).

На выходе элемента И только тогда действует 1, когда А = 1, В = О и С = 1. Этот выход является У-выходом. На рис. 5.2 изображена требуемая схема безопасности. У = 1 означает, например, что к выходу У приложено напряжение +5 В. Это напряжение может коммутировать реле запуска лифта. Способ нахождения схемы методом подбора можно описать как Возможность подобрать вариант схемы, выполняющей требуемые логические операции умножения или сложения входных переменных и их инвертированных значений. Шаг 5.

Уарои1ение и при пеобходвзиостпи преобразование схемы Схему на рис. 5.2 упростить нельзя. Однако ее можно преобразовать. Предположим, что у нас есть под рукой только элементы ИЛИ-НЕ. Тогда функцию У = А л В л С можно преобразовать: У =АлВлС=АлВлС=АмВмС. Схема, построенная на элементах ИЛИ-НЕ, изображена на рис. 5.3. Рне.

5.3. Схема безопасности лифта на элементах ИЛИ-НВ. 5.2. Нормальные формы записи Стандартизованные формы записи выражений называются в математике нормальными формами. Для определенных целей необходимо логические функции приводить в нормальную форму. 5.2.1. Нормальная форма операции логического сложения ИЛИ Нормальная форма записи логического сложения ИЛИ, также называемая нормальной дизьюнктивной формой записи (от дизъюнкция — сложение), является формой записи уравнения алгебры логики, в котором так называемые полные конъюнкции связаны друг с другом операцией логического сложения.

Под полной конъюнкцией понимают операцию логического умножения, в которой участвуют все имеющиеся переменные или их инвертированные значения (от конъюнкция — умножение). Если имеются переменные А и В, то получаются четыре возможные полные конъюнкции: АлВ АлВ АлВ АлВ (60 Г 5. аа Нормальная форма ИЛИ состоит из нескольких полных конъюнкций, которые логически складываются операцией ИЛИ. Она может состоять также из одной-единственной полной конъюнкции.

б:-тЯ а Д) Р .54.~~ ья Теперь рассмотрим таблицу истинности для Уг = (А л В) ж (А л В) ж (А л В) на рис. 5.5. Уг имеет три 1-состояния. во.влв оог г а а 1оо 4 1 ! а г,=х в ~-~ л..в а о 1 ~э =х.а~ г, =(л, а) (Х а) (Х, а) Рис. 5.6. Таблица истинно- сти для У,. Рис. 5.5. Таблица истинности для Як Таблица истинности для У, = (А л В) изображена на рис. 5.6.

У, имеет одно 1-состояние. Из этого можно сделать вывод: Количество 1-состояний в выходном столбце таблицы истинности (в данном случае х-столбец) равно количеству полных конъюнкций нормальной формы ИЛИ. Итак, вероятно, каждой 1 в У-столбце соответствует полная конъюнкция. Рис. 5.8 подтверждает это утверждение. Мы имеем четыре возможных 1-состояния и четыре полных конъюнкции. Какая полная конъюнкция относится к какому 1-состоянию? 1-состояние полной конъюнкции А л В получается из таблицы на рис. 5.6. Таблица истинности полной конъюнкции А л В показана на рнс. 5.7. Можно сделать вывод: Если в рассмотренном варианте таблицы истинности переменная принимает значение О, то в соответствующей полной конъюнкции она инвертируется. Если в рассмотренном варианте таблицы истинности переменная принимает значение 1, то в соответствующей полной конъюнкции она не инвертируется.

Все возможные логические функции могут быть записаны в виде нормальной формы ИЛИ. Каждая нормальная форма ИЛИ имеет тесную связь с таблицей истинности. Покажем это на нескольких примерах. Найдем таблицу истинности У, = (А л В) ж (А л В). Она представлена на рис. 5.4. Видно, что У, имеет два 1-состояния, а именно в случаях 1 и 4. *г. Н.р — Ф р-*--. Д :% л х а о г о о а г ! я в Е х в я*в л в г-л в Рис. 5.8.

Соответствие полных конъюнкций возможным 1-состояниям. Ряс. 5.7. Таблица истинности полной конь- юнкции А л В. Соответствие полных конъюнкций возможным 1-состояниям показано на рис. 5.8. Каждому 1-состоянию в выходном столбце (Е-столбце) таблицы истинности соответствует полная конъюнкция.

При нескольких полных конъюнкциях нормальная форма ИЛИ получается посредством логического сложения ИЛИ полных конъюнкций. При этом становится ясной взаимосвязь между таблицей истинности и нормальной формой ИЛИ, н для любой таблицы истинности мы можем записать соответствующую нормальную форму ИЛИ. Нормальная форма ИЛИ представляет информационное содержание таблицы истинности в виде уравнения алгебры логики. Пример Дана таблица истинности на рис.

5.8а. Определить соответствующую нормальную форму ИЛИ. Каждое 1-состояние в У-столбце соответствует полной коньюнкции. О-состояния в У-столбце можно не рассматривать. Рассмотрим вариант 2 на рис. 5.8а. Переменная А равна 1. Поэтому она не инвертируется в полной коньюнкции. Переменные величины В и С равны О. Они инвертируются в полной конъюнкции. Таким образом, полная конъюнкция для варианта 2 равна: лвс .а в*с л в с Рис. 5.8а. Таблица ис- тинности. А гн В л С. Соответственно для варианта 5 полная конъюнкция ААжВВжС, а для варианта 8 полная конъюнкция А л В рн С. Нормальная форма ИЛИ является суммой всех полных конъюнкций: У = (А л В л С) хр (А л В л С) нг (А л В л С) .

Зта нормальная форма ИЛИ представляет содержание таблицы истинности, изображенной на рис. 5.8а. Как и любое другое уравнение алгебры логики, нормальную форму можно преобразовать в таблицу истинности. Для выведенной нормальной формы получается таблица истинности (рис. 5.8а), Зто можно проверить. Результат показан на рис.

5.9. С помощью нормальной формы ИЛИ возможно для любой заданной или составленной по описанию проблемы таблицы истинности записать (62 Г 5.С Рис. 5.9. Обратное преобраювание нормальной Формы ИЛИ в таблицу истинности. соответствующее уравнение алгебры логики. Метод подбора уже не нужен. Теперь можно без особых трудностей осуществлять синтез достаточно сложных логических схем. 5.2.2.

Нормальная форма операции логического умножения И Нормальная форма записи логического умножения И, также называемая нормальной конъюнктивной формой записи (от конъюнкция — умножение), является формой записи уравнения алгебры логики, в котором так называемые полные днзъюнкции связаны друг с другом операцией логического умножения. Под полной дизъюнкцией понимают операцию логического сложения, в которой участвуют все имеющиеся переменные или их инвертированные значения (от дизъюнкция — сложение), Если имеются две переменные, например А и В, то получаются четыре возможные полные дизъюнкции: АлВ АлВ АлВ ААжВ Нормальная форма И состоит из нескольких полных дизъюнкций, которые логически перемножаются операцией И.

Она может состоять также из одной- единственной полной дизьюнкции. Если работа с нормальной формой ИЛИ не вызывает затруднения, то нормальная форма И уже не особенно нужна. Нормальную форму И можно легко преобразовать в нормальную форму ИЛИ. Пример Переведите нормальную форму И У = (А л В) м (А л В) в нормальную форму ИЛИ: У = (А м В) л (А м В); У = (Ам В)л(Аж В); У = (А м В) г (А м В); У =(АлВ)ь (АлВ); У =(А Аж В)х (АлВ). лз.зщ ~ ь бр р Ьр ~и ар ь~з 5.3. Упрощение и преобразование нормальной формы ИЛИ с помощью алгебры логики 5.3.1.