Бойт К. - Мир электроники, страница 12

5.24). Следовательно, карта Карно для трех переменных должна иметь 8 клеток. Распределение переменных по координатам может происходить, как и в карте для двух переменных любым образом. Однако целесообразно первые переменные поместить на верхнюю сторону диаграммы, а вторые величины — на левую сторону диаграммы. Третья переменная величина размещается на нижней стороне диаграммы. Для переменных величин А, В и С карта Карно изображена на рис. 5.25. А Я с с Третья переменная С должна быть размещена, как указано на рис. 5.25. Если обозначить обе левые стороны клетки как С, а обе правые как С, то для некоторых полных конъюнкций будет двойное место, а для некоторых — ни одного.

На рис. 5.2б полные конъюнкции расписаны по ячейкам. Для карт Карно с тремя переменными действуют правила, установленные для карт Карно с двумя переменными, со следующими дополнениями: В одной группе могут быль объединены 2, 4 или 8 соседних полных коньюнкций. Если быть совсем точными, карта Карно для трех переменных имеет цилиндрическую форму (рис. 5.27). Поэтому клетки, находящиеся в противоположных концах одной строки, являются соседними. Рис. 5.26. Карта Карно для трех переменных с занесенными полными конъюнкциями. Рис. 5.27. Карта Карно для трех перемен- ных в виде цилиндра.

Рис. 5.24. Возможные полные конъюнкции Рис. 545. Карга Карно лля трех переменных. для трех переменных. = — — в с с с с с с с Рие. 5.28. Группировка по принципу расширенного соседства. Карту Карно сложно представлять в виде цилиндра. Поэтому предпочитают форму на рис. 5.25, соблюдая принцип расширенного соседства. На рис. 5.28 представлены соседние полные конъюнкции и их группировки. Группа из двух клеток на верхней диаграмме имеет в итоге значение В и С. Группа из четырех клеток на нижней диаграмме имеет значение С. Группа должна быть прямоугольной или квадратной.

Группа, изображенная на рис. 5.28а, недопустима. х Рне. 5.28а. Недопустимая группа с с карты Карно. Рассмотрим несколько примеров работы с картами Карно для трех переменных. Пример 1 Заполните карту Карно полными конъюнкциями следующего уравнения: У = (А л В л С) г (А л В л С) м (А л В л С) м (А л В л С). Сначала надо правильно разместить полные конъюнкции по ячейкам (рис. 5.29). Запись лучше производить в алгебраической форме, тогда можно легко контролировать правильность выбора ячейки. Каждую полную конъюнкцию обозначим 1 1рис. 5.30).

При отсутствии затруднений можно сразу же рисовать обычную карту Карно. 4 4 с с с с с с Рис. 5.29. Карта Карно с занесенными под- Рис. 5.38. Карта Карно к примеру 1. ными конъгонкциями к примеру 1. (72 Г 5. с Пример 2 Занесите данную нормальную форму ИЛИ в карту Карно и максимально упростите: к, = (А л В л С) ч (А л В л С) ч (А л В л С) ч (А л В л С).

Имеющиеся полные конъюнкции обозначаются 1 (рис. 5.31). Затем производится группировка. Группу из четырех элементов образовать невозможно. Зато можно образовать 3 группы из двух клеток. Однако выделенная пунктиром группа является избыточной, так как двумя основными серыми группами все 1 уже охвачены. Если бы мы выбрали пунктирную группу в качестве основной, найденное уравнение не было бы максимально простым. х в с с с Рис. 5.31. Карта Карно к примеру 2. Верхняя серая группа (рис. 5.31) имеет значение А л В. Значение нижней серой группы — В л С. (Переменная А выпадает, так как встречается в координатах этой группы как в прямой, так и в инверсной формах.) Значения групп логически складываются. При этом получается упрощенное уравнение: У = (А л В) ч (В л С).

Пример 3 Запишите нормальную форму ИЛИ, заключенную в карте Карно (рис. 5.32). Рис. 5.32. Карта Карно к примеру 3. с с с Максимально упростите нормальную форму ИЛИ. Нормальная форма ИЛИ по карте Карно: к, = (Ал ВлС)ч(Ал ВлС)ч(А л ВлС)ч(А л ВлС)ч(Ал В лС) ч Ал ВлС. Могут быть образованы 2 группы из четырех клеток.

Одна имеет значение В, другая С. Упрощенное уравнение: к, = ВчС. Так как возможно образование двух больших групп из четырех клеток, то получается значительное упрощение нормальной формы. д.д. М д д Хд 7ДЗ 5.4.3. Карта Карно для четырех переменных Карта Карно для четырех переменных должна иметь 16 клеток, так как возможны 16 различных полных конъюнкций (рис. 5.33). Карта Карно для четырех переменных изображена на рис. 5.34.

ыя* всо в с о вся в*с. о в со всо всо в со всо в с*о Я х Я х ыЯ ыа ыя ык Я Я ыЯ* х всо всо в с..о всо всо в со Я ыя* с с с ыЯ х Я Ряе. 5.33. Возможные полные конъюнкции дяя четырех переменных. Рне. 5.34. Карта Карно для четырех пере- менных. Рис. 5.35. Карта Карно для четырех переменных с занесенными полными конъюнкциями. Переменные обозначены, как и раньше, А, В и С. Плюс добавлена переменная величина Ю. Разумеется, переменные могут быть обозначены иначе, например Е„Е„Е„Е4.

16 полных конъюнкций показаны на рис. 5.35. Для карт Карно с четырьмя переменными действуют правила, ранее установленные для карт Карно, со следующими дополнениями: В одной группе могут быть объединены 2, 4, 8 или 16 соседних полных конъюнкций. Карта Карно для четырех переменных имеет форму шара. Поэтому клетки, находящиеся в противоположных концах одной строки или столбца, являются соседними. Разъясним подробнее принцип расширенного соседства. Рассмотрим рис. 5.3б. Карта (а) показывает, что группы из двух клеток можно образовать не только из полных конъюнкций, которые находятся на концах одной строки, но и из полных конъюнкций, находящихся на концах одного столбца. в:, Рис.

5.36. Группировка по принципу расширенного соседства. — ~с,. о1 Диаграмма (б) показывает образование о группы из четырех клеток. Диаграмма (в) также показывает образование счетверенной группы. Единицы по углам являются соседними, так как при с с с форме шара поля прилегают друг к другу в смежными сторонами. Другое дело карта на рис. 5.37. Только две единицы по углам не могут образовать сдвоенную группу, так как они не являются смежными — как показано на виде снизу. Рассмотрим ряд примеров с картами Карно для четырех переменных. Вид сказу ля» формы шар» — +— в1 с с с о о Рис. 5.37.

Карта Карно для несоседних полных конь- юнкцнй. 5.4.м д р нр ф Пример 1 Составьте карту Карно по следующей нормальной форме ИЛИ: У = (Ал ВлСл Р)ч(Ал ВлСл Р)ч(АлВлСл Р)ч О1 От От ч (А л В л С л Р) ч (А л В л С л Р). О4 О5 Для большей наглядности полные конъюнкции отмечены серыми номерами. Они обозначают соответствующие клетки. На рис. 5.38 показана искомая диаграмма. 1о Рис. 5.38. Карта Карно к примеру 1. с с с Пример 2 Для задач управления требуется схема, удовлетворяющая таблице истинности 1рис. 5.39).

Эта схема должна быть максимально простой. - х:.в с..о -в в с о х в с о - а в с*о л в с о а.в*с*о Рис. 5.39. Таблица истинности к примеру 2. Из таблицы истинности может быть определена нормальная форма ИЛИ У = (А л В л С л Р)ч(А л В л С л Р) ч(А л Вл С л Р)ч О1 От От ч (А л В л С л Р) ч (А л В л С л Р) ч (А л В л С л Р). Оа ® О Номера полных конъюнкций совпадают с номерами вариантов таблицы истинности. Полные конъюнкции далее заносятся в диаграмму 1рис. 5АО). Рис. 5.41. Схема к примеру 2. Рис. 5 40. Карта Карно к примеру 2.

Следующим шагом является упрощение нормальной формы ИЛИ с помощью группировки соседних полных конъюнкций. Возможно образование двух групп из 4 клеток со значениями Сл Р и А л С. Упрощенное уравнение выглядит так: У = (С л Р) и (А л С) . Переменная С может быть вынесена за скобку: Е = (С и Р) и (А и С) = С и (А и Р). Получившаяся схема представлена на рис.

5.41. 5.4.4. Карта Карно для пяти переменных Для пяти переменных возможны 32 различные полные конъюнкции. Следовательно, карта Карно для пяти переменных должна иметь 32 поля. Но на одном уровне в диаграмму для четырех переменных новые переменные уже добавить не получится.

Диаграмме надо добавить второй уровень. На рис. 5.42 показано, что имеется в виду. Переменные величины будут, как раньше, обозначены А, В, С и Р. К ним добавляется переменная Е. К нижнему уровню диаграммы присоединяется координата Е, к верхнему — координата Е. Нарисовать такую двухуровневую карту сложно, поэтому уровни рисуют рядом. Диаграмма для пяти переменных состоит из двух таблиц, расположенных однанаддругой (рис. 5.42а). Такая диаграмма имеет 32 в ячейки для 32 полных конъюнкций. Для карт Карно с пятью переменными дей- ствуют правила, ранее установленные для карт в Карно, со следующими дополнениями: Рис. 5.42.

Карта Карно яля пяти переменных. с с с Я Я в( ( Рис. 5.42а. Карта Карно дяя пяти переменных, состоящая из двух таблиц. В одной группе могут быть объединены 2, 4, 8, 16 или 32 соседних полных конъюнкций. Сгруппированы могут быть также те полные коньюнкции, чьи поля находятся друг под другом в таблицах (рис. 6.42). Рассмотрим эти правила на примерах.

Пример 1 Занесите данную нормальную форму ИЛИ в карту Карно и максимально упростите: У = (А л Вл С л Й л Е) ч(А л В л С лил Е)ч (А л В л С л Х>л Е) ч О1 От Оз ч (А л В л С л Л л Е)ч (А л В л С л Ю л Е) ч (А л В л С л В л Е). ОЯ Оз Ое Для большей наглядности полные конъюнкции отмечены серыми номерами. Они обозначают соответствующие клетки диаграммы. Возможно образование двух групп из 4 клеток. Серая группа на правой таб- Рис. 5.43. Карта Карно к примеру 1.

лице имеет значение А лСл Е. Переменные В и Р в этой группе исклю- чаются. Выделенная пунктиром группа из 4 клеток проходит сквозь оба уровня. Для этого следует мысленно положить друг на друга уровни (рис. 5.43). Значение этой группы А л В л С. Так как группа проходит сквозь два уровня, переменная Е выпадает. Переменная Р также выпадает. В итоге получается упрощенное уравнение: У = (А л В л С) ч (А л С л Е) . Пример 2 В диаграмме на рис. 5.44 задана нормальная форма ИЛИ. Максимально упростите ее.

Рис. 5А4. Карта Карно к примеру 2. Единицы по углам обоих уровней образуют восьмерную группу (группа из восьми ячеек). Эта группа проходит через два уровня. Ее значение С л Р. Далее можно сформировать группы из 2 и 4 клеток. Группа из 4 клеток имеет значение ВлРлЕ. Значение сдвоенной группы В л С л Р л Е.