Борн М.,Вольф Э. - Основы оптики (1070649), страница 154
Текст из файла (страница 154)
В и. 13.б.! рассматривается получение этого решении, а в п. 13.5.2 — - основные его следствия. Последний раздел настоящего параграфа посвяшен некоторым обшим результатам, отпосяшимся к полному коли- ') Из более поздних вселедовввнй, ззш вшидсв основной теорвв; особенно следует >во. мзв>тъ работы !2>, 221. 4 13.3! дяегхкння на пгааоляшся счета. тсогия ии 587 честву экергшн которос рассеивается и поглошаегся частиней произвольной формы, причем случай сферической частнпы рассматривается подообио. 13.5.1. й!атематическое решение проблемки а., Пргдстааиииг ноля через нотенциажя Дебил.
Рассшпрпи лпфраю чю плоской линейно поляризованной монохроматнчсской копны ни сфере р циуса а, нато;гнп!ейск в однорогшой нзотроппой среде Предполаэкнтн ыо среда, в которои нахошпся сф ра, является пепроводяшсй н что как среда, так и сфера неиагнитпы. Как обычно, выделим зависимость от времени в виде мнолг.пела ехр ( — !м(). Тогда электрический н чагню иый векторы и вне, и внутри сферы удовлетворяют уравнениям Д(акапелла в форме, не зависяшей от времени, т. е. го! Н = — йг,Е, го! Е ==а,Н, (1а) (!б) где (2а) Квадрат обычного волнового числа й (вешественного вне сферы и комплексного внутри ее) раасн дэ —. — А,дс (3) Величины, которые отяосятся к среде, окружающей сферу, снабдим значком 1, а величины, отиосяшиеся к сфере,— зна ~кои 11.
Поскольку, по предположению, среда, окружнюн!ая сферу, является непроводяшей, он' . (!. Воспользуемся прямоугольной системой координат с началом в центре сферы. Г!усть ась г совпадает с направлением распространения волны, аось х — с направлением ее электрического вектора (рнс.
13.7). /'чг «: Ряс. !3.7. К рассчотреяям дифраяяяя иа проэодяшей сфере. то шесть компонент векторон поля запишутся в виде ын' Е'и = ехр (!дшз), Нм = — ехр (!й"'а), Ен' = Е," =- Нш = Н',а = О. (4) у н! аэ 'г— Что касается граничных условий, то в соответствии с п. 1.1.3 мы потребуем лишь, чтобы знигепцнальные составляюшие векторов Е и Н были ие прерыапы нз поверхности сферы, т. с. Е„„,== Е„„„Н„„„=-Н,„„„, когда г=а. О! пп ш ни (б) Тогда условие, требующее непрерывности на поверхности сферы радиальных компонент аЕ и Н, следует из (5) и уравнений Максвелла, Гели амплитуда электрического вектора падавшей волны нормирована на единицу, т.
е. ( Е " ! — — - ( ехр (И' 'г) ( =- 1, б88 (гл. !8 иь Гччлаапт 1гкх Для того чтобы удовлетворить граничным условиям, необходимо предположитгь что, кроме падаюшего поля Еа' и Нси н поля внутри сферы Е""', Н' ', имеется вторичное (рассеянное или дифрагировавшее) попс Еы', На' в среде, окружающсн сферу.
Таким образом, полное электрическое пале в обеих областях запишется в виде Е Епг+ Еьп вне сферы, Е=Егиг внутри сферы. ) х=гз|пйсозгр, у=.гз!пбз|пф, з=гсозО. Прн переходе от декартовой систелгы координат к этой позой системе компо- иентът произволыюго вектора А преобразукмсн согласно следунюппг правилам (см., например, (23)): А,: —.. А юп Осозф+А» э|о В зш ф+ А,сов б, А,=А„созбсозгр ОА. созбюпгр — А,з|пб, А = — А„юп гр+ А,сох гр. (8) Опрс гл 1«п1с здесь качнавеиты не счюивлюат с г аинаисатеив.
вспальтусчьпвг в вбсалю- гпан диффер 11ииюгьваи исчнюи нни Риччи н Лаан-г|нэитэ тли рэссиэтр нежатся две гр типы р гэ.чн юых, иа экжпыяш~ них каипанспт всктарэ Л вЂ” кантраг эчиэптные ка агг иепты А11 и кавэ. режим«с 1.аип вен~11 А, Если е,, еи е, — б ясные нектары, е абщеы с.11 « *исартагаилльиые н ггсгпащие рэх,гнчиую Лтину, та кантрэвэриентвые канианенгы (па атпсшенню к эшч бэхисныг ве гарля| пампа апределнть квк каэффнцненты в прелсгхиленин Л-=Агне, А'1'ег -1-Аг'геэ, л кавэриэнн1ые качпаненты — кек каэффин11сн1ы е арсясывтгенни Л- Атепг +Аэсг'1 — |А,ЕП', ГДС Ег'1, Епг И Егтг — ЕГМЬИГ:ЫЕ б«и«ГЫС Еах~аРЫ, ~ С ССКтаРЫ, укаипетиаряющне саш1ююеиияч еа' еэ=-б,э, где бэ — свивал Крансксря В специапнаэ слу«, КОГДа Еп Еь Е, аРЮгаиЭЛЬ1 Ы, Ег 1, Еи И Е'" тЭКЛ" аРтатю«ЛЬНЫ;1 ГншестетНУиин С ВЕКтэгэЫ аб нх групп ьгрхлл лыгы В этан слу1эе эажна винти ахну грыжу ессгсытгии1« ка июне и.
лт 1' А, Аг', 1ата|гье даг~ускэ1аг прас,ую геатгетрипску1а нперпргтациа сии яагяют:я ар пл аиэльль и праекцилии ескгарэ Л 1«три нгпрэнлевня В случае сферн гескнх иаардпн« ~ с а е.«а ь и аспги алр х чают вы»еж явями (З). 1ха и аи нты тс «ар,г иажи .
рэсстгхтринлвэть виэлагнчныи абрэваи. Применяя формулы (8) к вектору го! А, получим 1 ) д(гА„э!из) д(гАЭ)! (го! А) — — ( — — — '.. г ! дг дз) (О) Подобные же выражения справедливы и для магнитного вектора. Поля Еыг, Ны' и Е' ', Нвю можно считать аналогичными соответственно отраженному н гроходящему полям при падении на плоскунт гранину (см. и. 1,аг.1). Однако такзя аналогия верна лишь прн диаметре сферы, больпюи по сравнению с длннои потны. Так как граничные условия должны выполняться для любого момента 1чречггнп, нес гпссть вскторов должны обладать одинаковой зависимостью от врсмсии |ехр ( — Ваг)!. Для настоящей зада'т нзвболее удобными криволинейными координатами являются сферпческкс координаты г, О и гр, опредсляемые зыражюшями 550 5 !3.51 дььеглкпия нл пгозодящь)й секгк.
ткогия мя примут вид (а) (!0) Граничные условия (5) теперь запишутся следующим образом: Нн' = Н'нь, Нн' = и н" з = т = э Уравнения (! 0) вместе с граничными усдовиями (1!) служат основнымн уравнениями пашен задачи. Представим решение этих уравнений как суперпозипьпо двух линейно незавьюимых полей ('Е, 'Н) и (иЕ, чН), каждое из которых удовлетворяет уравнениям (10), прачем 'Е, =- Е„'Н, —.- 0 (12а) Е =О, Н,=Н. (12б) Нетрудно показать, что такое представление согласуется с пшпими уравнениялш. Для Н/, ='Н, = — 0 уравнения (!Оз, йь) н (!Оа, у) примут впд Подставляя Е, и Е из этих соотноьпеннй в (!Об, (!) и (10б, у), получим (' ') '— — '+И'3(г Н) = — —.-' — -, (б, Р) дгз ) ь зЬпо дт (3-;ь)ь*зь=~ь,~.
ьь, ь) Уравнепня (1!) вместе с (10а, а! образуют систему уравнснпй для 'Е„'Н, и 'Н,. Однако физнчссхнс поля прсдсгавльпот нс вес ргьпеиня ягон системы, з лишь те, кгпорыс удои ьетворяют дополнигель ному ьгловьью дьк 'Н = О. Мы ограшшпмся именно таккми решениямп. В сферических координатах при нашем предположении, что 'Н,=О, дополнителыюе условие запишется следуьощим образом дйь(Нп0'Нь) т~ (')(.,) О.
д ь, д (15) Оно обеспечивает выполнение оставшегося уравнения (1Об, а). Действительно, подставляя (13) в (105, и), получим О = — ( —. (г з!п 6'Н,) .! — (г'Н,.)1, Ь дЬд . д аьгь ьш О дг (да дье а это соотношение выполняетсн тождественно иа основании (15). Совершенно аналогичные рассуждения прнменимьь и ко второму случаю, когда ЯЕг=О. В сферических координатах уравнения поля (1) Ь ! д (гьГЬ! дН„! — АЕ =— Ч г ! ььг оз!' (ьз) (()) ~ (у) ) ь.ь ~ ® Г (у) ) метзллооптинх ]гл. 13 Реп!ение с нулевым р«диальным магнитным полем называется электр!шип!ой ь»»ляорг (или поперечной магнитной волной), а решение с пулевыч радиальным электрическим полем — жпгнигплой волной (или поперечнои элок! рячсс хоп волной).
Ниже мы покажем, что хаждую пз волн»южно получить пз соопиюствующего скалярного потенциала "11 плп «Н, которые извсшпы как»!стени!ш ьм Деблл *). При 'Н, = 0 нз (1Об, и) сразу же следует, что 'Е„н 'Е, можно представить как градиенты скаляра дп 1ды "Е, = —.
—,, 'Е, = — — . гзп»В дф ' г да Если мы положим д(. П) (17) дг (10) (19) то из (16) получим 1 д»(г П) ! д»(г»П) г дгдо ' " »!па дгдф (18) Как мы видим, уравнения»! (!3) удовлетворянгг и,-,д-,— ' —,; З, д "и З» д(г'и) 'Н,= — — ' «па д»р гмии дф Если подставить (19) в (10а, се), то найдем 'Е =- — ~ — ( шп 0 — — ~+ —. ге!па ~(дв(, да / юпВ дф» (' (20) Подстановка (19) и'(20) в (14] дает два уравнения, первое из которых выражает равенство пул!г> прокзводцой пп»р, н второе — производной по 0 одного и гпг: ьке выракссння.
Поэтому, приравнивая это выраженно нулю, можно удовлсшорить обоим уравнепяям. Таким образом, мы получим 1 д» (г'П) 1 д ( . В»П'], 1 оч'П ,'г дг» г»мпвдВ( дд 1 г мп В д»р» — — +, — (з(пŠ— )- — — '+й П=О. (21) С помошью (21) выражение (20) можно переписать в виде (22) Подставляя (18), (!9), (20), (21) н !22) и уранисяия (10), легко убедиться, что мы получилн решение нашей спстсь:ы урзьненнй. Подобным же обрачоь! можно ри»тширсгь магнитную волну; тогда мы увилнм, по эта волна определяется потепцналом П, удовлетворяюп(им точу же днфференш!альному уравнению (21), что 'П.
Полньш решением уравнений поля служит су.има двух полей, т. е. (сс) ! 1 д»! 'и) 1 д(г«П) ! В»(г П) 1 д(г П) Е, = 'Е, + Е = — = — й — — (у) Е гзспй дгдф» г да Н„=-"и„+ 'Н, = /г'г "П вЂ”; (и) ! д (г'П) 1 д(г П) г дь гмпа дгдф ') исл»» г — рзднус-не»стор нз начала ноорлиньт, то ЕПт и Пг — зеитиоры Герца, ьсюлу нисон»» с ризи, лююе яьгрсгчснне, о ~ оторых говорилось н п, 2.2.2 (см. 121], раздел, нспнсзн«ытг А. Зон»крйх;ъхо»», е тсии»с 125)). з 13.6! 59! даФРАкцяя ал пРоводяшей сФеРе.
РепРвя кя й,"П, й,г "П,,—,("П), д дг ( (24) Иными словами паши граничные условия таьже раэделяьогсч па нсзаппспмые условия для 'Ы и П. Таким образом, рассматриваемая нами дпфракцпоняая задача сводится к проблеме получения двух взаимно незавькпльых решений волнового )равнеяпя с заданньпш граничными услопнямп. б. Рппэяоэссььис и ряды Атпюпсит поягп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
