Bessonov2 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники), страница 7

формулу (11.23а Я. Таким образом, (12.15б) (12.16б) «*! Й2 =~в(Ф! +Ч!2) + 12 = ~~(Ф! ч!2 ) ° Следовательно, (12,17) (12,18) Если производные двух функций (например, «О!' и ~!') при любых значениях хи 1 равны, то это значит, что сами функции («1!! и ~!) равны с точностью до постоянной. Поэтому 1 «Р! (« — х/о) = — 1"! (1 — х/о); ~в (12.19) 1 ««'2 (1 + ~l ««) ! 2 Р + «/Ф ' ~в (12.20) (12.20а) Из(12.19а) следует, что ток падающей волны для любого момента времени и для любой точки на линии равен частному от деления напряжения падающей волны для того же момента времени и для той же точки линии на волновое сопротивление. Из (!2.20а) вытекает, что ток отраженной волны для любого момента времени и для любой точки линии равен взятому с обратным знаком частному от деления напряжения отраженной волны в той же точке линии и для того же момента времени на волновое сопротивление.

Знак минус в (12.20а) означает, что ток отраженной Постоянные интегрирования опустили, так как полагаем, что в токах и напряжениях падающей и отраженной волн отсутствуют постоянные составляющие, не зависящие от х и от 1. Два последних уравнения можно переписать с учетом (12.8), (12.9), (12.12), (12.13): г„= и„/7;, (12.19а) волны направлен встречно положительному направлению отсчета тока, показанному на рис. 11.2. ф 12.5.

Электромагнитные процессы при движении прямоуголь ной волны по линии. Пусть источник постоянного напряжения и, имеющий внутреннее сопротивление, равное нулк~, подключается к незаряженной однородной линии с распределенными параметрами, у которой й, = 60 = О (рис.

12.1). По линии перемещается падающая электромагнитная водна. Начальный участок волны, первым продвигающимся по линии, принято называть фронтом волны. В данном случае волна имеет п ря м о угол ьн ый фронт. Двигаясь полинин, волна создает между проводами линии электрическое и магнитное поля. Приращение магнитного потока (потокосцепления) на фронте волны за время д1 равно произведению тока ~ на индуктивность участка линии длиной дх: дф = гЕодх; оно вызывает ЭДС ц, ~х, .

~о . Г~о е = — — = — юЕΠ— = — сЕоо = — с — = — г ~ — = М~о~о ~ с'о = — Ы= — и= — и. в п Таким образом, на фронте волны возникает ЭДС самоиндукции, численно равная напряжению генератора. На фронте волны происходит зарядка проводов линии: один провод, например верхний, присоединенный к плюсу источника ЭДС, приобретает положительный заряд, другой1нижний) — отрицательный заряд(такой же величины). Кроме того, на фронте волны возникает ток смещения ~„= дд/й, где дд — приращение заряда на одном из проводов линии за время М: дд = С,идх = С,ииМ. Проходящий по диэлектрику на фронте волны ток смещени~ равен току падающей волны, проходящему по проводам линии: ~;.

= дд/Ж = С,ио = и„/2,. Электромагнитная волна, продвигаясь полинин, каждой единице длины ее сообщает энергию электрического поля С и~/2 и энергию магнитного поля Е„~ '„/2. Можно показать, что эти количества энергий равны. Действительно, и„= г'„7. = ~.~Х,/С,. Следовательно, С,и'„/2 = СДЕ. /(2С ) = 1.,~'„/2. 384 Рис. 12.1 Рис. 12.? Когда падающая волна достигает конца линии, к которому в общем случае присоединена некоторая нагрузка или другая линия (с другим волновым сопротивлением), то часть падающей волны проходит в нагрузку (или соответственно во вторую линию), а часть отражается — возникает отраженная волна.

Чтобы выяснить, какова форма волны, проходящей в нагрузку, какова форма отраженной волны и как они деформируются во времени, применяют расчетную схему, которую принято называть схемой замещения для исследования волновых процессов в линии с распределенными параметрами. ф 12.6. Схема замещения для исследования волновых процессов в линиях с распределенными параметрами. Для обоснования методики составления схемы замещения обратимся к рис. 12.2, а.

На нем изображена линия с распределенными параметрами, на конце которой включена некоторая нагрузка. Начиная с того момента, когда падающая волна дойдет до конца линии, по нагрузке пойдет ток 1„и на ней будет напряжение и„. На рис. 12.2, и изображены эпюры волн и и г на линии для момента времени, непосредственно предшествующего подходу волны к концу линии. В соответствии с формулами (12.10) и 112.14) напряжение и ток в любой точке линии можно представить в виде суммы падающих и сраженных волн. Это справедливо также в отношении напряже"ия и тока в конце линии.

Следовательно, 3 3.1к 633 385 (12,21) (12,22) и„+и,=и„; г„+г,=1„. Заменив с„на и„/У„а г„на — и„/К„получим и„+ и, = и„; и„— и, = ~„У„ или 2и„= и„+ г„У.. (12.23) Таким образом, напряжение на конце линии и„и ток в нагрузке г„независимо от характера нагрузки связаны с напряжением падающей волны и„уравнением (12.23). Последнему соответствует схема с сосредоточенными параметрами, изображенная на рис. 12.2, б. В ней к источнику ЭДС напряжением 2и„подключают последовательно соединенные К„и У„. Расчет переходного процесса в схеме с сосредоточенными параметрами (рис.

12.2, б) выполняют любым из методов, рассмотренных в гл. 8. Расчет дает возможность определиты„=~(1) и и„=~(1). После того как эти зависимости найдены, можно определить характер изменения во времени напряжения и тока отраженной волны: и,=~(1) и г,=Д1). Действительно, из уравнений (12.21) и (12.20а) следует, что и,Я = и„(1) — и„(1); ~,(1) = — и.(1) /К.; (12.21а) Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих примене-„ ние схемы замещения. ф 12.7. Подключение разомкнутой на конце линии к источнику постоянного напряжения.

В линии без потерь, так же как и в коле;„, бательном контуре без потерь, при подключении к источнику посто;, янной ЭДС возникают незатухающие колебания. Период колеба-;„ ний состоит из четырех частей или стадий (рис. 12.3, а — г)', одинаковой продолжительности 1/о, где 1 — длина линии, о — ско;, рость распространения волны. Для рассмотрения этих стадий вос; пользуемся двумя различными схемами замещения. Первая схема (рис.

12.4, а) соответствует разомкнутому концу линии (У„=оо). когда к нему подходит падающая от начала линии волна. Вторая схема (рис. 12.4, б) соответствует моменту времени, когда отраженная волна подошла к началу линии, где включен генератор постоянного напряжения, внутреннее сопротивление которого полагаем равным нулю (2„=0). Рассмотрим каждую из стадий процесса в отдельности. а) Рис. 12.3 Первая стадия.

От генератора к концу линии распространяются волна напряжения и„,=и и волна тока 1„,=и„,/Хв —— г (см. рис. 12.3, а). Вторая стадия заключается в том, что от конца линии к ее началу движется отраженная волна (и„, г.,). Для определения и„и служит схема рис.

12.4, а. Она составлена в соответствии с общим методом, изложенным в ф 12.6. В ней к напряжению 2и„,=2и подключаются волновое сопротивление линии Х, и сопротивление нагрузки У„= оо (линия на конце разомкнута!). Согласно рис. 12.4, а напряжение на нагрузке равно удвоенному напряжению падающей волны. Действительно, при Ун-+ оо ~н и~ — — 2и, = 2и, = 2и. н пк+К и н в В соответствии с формулой (12 21а) отраженная волна напряжения и„= и,„— и„, = 2и„,— и„, = и; в соответствии с формулой (12.20а) отраженная волна тока 1, = — И, /Х,= — 1„= — 1. - Таким образом, в течение второй стадии процесса от конца линии к началу продвигается отраженная волна и„=и, г„,= — г. Результирующее состояние на линии определяется наложением пер- ой падающей волны (и„„г„,) и первой отраженной волны (и„, г„).

На рис. 12.3, б дана эпюра распределения нанряжения и тока по ~внии для некоторого момента времени во второй стадии. (В этой стадии для участков линии, на которые прошли отраженные волны. Рис. 12.4 13» результирующее напряжение равно 2и, а результирующий ток ра вен нулю.) Третья стадия процесса состоит в том, что волна и„, 1„, дойдя до начала линии, отразится от генератора, как от короткозамкнутого конца линии (внутреннее сопротивление генератора принято рав ным нулю), и вызовет распространение в направлении от генерато ра к концу линии второй падающей волны (и„„1„2), являющейся, по существу, отраженной волной по отношению к волне (и„, г.1). Для определения характера отражения волн от начала линии используем схему рис. 12.4, б.

В ней К„=О, 2и.,=2и. Так как нагруз ка У„=О, то и напряжение на ней равно нулю. Но напряжение на нагрузке в соответствии с(12.21) равно сумме напряжения падающей волны (в данном случае ио,=и) и напряжения отраженной от начала линии волны, распространякпцейся от генератора к концу линии и потому названной второй падающей волной. Следовательно, О=и+и„2.

Отсюда ип2 и» ~п2 ип2/~'в Результирующее состояние на линии во время третьей стадии процесса изображено на рис. 12.3, и. Оно получено в результате наложения трех волн: первой падающей волны (и„„1„1), первой отраженной от конца волны (и„, 1„) и второй падающей волны (ип,, 1„2). Четвертая стадия процесса заключается в том, что на три предыдущие волны накладывается четвертая волна, представляющая собой отражение от разомкнутого конца линии второй падающей волны. Отражение второй падающей волны от конца линии произойдет в соответствии со схемой замещения рис. 12.4, а, только вместо 2и„,=2и в схеме будет напряжение 2и„2= — 2и.

Вторая отраженная волна имеет и, = — и, ~„2=1. Результирующее состояние на линии во время четвертой стадии (рис. 12.3, г) есть результат наложения четырех волн: ип,+и.,+и„,+Ио2 = и+и — и — и = О; »и1+»о1+»п2+»о2» 1 ~+» Таким образом, к концу четвертой стадии напряжение и ток вдоль всей линии равны нулю — линия приобретает такое же состо яние, какое у нее было к началу первой стадии. Затем процесс повторяется до бесконечности, так как Я, и 6, были приняты равными нулю.