Bessonov2 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники), страница 4

$11.20. Входное сопротивление линии без потерь при реактивной нагрузке. Определим входное сопротивление линии без потерь при чисто реактивной нагрузке у„= уХ„: г„ ® .. /Я,созе 1~к~у + —. 2 н в в ВХ ~н соилу + / — япфу совфу ~в ~н ~ +/ — МВ чины. Практически это свойство используют при высокой частоте в различных радиотехнических установках. ф 11.19. Входное сопротивление линии без потерь при коротком замыкании на конце линии. При коротком замыкании на конце линии 1/, = 0 и из формул (11.35а) и (11 Зба) следует, что входное сопротивление (11.50) 367 Обозначим — уУ./Х, =1р и учтем, что 1д ру + 1цъ ~к(1У + ~~) ~ ~ р (11.51) Получим г„= ~.г, $д д -~- $дч ' 1 — !к 1а 1и =~~.~кую+ ), т.

е. входное сопротивление изменяется по тангенсоиде, начало которой смещено на угол ч. При индуктивной нагрузке . раЕ аЕ Х =свЕ; 1д~= — / — = —; ч)0; н ' у при емкостной 1 . у( — 1/аС) — ! Х„= —; 1д~ — — у =, ~ '- О. еС' 2, еСЛ,' ф 11.21. Определение стоячих электромагнитных волн. В линиях без потерь при холостом ходе, коротком замыкании, а также при чисто реактивных нагрузках возникают стоячие электромагнитные волны. Стоячая электромагнитная волна образована стоячими волнами напряжения и тока.

Математически такие волны описываются произведением двух периодических (в нашем случае— тригонометрических) функций. Одна из них — функция координаты текущей точки на линии (в нашем случае 1)у), другая— функция времени (ь|). Стоячие волны напряжения и тока всегда сдвинуты по отношению друг к другу в пространстве и во времени.

Сдвиг во времени между стоячими волнами напряжения и тока равен 90', сдвиг в пространстве — четверти длины волны1см. формулы (11.52а) и (11.53а), (11.54а) и (11.55а)~. Точки линии, где периодическая функция координаты проходит через нуль, называют узлами, а точки линии, в которых периодическая функция координаты принимает максимальные значения,— иичностями.

При возникновении стоячих волн электромагнитная энергия от начала к концу линии не передается. Однако на каждом отрезке линии, равном четверти длины волны, запасена некоторая электромагнитная энергия. Эта энергия периодически переходит из одного вида (энергии электрического поля) в другой (энергию магнитного поля). В моменты времени, когда ток вдоль всей линии оказывается равным нулю, а напряжение достигает максимального значения. вся энергия переходит в энергию электрического поля. В моменты времени, когда напряжение вдоль всей линии равно нулю, а ток достигает максимального значения, вся энергия пере- ходит в энергию магнитного поля. ф 1!.22.

Стоячие волны в линии без потерь при холостом ходе линии. Из формул (11.35а) и (11 Зба) следует, что при холостом ходе и=и, рд; (11.52) У 'Я~с ""~" (11.53) Для перехода к функциям времени умножим правые части формул (11.52) и (11.53) на ~/2е'"' и от полученных произведений возьмем мнимые части: и = ~/2 У,софуз1пь|; (11.52а) ~/2 У, яп ~у яп(Ы + 90'). о/ о Угол 90' в аргументе у синуса в формуле (11.53а) соответствует множителю у в формуле (11.53).

В точках «1у = Йл, где й = О, 1, 2, ..., будут узлы тока и пучности напряжения. График стоячих волн напряжения и тока для трех смежных 3 моментов времени ь|, = О, в1, = л/2 и м, = — я показан на рис. 11.9: а — напряжения, б — тока. Сплошными линиями обозначена волна при со1, = О, тонкими — при М = л/2, пунктирными — при 3' ь|, = — ~ для напряжения и при в1з = л для тока. 2 ф 11.23.

Стоячие волны в линии без потерь при коротком замыкании на конце линии. Из формул (11.35а) н (11.36а) следует, что при коротком замыкании на конце линии ~~ = ~!,дТ~~„ь~п~у; 1 = 1,сов~у. (11.55) 369 Для перехода к мгновенным значениям умножим правые части Формул (11.54) и (11.55) на фе '"" и от произведений возьмем мнимые части. ,~ — ~фУС 1 ~И М+90) ~ = ф7 соз р у з1п о'~ (11.55а) В правой части формулы (11.54а) — в формуле для напряжения — есть множитель яп р у яп(в1+ 90'), как и в формуле (11.53а) для тока 1.

Следовательно, картина стоячей волны напряжения при коротком замыкании на конце линии качественно повторяет картину стоячей волны тока при холостом ходе линии. ф 11.24. Четвертьволновый трансформатор. Для согласования линии без потерь, имеющей волновое сопротивление Х„, с активной нагрузкой Е„= Я„ч~ У„применяют четвертьволновый трансформатор (ЧВТ). Он представляет собой отрезок линии без потерь длиной в четверть волны Х/4 с волновым сопротивлением Л .

Сопротивление 7, рассчитывают так, чтобы входное сопротивление в схеме рис. 11.9, в по отношению к точкам а и Ь оказалось равным Е„(при этом на линии с У„практически установится режим бегущей волны): Рв сов 90' + /Х,~ в1п 90' ~вх аЬ вЂ” а'в2/Фв = а'в1. сов 90'+ у — в!и 90' 62 Отсюда Е„= ~Я.Е„. На линии с Я„есть и падающие и отраженные волны. Если нагрузочное сопротивление не чисто резистивное (У„= Я„+ ~Х„), то для согласования У„с У„на заданной частоте к зажимам аЬ на рис. 11.9 кроме четвертьволновой линии подключают еще отрезок короткозамкнутой линии, длину которой берут такой, чтобы суммарная входная проводимость четвертьволновой и дополнительной короткозамкнутой линий равнялась 1/.с„.

ф 11.25. Бегущие, стоячие и смешанные волны в линиях без потерь. Коэффициенты бегущей и стоячей волн. При согласованной нагрузке на линии имеются только бегущие волны напряжения (О = 1У е '11") и тока (1 = l е 7~"). Так как и р и любом у ~ е Л1" ~ = 1, то для бегущей волны действующее значение напряжения и тока вдоль линии неизменно (рис. 11.10, а). При возникновении на линии стоячих волн действующее значение напряжения на линии изменяется в функции расстояния у пропорционально ~ совру ~ при коротком замыкании 1см. формулу (11.54)~.

При несогласованной активной нагрузке на линии возникает смешанная волна — комбинация бегущей и стоячей волн. Если обозначить т = Е,/Х„, то 1/ = У, сов ру + ут У, з1п ру = У, сов ру + + 1'И з1п ~у + у У (и — 1) з1 и ~у, или У = У,е'~" + 1(т — 1) У, з1 п ру. 370 Рис. 11.9 Первое слагаемое определяет бегущую, второе — стоячую волны. Распределение напряжения на линии в функции расстояния у Ф 1/ = 1/;~соз~~у + т'яп'~у. При т) 1 напряжение на конце линии минимально, а через четверть длины волны ру = л/2 максимально (рис. 11.10, б).

При т ( 1 напряжение на конце линии максимально, а через Ру = и/2 минимально (рис. 11.10, в). Коэффициентом бегущей волны называют отношение минимума напряжения смешанной волны к ее максимуму; К,. = и.,„/и..„. Коэффициент стоячей волны К,, = 1/К,, ф 11.26. Аналогия между уравнениями линни с распределенными параметрами и уравнениями четырехполюсника. Напряжение и ток на входе линии с распределенными параметрами ((/,, 1,) связаны с напряжением и током в конце этой линии (У„УД следующими уравнениями [получены из (11.35) и (11.36)„в которые вместо у подставлена длина всей линии Ц ~Я 0~ — — ЕУ~ сЬ т1 + У~ Я„яЬ тР, Х~ — — — ьЬ ф + Р~ сн Ф в Сопоставим их с известными из ч. 1 учебника уравнениями че- С = зЬу1/У„ (11.58) то зависимость между У, и (/,, и У, и зависимость между 1, и (/,, и 7 в линиях с распределенными параметрами точно такие же, как и в четырехполюснике.

Другими словами, при соблюдении условий (11.56) — (11.58) четырехполюсник эквивалентен линии с распределенными параметрами в отношении связи между входными и выходными токами и напряжениями. Напомним, что обратная постановка вопроса, т. е. запись уравнений четырехполюсника через гиперболические функции, рассматривалась в ф 4.11. ф 11.27. Замена четырехполюсника эквивалентной ему линией с распределенными параметрами и обратная замена.

При перемене местами источника и нагрузки в схеме (см. рис. 11.7) токи в источнике и нагрузке не изменятся. Таким же свойством обладает симметричный четырехполюсник. Поэтому однородная линия с распределенными параметрами может быть заменена симметричным четырехполюсником и, наоборот, симметричный четырехполюсник можно заменить участком однородной линии с распределенными параметрами. При замене будем исходить из уравнений (11.56)— (11.58) и зависимостей, с помощью которых параметры симметричного четырехполюсника связаны с коэффициентами А, В, С. Для симметричной Т-схемы замещения четырехполюсника (11.59) (11.6О) (11.61) (11.62) (11.63) Для симметричной П-схемы У,=В; (11.64) (11.65) ~5 В/('1 1) тырехполюсника: О, = А У, + В1;, 1, = СУ, + 07,. Из сопоставления следует, что уравнения по форме полностью аналогичны, а если принять, что А =й =сЬу1; (11.56) В =Л„эЬу1; (11.57) или (11.66) (11.67) (11.68) А =1+7,/Л5; В =74' 2 С= — + Лиф К5 (11.69) Для определения т1 составим выражение для Ф11, использовав (11.56), (11.57) и (11.69): В сЬт1 А А (11.7Р) е~ — е но Вт! = !! — у! е +е Умножив и числитель, и знаменатель последней формулы на е", получим е" — 1 Фт! = 2!! Отсюда (11.71) 2ч! 2а! (2Р! + е =е е' 1 — Вт! Правую часть формулы (11.71) переведем в показательную фор- мУ- Пусть она будет равна Ме!'.

Тогда е'"'=М, и так как е" = е!'"+2"ч1 =е!2В!, где й — целое число, то 2р! — 2йт1 = ч. Отсюда Р! = — + !!!!. У (а) 2 Для реальных линий Р„КО, Со, 6,: Р. Это накладывает условие "а определение й. Следует подсчитать ф по приближенно известному значению фазовой скорости в линии 373 Рассмотрим сначала последовательность операций при замене Т- и П-схем замещения четырехполюсника эквивалентной ему линией с распределенными параметрами (имеется в виду замена при фиксированной частоте).