Bessonov2 (1063916), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Волна 1/~„дойдя до конца второй линии, где включена нагрузка Й„=К, поглощается в ней без отражения. ф 12.11. Исходные положения по применению операторного метода к расчету переходных процессов в линиях. В линии с распределенными параметрами ток ! и напряжение и являются функциями времени и расстояния от начала линии, т. е. 1=1(х, 1); и=и(х, 1).
Току 1(х, 1) соответствует операторное изображение 1(х, Р)„а напряжению и(х, 1) — операторное изображение 1(х, р). Кроме того, имеют место соотношения Е (д / д1)г(х,1) =Е р1(х, Р); 6,(д! д1)и(х, 1) =.Б,РЮ(х, Р). Имея это в виду, запишем уравнения (11.1) и (11.4) в операторной форме: <$С/(х, р) (12.24) = ~о!(» Р)' дх (12.25) = 1'о!/(». Р) Н(х, р) <1» где (12.26) (12.27) ~ о — 1~ о+Р1-о 1 о = бо+Р~о. Уравнения (12.24) и (12.27) отличаются от уравнений (11.7) и (11.8) тем, что 1го заменено на комплексную частоту р.
Из (12.24) и (12.25) следует, что <1з!/(х, р) = ~о)о</(» Р) 1»2 (12.28) ~2!( г1»2 = ~ау /(х, р) (12.29) Решение (12.28) и (12.29): Цх, р) = А,ет"+А,е — '" (12.30) А, А2 !( ) тх+ — тх 2. Х. (12Я) 394 Волна (/з, дойдя до короткозамкнутого конца третьей линии, отразится от него с переменой знака у напряжения. Отраженная от конца третьей линии волна напра жения — !о 057,= — М /2, дойдя доузла а, вызовет токи !'~ — — !'< = — ! /4 в первой и второй линиях в соответствии со схемой замещения (рис. 12.8, а). Волна тока !' < поглощается без отражения в сопротивлении Х„шунтирующем источник тока. Как только волна тока !' дойдет до конца второй линии, импульс тока в нагрузке я « прекратится, поскольку токи ! и !' равны по величине и противоположны по знаку.
Прямоугольный импульс тока через нагрузку появится через время (!<+! )/о и протекает втечение времени 2!з/о, равного удвоенному времени движения волны по линии дл инок !3. До сих пор в гл. 12 рассматривали переходные процессы в линии, используя метод наложения падающих и отраженных волн, продвигающихся по линиям без затухания (так как было принято, что й< =6„=0). Теперь рассмотрим, как рассчитывают переходные процессы с учетом Й и 6 .
ЕгФ Рис. 12.9 где А, и А, — постоянные интегрирования, зависящие от граничных условий. Постоянная распространения у и волновое сопротивление являются функциями комплексной частоты р: ~ =4Яо+Р~-о) (бо+РСо) ~о+Рг-о ~в (12.33) Если линия бесконечно протяженная, то отраженная волна отсутствует и А, =О; А,= 0,(О, р)= У,(р)„где У,(р) — операторное изображение напряжения на входе линии (при х=О). В этом случае И г) = (~ (Р (12.34) ~1(Р) у( ) — ух ~в ~~И г(х, р) = — ьь т (1 — х)+Яр)сй т (г — х). г. (12.36 б) Ир) Ток в нагрузке 1,(р) = .
Положим х=О и из (12.36а — б) 2 Я получим Х„ е/~(р) = е/2(р) [сйтг+ — вь тх); 72 (12.37) ~1(Р) = гг2(Р) Напряжение генератора 395 На рис. 12.9 изображена линия длиной 1, нагруженная на У„(р). Напряжение в начале линии У,(р), в конце линии 0фр). Напряжение генератора 0„(р). Внутреннее сопротивление генератора Х,.(р); , х — расстояние текущей точки на линии от начала линии. Операторное изображение напряжения и тока в точке х запишем аналогично уравнениям (11.35) и (11.36), заменив в них у на 1 — х: Цх, р) = (У,(р)сЬ у (1 — х)+г',(р)У,ьЬ у (Х вЂ” х); (12.36 а) Ф Ф У (+ф в г СЬ71+ — '+ — ' БЬ71 . ~2 ~в Из (12.38) определим (1~(р) и затем Цр) и подставим их в (12.36): ~в Уг(р) [сЬт (! — х)+ — в1гт(! — х)1 ~2 0(х (12.39) Х.
Х. Ьт1+ — '+ — ' ~2 ~в ~2 У„(р) [сЬт(1 — х)+ — вы (1 — х)1 ~в (12.40) Ф. Р)— К +-,'] ~в ~г сии+ + БЬ71 2 в Х„~ р) У„(р) У„(р) Я„(~) Обозначим а= —, Ь = —, с =; т = —" У.(р)' У.(р)' Х.(р)' Я.(р) и введем эти обозначения в (12.39) и (12.40). Получим (1+а)е~1 "1+(1 — а)е Цх, р) = У,(р (1+а+Ь+с)е~~+(1+Ь вЂ” а — с)е 1~г(р) (1+а)ев1 1+(а — 1 е ~1 + "1 1(х, р)— Х„(Р) (1+а+Ь+с)ег~+(1+Ь вЂ” а — с)е (12.39а) (12.40а) — (р) ""+"' — ~ (Р) "" "'+ +сг (р) е — ф41+к)+,1 ' (р) е — 7161 — х) (12.396) Аналогично, для тока: ч 0„ 7(х, р) = — [с' (р) е "" — с2(р) е 2.(р) р~( ) — (~~+ >+р ( ) — ж — 1+р ( ) — м + 1 р~(р) — ~ж — ) 1 (12.406) Здесь Яр) = 1+а 1 — а (1+а) (1+Ь вЂ” а — с) * Яр)= ' Рз(Р) = 1+а+Ь+с' 1+а+Ь+с' ~ (1+Ь+а+с)2 Р4Р) = (1 — а) (1+Ь вЂ” а — с) ( ) р5 Р~— 4Р (1+Ь+а+с)2 ' 5 Р (1+Ь+а+с)а Поделив числитель на знаменатель формулы (12.39а), получим изображения падающих и отраженных волн напряжения в точке, удаленной на расстояние х от начала линии: ~/(х р) — ~ (р) [~ (р) е 'гк+~ (Р~) е г12~ в) Ч~р)— (1 — а) (1+Ь вЂ” а — с) О( ) (1+Ь+ + ) Нахождение функций времени, соответствующих уравнениям (12,39б) и (12.40б) с учетом того, что У„у, У„, Е.
и Х, являются функциями р, в общем случае оказывается довольно громоздким делом. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь нескольких задач. ф 12.12. Подключение линии без потерь конечной длины 1, разомкнутой на конце, к источнику постоянного напряжения. В этом случае Юо=бо=0 и в соответствии с (12.32) и (12.33) т = р.)~,с, = р у; г. = /~7с,; (),( р) = (т ур.
Обозначим время прохождения волной расстояния 1 через то(т = 1/о) и время х/о через т. Тогда из (12.39) следует, что Ц Е"(~Π— С) ~/ ЕР('О ')+Е Р('О т) р е)) рто р Р о+е — Р( Поделив почленно числитель на знаменатель, получим Ц.тт., р) = — (Е Р +Е Р(ОО ) — Е Р(~тО+ )— У Р (12.41) е — Р (4то — д)+е — Р (4то+т)+ В соответствии с теоремой смещения в области оригиналов (см. $ 8.40) от (12.41) перейдем к функции времени и(л,т) = ()))(( — т)+ц~-(лт~ — т))— — Ф вЂ” (2~о+т) )+Ц~ — (4то+т) 1 — ".). (12.42) $12.13. Подключение линии без искажения конечной длины 1, Разомкнутой на конце, к источнику постоянного напряжения (/.
В этом слУчае КОДО = бо/Со =6 )=(Р+6)~/Х,со =(Р+~)/о У. =. = Ддет'С, Ие () 2.й9) следует, что () е) ~(Р+6) й,со(1 — )~ () е) (р+6)(~Π— ) р е)фр+6)(~Ео~о!~ р е))(р+6Ьо () .(р+О) (~„— т) + Š— (Р+О) (~,— «) Р (Р+й то + Š— (Р+Фо (12.43) Таким образом, решение для напряжения в произвольной точке записано как сумма падающих и отраженных волн напряжения (что совпадает с решением, полученным в ф 12.7 волновым методом), незатухающих по амплитуде. Каждое слагаемое решения вступает в действие, когда аргумент соответствующей единичной функции становится -«О. Поделим почленно числитель на знаменатель и перейдем к функ ции времени: ! и(х, о = и[е 1о — 1+с — ~ — 'ч [р — р,— ц— — е х~о+')Ц~ — (2т,+тИ вЂ” е ""о — чЦ1 — (4то — т)1+...). (12.44) Падающие и отраженные волны теперь затухают по амплитуде по экспоненциальному закону в зависимости от пройденных ими расстояний.
Установившееся значение напряжения в конце линии при 1-+-оо в соответствии с п. 5 ф 8.40: УсЬО У о * сй(Ь~Е.„Сф еЫЯ, ~С„ф„' (12.45) В соответствии с табл. ф 8.39: е — а~Р а е — а~~Р ! 2 ф . ' е — а /41 2Ф' ~Ф б) Функция Ф(я) = =- ~ ~е ' д~ (в нашем случае а = х фС/2ф = ~ф~ ~ = а/2ф) представляет собой интеграл ошибок Гаусса (рис. 12.10, а). Решение для напряжения и тока: и(х, ~)= иР— 1()]; 2 ~(х, 1)=0~»вЂ” ~лР ф (12.47) Отметим, что решение, полученное в предположении, что у кабеля Ео — — бо=0, имеет два недостатка: 1) напряжение и ток передаются от точки к точке не с конечной, а с бесконечно большой скоростью„2) ток в начале линии в момент включения достигае~ бесконечно большого значения (в действительности он ограничивается хотя и малым, но конечным сопротивлением источника питания).
398 е) 12.14. Подключение бесконечно протяженного кабеля без индуктивности и утечки к источнику постоянного напряжения К Полагаем, что прямой и обратный провода кабеля близко расположены друг к другу (поэтому Е =О) и его изоляция между проводами очень хорошая (60-0). Тогда согласно (12.32) и (12.33) у = фСР; Х. = ф/Ср.
Обозначим а = х фС и учтем, что У,(р) = У/р. По(12.39) и (12.40), ~/ .„г' 0(х, р) ГС е У(х,р) = — е ~~"Р; 1(х,р) = ' = 0 ~~ — =. р ' ' К. ~Л ~р ФИ 7«« аю «(Ф ~ф ЦУ г .г «гЯ~ЮВи Ю И Рис. 12.10 ф 12.15. Подключение бесконечно протяженной линии без утечки 'к источнику постоянного напряжения. Полагаем бо=0 и из формул (12.32) и (12.33), обозначив «) = 1Я)))АС; Ь = Я /2Ео, определим 1 У-2 —— Т =4~о+Р«-о)Рсо = ЧР +~ор' ~ о+Р)о ' /~о 1 в Изображение напряжения в начале линии (l,(0, р)= У/р. В соответствии с формулами (11.34) и(11.35) изображение напряжения и тока в точке, удаленной на расстояние х от начала линии, д Г2 ~/ --~~р-+2фр У(х, р) = — е Р д Г2 с,) --„ЧР-+2фР «(х р) — «) Рс:с «вЂ” Ъгрггеар Для определения тока «(х, 1) как функции времени 1 и расстояния х(для 1- х««« = т) воспольз емся табличным соотношением — и О +2«гр е о~,/ (««у ~ф — х2), Р +2«)Р , гдеХа)уб фа — га) — бесселева функпиннулевогопорядкаог мнимого аргумента.
Значения ее приведены в табл. 15.1. Следовательно, (х, «)= «у — о . ~'«о(1Ь «2 — ( 1 ) ° (12.48) В соответствии с (12.48) на рис. 12.10, б изображена зависимость Х (м, «) ~~о =1(««)=1 — « . с, = ы, ~о йох Из рисунка видно, что при малых х (малых — ) ток «, получив ~"~о 399 большой начальный толчок, уменьшается во времени. При больших значениях х ток 1 после скачка сначала возрастает, а затем умень шается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
