Bessonov2 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники)

противостоящими друг другу элементами (участками) линии. В магнитных линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления представляют собой магнитные сопротивления самих магнитных стержней, образующих магнитную линию, а поперечные сопротивления обусловлены утечкой магнитного потока по воздуху между противостоящими друг другу участками линии. Линию с распределенными параметрами называют однородной, если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины и равны друг другу все поперечные сопротивленияя участков линии одинаковой длины.

Участок линии Рис. 11.1, ц однороден, если Х, = Х~ = Лз — — ... и 74 = 75 = Я6. Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если продольные сопротивления в ней различны или поперечные сопротивления неодинаковы. Кроме того, линии с распределенными параметрами можно под-разделить на две большие группы: нелинейные и линейные. В нелинейных линиях с распределенными параметрами продольные и (или) поперечные сопротивления являются функциями протекающих по ним токов, в линейных продольные и поперечные сопротивления не являются функциями протекающих через них токов. Примером нелинейной электрической линии с распределенными параметрами является электрическая линия передачи высокого напряжения при наличии между проводами линии тихого электрического разряда (явление короны на проводах).

В этом случае емкость между противостоящими друг другу участками линии является функцией напряжения между этими участками. Примером нелинейной магнитной линии с распределенными паРаметрами является линия, образованная параллельно располоЖенными магнитными сердечниками, которые в процессе работы линии могут насыщаться. Когда используют термин "линия с распределенными параметРами", то обычно его мысленно связывают с мощными линиями "ередачи электрической энергии на большие расстояния, с теле- фонными и телеграфными воздушными и кабельными линиями с рельсовыми линиями автоблокировки на железнодорожном транс порте, с антеннами в радиотехнике и другими родственными лини ями и установками.

В то же время с линиями с распределенными параметрами имеют дело и тогда, когда *'линий" в буквальном смысле слова, казалось бы, вовсе нет. Так, обычная индуктивная катушка при достаточно высоких частотах представляет собой ли нию с распределенными параметрами. Картина электрического и магнитного полей катушки показана на рис. 11.1, б. Линии напря женности электрического поля Е показаны пунктиром, линии напряженности магнитного поля Š— сплошными линиями. Схема замещения катушки показана на рис. 11.1, в.

Из рисунка видно, что кроме индуктивностей в схеме есть межвитковые емкости и емкости на корпус прибора (на землю). Если по катушке проходит переменный ток, то через межвитковые емкости и емкости на землю также идет ток. При одном и том же напряжении между соседними витками ток через емкости тем больше, чем выше частота переменного тока. При низкой частоте (десятки, сотни, тысячи герц) ток через емкости несоизмеримо мал по сравнению с токами через витки катушки и наличие емкостей можно не учитывать в расчете (что и делалось до сих пор). Если же частота тока очень велика, например сотни миллиардов герц, то токи через емкости могут во много раз превышать токи через витки катушки.

В этом случае вся катушка в целом будет оказывать прохождению переменного тока емкостное, а не индуктивное сопротивление (количественные изменения перешли в качественные). При промежуточных частотах порядка нескольких мегагерц(когда линейные размеры катушки соизмеримы с длиной волны) индуктивная катушка является типичной линией с распределенными параметрами.

Если индуктивная катушка намотана на стальной сердечник, который способен насыщаться, и частота тока достаточно велика, то все устройство в целом представляет собой сложную совокупность из электрической и магнитной нелинейных цепей с распределенными параметрами. В курсе ТОЗ изучают только основы однородных линейных цепей с распределенными параметрами. Вся теория излагается применительно к электрическим линиям с распределенными параметрами на переменном токе. Теория однородных линейных электрических цепей с распределенными параметрами на постояв ном токе непосредственно следует из теории цепей переменного тока, если принять угловую частоту равной нулю.

Теория однородных линейных магнитных линий на постоянно~ токе в значительной мере аналогична теории однородных линейны" электрических линий с распределенными параметрами, только вместо тока в уравнении должен быть подставлен магнитный поток вместо электрического напряжения — магнитное напряжен "е 352 Рис. 1$.2 вместо продольного активного сопротивления — продольное магнитное сопротивление, вместо поперечной электрической проводимости — поперечная магнитная проводимость. $11.2. Составление дифференциальных уравнений для однородной линии с распределенными параметрами. Пусть йо — продольное активное сопротивление единицы длины линии; Š— индуктивность единицы длины линии; С вЂ” емкость единицы длины линии; 6 — поперечная проводимость единицы длины линии. Поперечная проводимость 6 не является обратной величиной продольного сопротивления Й„.

Разобьем линию на участки длиной дх ~рис. 11.2), где х — расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине дх активное сопротивление равно Р„ дх, индуктивность — Ефх, проводимость утечки — бфх и емкость — Сфх. Обозначим ток в начале рассматриваемого участка линии через г, а напряжение между проводами линии — через и.

И ток и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии х и времени 1. Поэтому в дальнейшем в уравнениях использованы частные производные от и и ~ по времени ~ и расстоянию х. Если для некоторого момента времени ~ ток в начале рассматРиваемого участка равен ~,то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце участка для того же момента времени равен дг '+ — дх, где д~/дх — скорость изменения тока в направлении х.

Скодх рость, умноженная на расстояние дх, является приращением тока на пути ~1х. Аналогично, если напряжение в начале участка и, то в конце ди уЧастка для того же момента времени напряжение равно и+ — дх. дх Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной дх, обойдя его "о часовой стрелке: д~ ди — и+ йодхг + Аодх — + и+ — Ох = О. 12 зак 683 После упрощения и деления уравнения на дх получим ди дс — — =Š— +Яф дх "д~ По первому закону Кирхгофа, дк 1= дую+1+ — дх. дх (11.2) Ток Ж(рис.

11.2) равен сумме токов, проходящих через проводи мость 6фх и емкость Сфх: ди д ди й=(и+ — дх) 6 дх+ — С дх(и+ — дх). 0 д~ О Пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости. Тогда й = ибодх + Содх —. ди (11.3) д1 Подставим (11.3) в (11.2), упростим и поделим уравнение на дх: дг ди (11.4) — — =б и+С— дх О ОД Уравнения (11.1) и (11.4) являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами. ф 11.3. Решение уравнений линии с распределенными параметрами при установившемся синусоидальиом процессе.

Пусть напряжение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени, Воспользуемся символическим методом. Изображение тока 1= 1 з1п(Ы+ ~р,.) — э1е' ' где1 = 1 е~'и/~/2. Изображение напряжения и = У а1п(со1+ ср„)-э Уе~"', ~ьИ ди д0 дх дх* Š— — ЛОà — е' = 1ь|. 1е~"; 'ы .ы. од~ А~ — о (11.5) где 0 = 11 е~~и/~/2. Комплексы У и 1 являются функциями расстояния х, но не являются функциями времени. Множитель е~"'есть функция времени 1, не зависящая от х.

Представление изображений тока и напряжения в виде произведения двух множителей, из которых один является функцией только х, а другой — функцией только 1, дает возможность перейт~ от уравнений в частных производных 1уравнений (11.1) и (11.4)1 к уравнениям в простых производных. Действительно, д~ д( — -~е~ ' —; дх дх' д~ С вЂ” — /ьс бе/ '. Оя О (11.6) Подставим (11.5) и (11.6) в (11.1) и (11.4), сократив в полученных уравнениях множитель е~"' — дУ/с1х = Уо1; (11.7) (11.8) — И/дх= 1",К где (11.9) к„=й +уве,; 1 о — ~о +!®Со. (11.10) Решим систему уравнений (11.7) и (11.8) относительно К С этой целью продифференцируем (11.7) по х: 620 И =~о д„2 0дх (11.11) В (! 1.11) вместо И/дх подставим правую часть уравнения (11.8): ~'и = ~о~о~.

(11.12) Уравнение (11.12) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение (/=А,е'"+ А е "'. (11.13) Комплексные числа А, и А~ есть постоянные интегрирования, которые в дальнейшем определим через напряжение и ток в начале или через напряжение и ток в конце линий. Комплексное число (11.14) "взывают постоянной распространения; его можно представить в виде [у~ ='1а~ = 1р] = 1/м.

т=а+Ю, (11.15) "де в — коэффициент затухания, характеризующий затухание па"ающей волны на единицу длины линий, например на 1 м (км); р— коэффициент фазы, характеризующий изменение фазы падающей ~~лны на единицу длины линии, например на 1 м (км). Следовательно, Ток 7 найдем из уравнения (11.7): ° 1 лц А е "'" — А,е~" У вЂ”вЂ” ~о ~х ~о/7 (11.16) Отношение Ее/т = Уьф~й 'т' = ф,/У„имевшее рннмерноеть сопротивления, обозначают У, и называют волновым сопротивлением: йо+ /~1.о (11.17) где г„— модуль; 1р, — аргумент волнового сопротивления У„. Следовательно, А А 1= — е т — — ет.