Bessonov2 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники), страница 2

2 х 1 х ~в ~и (11.16 а) Для линии постоянного тока в=О и потому 7 = Фобе (11.19) Для линии синусоидального тока без потерь (йо = бо — — 0) Т = увЪГЛОСо . (11.2О) Запишем формулы для приближенного определения р и а в линии с малыми потерями, когда 1т /в1. «! и б /вС «1. С этой целью перепишем формулу (11.18) следующим образом: . ~~о !~2 . бо т = ?вы,Со(! — ! — ) ( ! — ! — ) в1.о в Со и разложим биномы в ряды, ограничившись двумя членами каждого ряда 1 т. е. воспользуемся соотношением 1~1 + хж 1 + 0,5х1. В результате получим (11.21) !го Ло бо т ж — — + — — +увф С ~/1 2 1!С о о.

Следовательно, (11.22) а= — — +— ?.о ~ Со 1! = в ФоСо. (11.22а) Рассмотрим вопрос о волновом сопротивлении. Для постоянного тока (в = О) нз (11.1?) следует, что .23) К, = ~Гг,Уб,. (11.23 Для линии синусоидального тока без потерь (йо = бо — — 0) ~и = ФО~Со (11,23а) Для линии синусоидального тока с малыми потерями, когда !~о бо — «1, — «! вьо * всо $1!.4. Постоянная распространения и волновое сопротивление.

Как указывалось ранее, постоянная распространения у = н+ И = 4~о+ М-о)(бо+ ?вСо) (11.18) (11.24) - % . 1~о 6о ~.= ~/ — 11+0 — — + — )1. Со 2ы~о 2ысо Для реальных воздушных линий ~ У~ ж 300 —:600 Ом„для кабельных ~~„~ ж 50 —:200Ом. Угол ~р имеет емкостный характер. ф 11.5. формулы для определения комплексов напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии.

Как и раньше, через х будем обозначать расстояние от начала линии до текущей точки на ней. Пусть в начале линии при х = Р напряжение У', и ток 1,, Составим уравнения для определении постоянных А, и Аа через 6, и1,. Из (11.13) и (11.16а) следует (х = О). У,=А,+А,; (11.25) УЯ„= А,, — А,. (11.26) Для определения А, из (11.25) вычтем (11.26): А, = 0,5(Е/, — У,7,) = А,е~во; (11.27) А, = 0,5(У, +1,Х) = А2е'тп, (11.28) где А, — модуль; тр, — аргумент комплекса А,; А, — модуль; т1~„— аргумент' комплекса А,.

Подставим (11.27) и (11.28) в (11.13): и, — ~,л. и, + ~,к, 0= ет" + е 2 2 ет» + е — тх . етх е — тх =У 2 ' " 2 — /У Введем гиперболические функции. Известно, что сЬх= 0,5(е" + е "), зЬх= 0,5(е" — е "). Позтому (11.29) (11.30) 0,5(е'" + е '") = слух; 0,5(ет* — е '") = затух, Следовательно, (l = У,с11ух — 1,Е,затух.

(11.31) Аналогичные преобразования„примененные к (11,16), дают Ц (11.32) 1 = !,с11ух — — затух. Х. ! Индексы «о» и «и» вЂ” начальные буквы слов «отраженная» и «падающая» волны (см. % 11 8) Рис. $1.3 Формулы (11.31) и(11.32) позволяют найти комплексы напряжения и тока в точке линии, расположенной на расстоянии х от ее начала. Следует иметь в виду, что аргументом гиперболических функций в этих формулах является комплексное число ух= ах+ фх. ф 11.6.

Графическая интерпретация гиперболических синуса и косинуса от комплексного аргумента. Гиперболические функции от комплексного аргумента сами являются комплексами и могут быть изображены векторами на комплексной плоскости. Заменим ух в уравнениях (11.29) и (11.30) на ах + фх: 1 с1~7х — (еахель + е — аде — дух). 2 1 затух = — (е е'~" — е 'е '~"). 2 ф 11.7.

Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии. Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии у, а длину всей линии (рис. 11.4) 1: ц= 1 — х. (11.33) Пусть известны напряжение и ток в конце линии У и!, Подста вим в(11.13) и(11.16а) х =1, У= У,,1=1, и составим два уравне По таблицам показательных функций найдем значение е'" и е "" и на комплексной плоскости рис. 11.3 отложим векторы е е'~* и е ""е '~". Первый из ннх по модулю равен е ' и относительно оси действительных значений повернут на угол рх против часовой стрелки; второй по модулю е — и относительно осн действительных значений повернут на угол рх по часовой стрелке.

Гиперболический косинус равен полусумме этих векторов, а гиперболический синус — их полуразности. Аикц лииии ксиви лииии Рис. 11.4 ния для определения постоянных интегрирования А, и А,: У,=А е "+ А,е"; 1 У, = А е " — А,е". Отсюда А~ — — 0,5(0 — /~Е,)е ~~ = А ~е~Во; А~ — — 0,5(0~ + 1~7,)е = Аве~~ . ф (11.34) ~~2 ! = айтау + 12с11уу. ~'в (11.36) Зная У, и 1, с помощью формул (11.35) и (11.36), можно найти комплексы напряжения и тока в точке, находящейся на расстоянии у от конца линии.

ф 11.8. Падающие и отраженные волны в линии. Подставим в Формулу (11.13) А,е~1о вместо А,, А е~1п вместо А 1см. (11.34)~, заменив у на а + ф, получим У = А,е'"е~1вв+ М + А е "е~(вп — В">. (11,37) Аналогичную операцию проделаем с формулой (11.16а), причем в дополнение заменим Е, на а,е~~в [см. формулу (11.17ф А, А, еые!(во+В~ — чван+ — е — «е!ьп ВР ~в).

(11 38) 'ав 'ав ,Цля перехода от комплексов напряжения и тока к функциям ~ремени умножим правые части формул (! 1.37) и(11.38) на ~/2 е'"' и от произведений возьмем мнимую часть: "=А,~/2е а1п(Ы+ ф, + ~х)+Ад~2 е "" з1п(Ы+ ~1„— рх); (11.37а) Если подставить (11.34) в (11.13) и (11.16а), заменить 1 — х на у и перейти к гиперболическим функциям, то получим Ц = У2С1туу + У Е„зьуу (11.35) Рис.

11.5 Рис. 11.6 А, г = — ~2 е~" ып(Ы + «р„+ ~х — ф,) + в Л р~2 + — е '"я! п(о1 + ф„— (1х — $,). в (11.38а) 360 Падающей электромагнитной волной называют процесс перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника энергии к приемнику, т. е. в нашем случае в направлении увеличения координаты х.

Электромагнитное состояние определяется совокупностью электрического и магнитного полей, обусловливающих друг друга. Падающая волна, распространясь от источника энергии к приемнику, несет энергию, заключенную в ее электрическом и магнитном полях. Отраженной электромагнитной волной называют процесс перемещения электром а гнит ного состояния (электром а гнитной волны) от приемника к источнику энергии, т.

е. в нашем случае в сторону уменьшения координаты х. Падающая электромагнитная волна образована падающей волной напряжения(второе слагаемое формулы (11.37аИ и падающей волной тока [ второе слагаемое формулы (11.38а)$ Отраженная электромагнитная волна образована отраженной волной напряжения 1пер вое слагаемое формулы (11.37а)~ и отраженной волной тока 1первое слагаемое формулы (11.38а)). Знак минус у отраженной волны тока свидетельствует о том, ч™ поток энергии, который несет с собой отраженная электромагнитная волна, движется в обратном направлении по сравнению с пото ком энергии, который несет с собой падающая волна. Каждая компонента падающей волны (волны напряжения ил" волны тока) представляет собой синусоидальное колебание, амп литуда которого уменьшается по мере роста х(множитель е "") а аргумент является функцией времени и координаты х.

Каждая компонента отраженной электромагнитной волны за тухает по мере продвижения волны от конца линии к началу (мно житель е""). Физически эффект уменьшения амплитуд падающей и отраженной волн по мере их продвижения по линии объясняется наличием потерь в линии. На рис. 11.5 изображены графики распределения падающей волны напряжения вдоль линии (в функции х) для двух смежных моментов времени: 1, и 1 -:.1,. Падающая волна распространяется слева направо. При построении принято ш|, + ф, = О. На рис. 11.6 представлены графики распределения отраженной волны напряжения для двух смежных моментов времени: 1, и !,:> 1,. Отраженная волна распространяется справа налево.

ф 11.9. Коэффициент отражения. Отношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом отражения по напряжению и обозначают К„. В соответствии с формулой (11.34) А е"1 А т' 2+ ~„ При согласованной нагрузке К„= О, при холостом ходе К„= !. Коэффициент отражения по току К,. = — К„. ф! 1.10. Фазовая скорость.

Фаэовой скоростью о называют скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линий, чтобы наблюдать одну и ту же фазу колебания, или иначе: фазовая скорость— это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния. Если фаза падающей волны напряжения неизменна, то в соответствии с формулой (11.37а) со1+ ф„— 1)х = сопз1. Возьмем производную по времени от обеих частей последнего равенства: д дх — (Ы + ф — рх) = О, или ы — р — = О.

Ж Ж Отсюда о, =дх/Й =со/~ Пример 116. Найти фазовую скорость для воздушной двухпроводной линии с малыми потерямн. Р е ш е н и е . Из формулы !1!.22а) следует, что р = ыф С . Поэтому 03 ! оф= = с — —. р у!о ~о Индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии где ро — магнитная постоянная; 0 — расстояние между осями проводов; г — радиус каждого провода. Емкость единицы длины воздушной двухпроводной линии см. формулу (19.43) пео Со — — —, где ео — электрическая постоянная. 1и— г 1 1 Фазовая скорость иф —— о ~й о'о 1 ж300 000 км/с. 1,256 10 Гн/м 6,86 10 Ф/м $11.11.