С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 53

Системы уравнений (у1,123) для рассматриваемой задачи имеют вид !г<'> +Ог<г> +Огг(з) = 1 0,4г,") + О,бг1<8>+ Ог<з> = О, 0,5г<'> +Юг(<г>+0,5г<з> = О, 1г<» -(- Ог<г> + Ог<з> = О, 0,4г<'>+О,бг<'>+Ог<'> = 1, г я 0,5г<') +Ог<у> + 0,5г(з) = О. В результате решения систем (у< 126) получаем Использовав полученные решения в системе уравнений (у1.122), получим формулы квази междУ натУРальными кооРдинатами хг и системой кооРдинат з зв — — 1 — хз — ха = 2хв. 2) среди всех комбинаций выбирают те, где сумма компонентов меньше единицы и вытюлняются ограничения (Ч1.130).

В выбранные комбинации добавляют пропуще1(ные компоненты в количестве, удовлетворяющем соотношению 2х,=1. Полученные таким образом точки плана, удовлетворяющие условию (Ч1.130), расположены в вершинах ограничивающего многогранника; 3) к полученным таким образом точкам плана добавляюг центры двух-, трех-,..м(0 -1)-мерных граней многогранника н его центр. С ростом о число комбинаций условий эксперименго быстро растет и становится значи гельно больше числа коэффициентов обычно применяемого для э.тих планов полинома второго порядка. Определение коэффициентов уравнения регрессии второго порядка проводится по методу наименьших квадратов.

Поскольку план эксперимента ненасьпценный, проверку адекватности уравнения регрессии можно проводить, используя Г-критерий. (зассмогрим построение плана Мак Лина и Андерсона для исследования и оптимизации яркости свечения смеси, компонентами которой являются магний (х,), сода (х ), нитрат стронция (хв) и связующее вещество (х«). На содержание компонентов в смеси накладываются следующие ограничения: 60 0,40 «с х, ~ 0,60, 0,10 ~ ха ~ 0,50, 0,10 ~ хв ~ 0,50, 0,03 «с ха ~ 0,08.

В табл. 80 приведены все возможные комбинации составов смеси с пропусками в комбинациях одного из компонентов. т а б л н и а 80, Выбор аврелии многогранника в плане Мак Лина н Андерсона Солерваннс компонентов Номер опыта Соасрн«пнс компооснто» Рис 70, линии равных значений температур ээ 0,10 0,10 0,50 0,50 0,10 0,10 0,50 0,50 0,47 О,зг.

0 Са(~х(~Ь! ~1 (Ч1 130) 0 ОЗ 0,08 0„03 0,08 0,03 0,08 о,оз 0,08 о ~Э~ а!ъ! и ~0~ 57~1 т=! (=! (Ч1. 131) 0,27* 0,22* * Коли«естес лозавлсноого компонента. Таким образом получено 8 точек плана — вершин многогранника (рис. 71). Эти точки необходимо дополнигь координатами центров всех граней многогранника и центра многогранника (табл.

81). 295 Подставив (0! 128) в ((71125), получим уравнение регрессии в исходных координатах у = 99,88+ 20,82х — 7,63хв+ 92,88х ха — 107,83х + 279,28х— а ' в 1373 69хзха 243 59хахз+2230 35хз ха+312 78хзз 965,12хзз + + 2146,05хзхв — 179,60х хзт 212 96х2+ 1127 1хз 4(Ч!'129) Ллв удобства использование по уравнению регрессии построены линии равных температур (рис 70), ПОх 5 70 (5 20 25 50 55 40 45 50' к со 2.

Исследуемая область — многогранник. При наличии ограничений на изменение концентраций компонентов исследуемая область в общем случае образуе~ некоторый многогранник. При нос~роении плана экспериментов надо некоторым образом распредели~ь экспериментальные точки по получаюшемуся из условия многограннику. При этом вырожденные случаи исключаются.

Экспериментальные точки предложено выбирать следузсщим образом: 1) выписываются все возможные комбинации двух уровней а, и Ь, для каждого из компонентов, но в каждой комбинации пропускает. ся содержание одного компонента. Число таких комбинаций для т)-компонентной смеси равно «72Р ', 294 0,40 0,40 0,40 0,40 0,60 0,60 0,60 0,60 0,40 О,4О 0,40 0,40 0,60 0,60 0,60 0,60 О,(О 0,50 0,10 0,50 0,10 0,50 о,ю 0,50 о,ю 0,10 0,50 0,50 0,10 О,ю 0,50 0,50 Номер опыте Солерпенке комоононтое Точки, обретгмоме грань к, к (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) 0,345 О,!а 0,2725 Ц 1725 0,2350 0,2 100 0,2225 0,50 а,м) 0,40 0,60 0,50 0,50 0,50 0,10 0,345 0,2725 0,1725 0,2350 0,2100 0,2225 0,055 0,055 0,055 0,055 0,030 0,080 0,055 (1), (2), (3), (4) (5), (6), (7), (8) (1), (2), (5), (6) (3), (4), (7), (8) (1),(3),(5),(7) (2), (4), (6), (8) Центр многогранника Номер опыта Номер оомте к, 0,40 О, 10 0,40 0,10 0,60 0,10 0,60 0,10 0,40 0,47 0,40 0,42 0,60 0,27 0,47 0,42 0,27 0,22 0,10 а,ю 0,10 а,ю 0,03 0,08 0,03 0,08 0,03 0,08 0,03 0,08 75 180 195 300 145 230 220 350 0,50 0,50 0,40 0,60 0,50 0,50 0,50 0,10 0,345 0,2725 О,!725 0,235 0,210 0,2225 0,055 0,055 0,055 0,055 0,030 0,080 0,055 9 10 !1 12 13 14 15 0,345 а,ю 0,2725 0,1725 0,235 0,2 10 0,2225 220 200 190 310 200 410 425 х! = 1, х/гм х1,=0, х)=1 — к)=Ь, хв=О, Ь(т/з, х! = х) = хь = '/а (ч1,!зз) 0,60 0,22 /дйа) /а оба/ /дади Рис, 71, План Мак Лина и Андер- сона 297 !1-кге Табл и па 81.

Выбор центров граней в плане Мап Лава а Анакреона Координаты центра многогранника определяются усреднением соответствующих координат всех восьми вершин плана, координаты центров граней — усреднением координат точек, образующих грань (табл. 81 и рис. 71).

Целиком план Мак Лина и Андерсона для четырехкомпонентной смеси и результаты эксперимента приведены в табл. 82. Т а б л и ц а 82. План Мап Лава в Лааерсева лла петырекпемпеневтаев смеси Коэффициенты приведенного полинома второго порядка определены по методу наименьших квадратов. Уравнение регрессии имеет вид Л (/ = — 1,558х, — 2,85!хз — 2,426ха+ + 14,372ха+ 8,300хгхз+ 8,076х,ха— — 6,625хгха+ 3,213хзхз — !6,998хзха— — ! 7,127хзха (Ч! ! 32) Так как зависимость свойства от состава адекватно описывается уравнением регрессии второго порядка, оказалось возможным определить оптимальные условия, применив метод нелинейного программирования.

Усло- вия, обеспечивающие максимальную яркость свечения, определялись при ограничениях (Ч). 131): Л В,„= 397,48 прн кг = 0,5233, хз = 0,2299, хз = О,!608. ха = 0,080. С увеличением числа компонентов смеси число экспериментальных точек в плане Мак Лина и Андерсона быстро возрастает. Для сокращения числа экспериментов можно исключить некоторые из центров граней или такие точки, после исключения которых оставшиеся оказываются распределенными по исследуемой области более или менее равномерно.

5. Р-Оптимальвме влавм. Среди различных известных критериев оптимальности планов важнейшими являются требования Р- и 6- оптимальности Р-Оптимальным называе гся план, минимизирующий объем эллипсонда рассеяния оценок коэффициентов уравнения регрессии. Свойство 6-оптимальности обеспечивает наименьшую максимальную величину дисперсии предсказанных значений отклика в области исследования. Симплекс-решетчатые планы обладают свойствами Р- и 6-оптимальности только при построении полиномов второго и неполного третьего порядка.

Планы Шеффе более высокого порядка не являются Р-оптимальными. Р-оптимальная симплексная решетка для полинома третьего порядка была построена позднее Кифером. Если рассмотреть множество планов с координатами точек то для построения полинома третьего порядка план будет Р-оптимальным при Ь-(1 — з/5)/2, т.е. точки на сторонах симплекса берут с координатами х, -0,2764; х> -0,7236. В табл. 83 приведен Р-оптимальный план для построения поли- нома трезъего порядка в трехкомпонентной системе. Т а б л и ц а 83.

Д-Оптпмаеьаый план ллл полавома третьего порплка а треквомиовсвтвей системс По этому плану определяются коэффициенты полинома трегьего порядка того же вида, что и при реализации обычной симплекснай решетки: л У Ум 91«! + ~~Р Рык!«!+ »~' тцхгх> (х! х>) + !<><с 1<!</<е 1«<><9 + ~ ~РЦд«1«!хд ° 1<!<!<Д<е (Ч1. 134) ФорМулы для расчета коэффициентов полинома получены подстановкой координат экспериментальных точек в уравнение ре~рессии: 8! Уз [)Ц = '/2 (У> Г!+ УЦ>+ УЧ вЂ” У>) тц = а/я [5 (у>ц — уц!) — уз +у![ (Ч! . 135) Вцд 27уцд 12/я (ун>+ уц>+ уцд + у>да+ у>дд +уцд) + 6(у! +У> + уз) >,а !,О Проверка адекватности и пос! роение доверительных интервалов при использовании /)-оптимального плана (табл.

83) проводятся так же, как и в методе симплексных решеток. Зависимость г, от состава приведена на рис. 72. При построении полинома четвер!ого порядка для трехкомпонентной системы план будет /)-оптимальным при 7 — )/ 21 к;=: к!=-1 — к;; хд=О, 14 !,а !Д ОР лр 50 !,0 !д нли Рнс, 72, Изалиннн с для В-оптимачьного плана третьего порядка Рис 73. Изолинни ."', для В-оптимального плана четвертого порядка Кс = О,!727! х> = 0,8273; хд = О. (Ч1.136) Т а 6 ли да 84. В-Оптимальный план для пелпаема четлертоге перпдпа и треяпемпепептпей слстеме Номер опыта 298 299 1 г 3 5 6 7 8 !О 11 12 13 14 15 ! о 0 0,5 0,5 0 0,8273 О,!727 0,8273 О,!727 0 0 0,567 0,2165 0,2!65 о 1 0 0,5 0 0,5 0,1727 0,8273 0 0 0,8273 0,1727 0,2165 0,567 0,2165 о 0 ! о 0,5 0,5 0 0 О,!727 0,8273 О,!727 0,8273 0,2165 0,2165 0,567 У Уз Уз У 2 У Узз У|1 п Упм Уы~з У~ззз У2222 Узззз Унгз У~ма Уз гзз Кроме того, в /3-оптимальном плане четвертого порядка имеются точки с коорлинатами 7 — )г 5 «1 = х> = , '«д = ! — (к; + к>), 22 или к! = х> = 0.2165; хд = 0,567.

(Ч1. 137) В табл. 84 приведен Р-оптимальный план четвертого порядка для трехкомпонентной системы. По этому плану определяются коэффициенты уравнения регрессии вида Л У = 31«1+ 32«2+ 33«з+ 622«1«2+ 813«1«з+ 323«зла+ т,зх,х, (х, — «2) + + 713 1 3 ( 1 3) + 723«2«3 («2 «3) + 12«1«2 («1 «2) + 13 «1«а («1 «з) + 823«2«з (12 «3) + Уизахз! «зхз + 3122ахт«22 ха+ 91233«1«2«33, (Ч1.138) Формулы для расчета коэффициентов полинома четвертого порядка получены подстановкой координат экспериментальных точек в уравнение регрессии: 3>=у! (Н1.