С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 55

Составы растворителя, удовлетворяющие требованию у (005%, находятся в заШтрихованной гг облети симплекса. хз = '/а ( — Зг, — г, тт' 3 + гл), ха = з/а ( Зг — гя 1' 3+ ел), ха = '/а ~ 2гв >г 3+ пт) (Ч1.159) О,— р аг дг аз аи зя оо от оо оо 305 74 гя1» + 16ггз~>+ 10г!з> = 1 В результате решения системы (У1.150> имеем Рис. 77.

Изолинии остаточного содержания углевадородов в биомассе б. Планы с минимизацией систематичесКого смешения. В планах, предложенных Дрейпером и Лоуренсом, в отличие ог симплексных Решеток все >очки расположены внутри области исследования, т. е. эксперимен> проводится только с и-компонентнь>ми составами. В этих планах учитывается отсутствие априорной информации о поверхности отклика и тот факт, что желательно аппроксимировать неиз- вестную поверхность отклика полиномами низких степеней. Экспериментальные точки выбираются таким образом, чтобы обеспечить наилучшее представление сложной поверхности пРостыми полиномами. Точки плана для построения полинома степени л, выбирают таким образом, ч>обы получить минимальную величину систематической ошибки, связанной с тем, что функция отклика есть полипом степени пв> л,. Принци- хг пы, используемые при выборе полходящих Рис, зк система коорлпланов, были предложены ранее Боксом и наг для планов дрейпеДрейпером.

Дрейпером и Лоуренсом построены планы для трех- и чегырехкомпонентных систем для степеней полиномов л, -1, ля=2, лз -2 и л =3. Для удобства построения планов Дрейпер и Лоуренс вводят новую систему координат. В трехкомпонентных системах в плоскости концентрационного треугольника (хи х,, х ) новая система координат выбирается таким образом, чтобы начало координат совпадало с центром тяжести треугольника, одна из вершин треугольника лежит на оси г„а две другие симметричны относительно этой оси (рис. 78). Между треугольной системой координат (хз, лы х,) и прямоугольной (го г,) существует следующая связь. г, = — ~ — х, -)- хар г, = — ~ — хз — х -1- 2хв) где лг — длина стороны концентрационного треугольника.

При изучении всей диаграммы т-1, при исследовании локальных участ.- ков диаграммы т( 1. Точки плана для трехкомпонентных систем выбираются (в координатах г,, гг) из следуюШих множеств: 1) вершины треугольника, подобного концен>рационному, с центром в начале координат и со стороной /х 2) вершины треугольника, подобного концентрационному, с центром в начале координат и со стороной г: или или (Ч1,161) х, = '/з ( — 0,366 $/3+ ! ) = О,!2; хе =- '/з ( — 0,366! 3+ 1) = — 0,12; ха =- з/ ( 2 0,366 )/3+ 1) = — 0,76.

Знвиснив Л выбирвсз и произвольно. О,О;— 306 3) вершины квадрата с центром в начале координат и со сторонами 2а, параллельными осям (зг; +4; 4) точки на осях координат (хЬ, 0), (О, .+Ь); 5) вершины прямоугольника (с, 4, ('-с, — 4,'(с,— 4, ( — с,з/). После реализации того или иного плана Дрейпера — Лоуренса для трехкомпонентных систем строят полиномы для двух независимых переменных г, и г первого порядка (л, -1 при и, — 2) Л у = Ьо + Ь,г, + Ьзгз или второго порядка (л, -2 при п,=3) Л 2 г у = Ьо + Ьзг, + Ьзгв + Ьззг,г, + Ь„ г! +Ьз, г Таблица 85.

Параметры аланов Драйвера — Лоуренса длв е 3, и, 1, и,=г Для построения полинома первой степени применительно к трехкомпонентным системам (0=3) Дрейпер и Лоуренс предложили планы, содержащие от 6 до 9 экспериментальных точек. Параметры лля некоторых планов Дрейпера — Лоуренса (в долях от и) при з/=3, л, -1 и и, = 2 приведены в табл. 85. Если число точек плана больше числа точек в выбранных множествах, добавляется соответствующее число точек в центре треугольника (с координатами г, =О, , -0).

Построим в качестве примера план Дрейпера — Лоуренса (1, 2), содержащий шесть точек (табл, 85). Точки множества 1 при т-1 имеют координаты (г,, гД: (0.0; 0.366); (0,3106: — 0,18): ( — 0,3! 06; — 0,18). Точки множества 2 имеют коорлинаты О,О; Π— . +з/,.О ЗЗ9: О'39 ', /,.О ЗЗ9, (0,0; — О,!96), (О,ПО; 0,098), ( — О,ПО; 0,098). От координат точек в системе (гц гг) по формулам (Ч1.159) перейдем к координатам в треугольнике х, — хг — хз. Переведем, например, первую точку с координатами г, -0,0; г,-0,366 ()и- 1).

Для этой точки Можно проверить правильность расчета: хт + хв + хз = О, 12 + О, 12 + О, 76 = 1, О. Расположение точек на концентрационном треугольнике показано на рис. 79, план эксперимента приведен в табл. 86. Т а б л и ц а 86. Матрица влаввроввивв 11, 2) длл р 3, л, - 1, и, 2 1, 3, 4 и 2 точки в центре )реугольника (рис. 80). Точки множества 1 при и-1 имеют координа рис. 79 пландрейпера— ты (г,, гг): Лоуренса !1 2) 307 Номер опыта (О,О; 0,437), (0,378; — 0,2!8), (- 0.348; — 0,2!8). Т а б л и ц а 87.

Параметры планов Дрейиера — Лоуренса для 4 = 3, л~ 2, лт 3 ИЛН 0,081 0,837 0,081 0,4 10 0,622 0,045 0,256 0,591 0,075 О, 184 0,482 0,333 0,333 0,838 0,082 0,082 0,546 0,122 0,545 0,122 0,333 0,333 0,632 0,036 0,333 0,333 0,081 0,081 0,837 0,044 0,256 0,410 0,622 0,076 0,592 0,184 0,482 0,333 0,333 0,437 0,218 0,218 0,183 -О,!83 0,183 -О,!83 0 0 0,258 -0,258 0 0 0 0,378 — 0,378 0,183 0,183 -0,183 -0,183 0,258 -0,258 0 0 0 0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 !1 12 13 Мноявство точек Числа опытов е цсн~ре л Обшее число авытоа Ф Па рамос ры (1, 2) р -0,670, 8 — 0,385  — 0,430 В 0,445 8 0,462 8 — 0,450 8 -0,485 8 0,342 лт-0,367 р, — 0,189, 8 - 0,468, ат = 0,348, Ь 0,258 с 0,547, — 0,130, д, — 0,272, 0,47 )ч -0,156 г — 0,348 т! — 0,130 д 0,257 с, — 0,172, (1, 1, 2, 5) 11, 1,.2,5) 11, 1, 2,5) 11, 1, 2, 5) (1, 1,2,5) 13 р, — 0,756, Л 0,295, с - 0,111, );, — 0,756, 8 — 0,477, с — 0 045, )6-0,766, 8 -0.319; с =-0,112 р, -0,762 л — 0,481, с -0,058, р:, =0,766, В 0.480, с =0,071, 0 13 1 14 ! 14 2 15 Точки множества 3: (0,183; О,!83), (0,183; — 0,183), ( — О,!83; О,!83), (-О,!83; О,!83).

(т,т,— т), (лт,— т,т), ( — т,т,т), ( — т,— т,— т) Точки множес гва 4: (0,258! 0), ( — 0,258; 0), (О; 0,258), (О; — 0,258) в общем случае и (1, 1, — 1), (1, — ! !), ( — 1,1, 1), ( — 1 — 1 — 1) План эксперимента приведен в табл. 88. Х) Рис 81 Итолинии 5 в плане дреипера — Лоуренса 11, 3 4) Координаты х, — х, — ха связаны с г, — 28 соотношениями (Ч(.159). при стороне тетраэдра и — 1. Рис, 80.

План Дрейпера — Лоуренса (1, 3, 4) 308 309 (1, 2) 11, 2) 11, 1, 2) (1, 1,2) (1, 1, 2) (1, 1, 2) (1, 1, г) П, 2, 2) 11, 2, 2) 11, ). 1. 2) 11, 1,2,2) (1, 2. 2,2) (1, 3. 4) (1, 3, 5) (1, 4. 5) (1, 5, 5) 2 3 0 1 2 3 4 0 1 0 0 0 2 2 2 2 8 9 9 10 11 !2 13 9 10 12 12 12 13 13 13 13 р -0,698, р — 0,723, р, - 0,715, р, — 0,729, р, — 0,738, р, — 0,743.

р, - 0,742, р - 0,7)6, р — 0,739, р, — 0,751, р, — 0,748, р = 0,782, р = 0,756, р — 0,756, р 0,756, р — 0,756, 4, — 0,125 р, -0,297.  — 0,268 р, — 0,478, т) — 0,109 р -0,369, 4 — 0,270 р, — 0,514, т) — 0.140 р, =0,545, д =0,171 1, -0,421 8 = 0,450 р, -0,233, и -О,ЗЗЗ, р, =0398, р, — 0,465.

и — 0,532, В 0,342, 8 — 0,367, р, = 0,422, р, — 0,445, л — 0,348, а — 0,183, с -ОЗОО, Ь 0,212, с, = 0,094, т а б и и ц а 88. Матраца планирования (1, 3, 4) для 4 3, л, 2, л, 3, Л' 13 Коэффициенты уравнения регрессии второго порядка У =.7(27, ла) определяют методом наименьших квадратов. Проверку адекватности проводят по результатам опытов в контрольных точках по г-критерию. Уравнение адекватно, если экспериментальное значение г-критерия для всех контрольных точек меньше табличного. Экспериментальные значения г-критерия определяются по формуле (Ч1.93). Величины берут при этом с соответствующих контурных карт.

При испольювании планов Дрейпера — Лоуренса расчет зависимости 5 от состава можно провести только на ЦВМ. Такая контурная карта лля плана (1, 3, 4), приведенного в табл. 88, показана на рис. 81. Как видно из рис. 81, уравнение регрессии хуже всего предсказывает значение свойства вблизи вершин концентрационного треугольника (5 -1,5 —:3). Для построения планов применительно к четырехкомпонентным системам Дрейпером и Лоуренсом также вводится система координат (л, 2, 2).

Центр новой системы координат совпадает с центром !' а' а ' тяжести концентрационного тетраэдра (хп хв х , х„), а координатные оси расположены таким образом, чтобы четыре вершины теграэдра в новой системе координат образовывали полуреплику от полного факторного к, эксперимента 2а с определяющим контрастом 1 = 2,2 г . Координаты вершин те)РаэдРа в новой системе (2„2, .а): м ежду системами координат. (х,, х, х,, х) н (2, ) сущ ' у ет следующая связь: гт =- х, -4- ха — ха — ха, га = х, — х, + хэ — ха, гз хт + хэ + ха — «4, (Ч!.162) и х, = /4 (г, + гв — гэ + ат), гаво /а (гт га + гэ + лт), (Ч!.163) хз = '/а ( — 2„+ 2, + 2э + тп), хв= т/4 ( гт — г, — гз + пт), Точки плана для чегырехкомпонентных систем выбираются (в координатах гп гг, г,) из следующих множеств: 1) ве шины тетаэда, п б р р, подобного концентрационному, с координатами вершин вершины (а,а,— а), (а,— а,а), ( — а,а,а), ( — а,— а,— а); После реализации того или иного плана Дрейпера — Лоуренса для четырехкомпонентных систем строят полиномы для !рех независимых переменных гп г, и гз первого порялка (п, - ! при и, = 2) Л у = 'Ье + Ьтгт + Ьэгв + Ьзгз (Ч!.164) или второго порядка (и, -2 при лг-3) Л у = Ь, + Ь,г, + Ь,г, + Ьзгз + Ьт,г,г, + Ь,агтгэ + Ьээгвгэ + -(- Ь,тгг)+Ь„гз+Ьзэ гзз .

(Ч!.166) т о б л и ц а 90 Параметры планов Дрейпера — Леурепса длп 4=4, н| 2, не-3 Параметры (в долях от пт) некоторых планов Дрейпера — Лоуренса, содержащих не более 12 точек (при 0-4, п,-(, лз 2), приведены в табл. 89. Общее число олмтов и М вон еетво солев Число оомтов В иеитре ле Переметрм 2) вершины тетраэдра 0.0524 0,0564 О,ОВЗ2 0,0406 0,00912 20 21 22 23 24 !1,1,4) !1,1,4) (1,1,4) 11,1.4) !1,1,4) т 0,0784 0,106 0,144 0,225 21 22 23 24 ' 11,2,4) !1,2,4) 11,2,4) !1,2,4) 0,702 0,708 0,710 22 23 24 !1,3,4) !1,3,4) !1,3,4) 18 19 20 2! 22 23 24 11,1,2,3) !1,1,3,3) 11,1,2,3) !1,1,2,3) !1,1,2,3) (!',1'2,3) !1,1,2,3) Ь 0,805 0,8!4 0,822 Ь 0,805 0,814 0,822 0,818 22 23 24 !1,1,1,2,3) !1,1,),г,з) !1,1,1,2,3) 22 23 24 24 !1,1,2,2,3) ! 1,1,2,2,3 ) ! 1,1,2,2,3 ) ! 1,1, 2,3,3 ) 310 311 (Ь,Ь,Ь), (Ь,— Ь,— Ь), (Ь,Ь,— Ь), ( — Ь,— Ь,Ь); 3) точки на осях (жй О «) (О. ='-Ь, 0), (О, О, -~-Ь) 4) вершины тетраэдров с координатамн ( — г,— з,— 1), ( ...,1) (,,1 (, з) (1 — г з), (1, г, — з), ( з 1 ) (з,— /,г), (з,/,— ), т об л и и а 89, Параметры аланов Дрейпера — Лоуренса длнз 4,н~ 1,н, 2 а~ ат т 0,673 0,0945 0,684 0„260 0,679 0,179 0,694 0,270 0,685 0,248 0,702 0,274 0,690 0,315 0,708 0,268 0.694 0,393 0.7!О 0,242 а ь т 0.676 0,165 0,696 0,274 0,680 0,220 0,706 0,281 0,683 0,272 0,717 0,274 0,685 0,31 7 0,727 0,226 а Ь т 0,682 0,3!9 0,0807 0,291 0,686 0,390 0,0925 0,306 0,690 0,459 0,104 0,321 а~ ат Ь Ь 0,292 0,667 0,279 0,765 0,337 0,672 0,292 0.776 0,380 0,674 0,305 0,786 0,420 0,676 0,318 0,795 0,460 0,674 0,332 0,805 0,50 ! 0,669 0,346 0,8! 4 0,548 0,656 0,359 0,822 а1 ав ае Ь 0,679 0,442 О, 02 0,326 0,683 0,455 0,19! 0,332 0,691 0,441 0,288 0,340 а1 ае ь| Ьв 0,677 0,451 0,126 0,32 ! О 677 0,479 О,!8! 0,315 0,672 0,517 0,275 0,275 0,680 0,494 0,329 0,3\7 хз(Н,О) Хг((ВН4)2НРО4 хг (К2СОз) ц х( + «2+ хз = 0 5.