С.Л. Ахназарова, В.В. Кафаров - Методы оптимизации эксперимента в химической технологии, страница 49

(Ч1.7) Ь(=ь,+ь(+ ьп, ь!/=Ьц — ь(, ь//. Тогда получим приведенный полином второй степени от трех перемен- ных: Л у = Ь!»! + Ьвхв+ Ьзхз+ Ьав»1»в+ )азха«в + Ьввхвхз. Таким образом, число коэффициентов уменьшилось с 10 до 6. Приведенный полином второй степени от (/ переменных содержит (/+С,' — Св„коэффициентов. Приведенный полипом неполного третьего порядка для трехкомпонентной смеси У = В!»1 + Уз«в + Узхз + У!в»1»в+ Ь!зхахз + Узвхвхз + 7(вв»1»вхв, (Ч1. ! !) для д-компонентной смеси Л у = )' Ь(х(+ ~~' »)!/х!х/+ )' Ь(/ьх(х/хв. (Ч».12) !<(<в 1<(</<В 1<(</<З<з Приведенный полипом третьего порядка для трехкомпонентной смеси Л у = Ьа»1+»(ззв -»- »)вхз + Ьавх хв+ Ьаз»1»в -»- Ьвзх хз .»- 7, ххз (х, — х ) -»- + '!»вхахз (ха хз) + '!взхвхв (хв хз) + Уавзхахвхз (Ч1.!З) Л у = Г (((«1 -»- ~)' Ьцх(х/ -»- ~Р 7цх(х/ (х( — х/) + 1<(<В 1<(</<в !<( /<в + ~~)' рцвх(х/хв.

1<(</<В<в Приведенный полипом четвертого порядка для трехкомпонентной смеси Л У = Ьах! + вввхв+ Ьзхв + Ь!в»1»з + Раз«!Хз + Ьввхвхз + 71вх!Хв (ха — хв) + + 7!зх!»з (х! — «з) + твзхвхв (хв — хв) + Ь!!ха«в (ха — х,)в + Ьавх!хз (»1 — хв)в + +Ь зхвхв(хз — хз)в+Ь! з!»зхзхз+ Ь в»ах»ха+ Ь вввх хзхв, (Ч».!5) + ~ рз/ьзхз«/ха«7. з<с</<а<7<а (т'1.16) (У1. 16) Получим однородный полипом 272 для 9-компонентной Л К = ~~)' Ьзхз + ~' Рыхзх/+ ~' Тыхзх/ (хз — х/) + ж<е з<з</<е ып</<е Ье/хзх/ (хз — х/)з + )' атз Пь хз«/ха + 1<з</<е 1<7</<а<е + ~' (7з//ьхз«зхь + ~ Рз/ьь«зх/«~ + з<с</<а<е мп<7<а<е Нелинейная часть этих полиномов называется еинергизмом, если она вызывает увеличение отклика по сравнению с откликом, предсказываемым линейной частью уравнения, а антагонизмом — прн уменьшении отклика.

Наприер, Ве в полиноме второго порядка называют квадратичным коэффициентом бинарного синергизма компонентов / и/. В поли- номе третьего порядка сннергнзм трехкомпонентной смеси равен (уз/хзх/+ Тцхзх/(хз «/)1+(узьхехь+ Тгахзха(хз хай+ +(узь«/«ь+ т/ьх/хь(х/ «ЬВ+ Ьз/ьхз«/хь где в квадратных скобках — бинарные сннергизмы в тройной системе; Вех — кубический коэффициент тройного синергизма компонентов Ь /, /с Возможно другое преобразование исходного полннома степени и от 9 переменных. Его можно свести к так называемому однородному поли- ному степени и, умножая члены степени,т< и на (Х х,)" ' 1. Приведем ш/за полипом (1/1.3) к однородному: Л у = Ье (х + ха + хз) + Ь,«, («+ «+ ха) + Ьзха (х, + ха + ха) + + Ьзха (хз+ «а+.та) +Ь зх ха+ Ьшхзха+ Ьзахзхз+ Ь„«зз+ Ьаззф+ Ьт~ = = (2Ье + Ь, + Ь, + Ь з) хз«з + (2Ье + Ьз + Ьз + Ьзе) «зха + (2Ьа + Ьа+ +Ье+ Ьзз)хзха+(Ьа+Ь,+Ьш) 4+(Ье+Ьз+Ьзз)4+ +(ь,+ь,+ь„) ,'.

Обозначим в (тЧ.16) цсс/ = 2ьа+ ьз + ь/+ ьы Кз = ье+ ьз + Ьп ° '„=Ь ., +р".«.+2'ха«а+2,' '+Ь' «*+К х,. (у1 19) Число неизвестных коэффициентов в (з/1.19) то же, что н в (т/).9). Приведенные полиномы получили более широкое применение и в дальнейшем будем использовать только их. Таким образом, минимальное число экспериментальных точек для определения коэффициентов поли- нома степени и от д переменных составляет С,",„, (табл. 74).

Т а б л и ц а 74, Числе еимтаи длл иалииамаа разимт стсиеиеа 2. Свмнлекс-решетчатые планы Шеффе. В настоящее время наибольшее применение получили симплекс-решетчатые планы, предложенные Шеффе. Эти планы обеспечивают равномерный разброс экспериментальных точек по (д — 1)-мерному симплексу. Экспериментальные точки представляют (9, и) -решетку на симплексе, где и- число компонентов смеси; и — степень полннома.

Симплекс-решетчатые планы являются насыщенными планами. По каждому компоненту имеется (п+ 1) одинаково расположенных уровней х, О, 1/и, 2/п, ..., 1 и берутся все возможные комбинации с такими значениями концентраций Хомпонентов. Так, например, для квадратичной решетки (ф 2), обеспечивающей приближение поверхности отклика полиномами второй степени (п-2), должны быль испольюваны следующие уровни каждого из факторов; О, 1/2 и 1, для кубической (п 3) — О, 1/3, 2/3 и 1 и т.д. Некоторые (3, п)-решетки представлены на рис. 61, а (4, п) — на рис.

62. Эти планы частично композиционные. Неполную кубическую решетку (3, 3*), например, можно получить из (3, 2), добавив только одну точку в центре симплекса, решетку (3, 4) — добавлением точек к решетке (3, 2). Записав координаты точек симплексной решетки, получим матрицу планирования. Построим матрицы планирования для решеток (3, 2), (3, 3) и (3„4). Индексы у свойства смеси указывют на относительное содержание каждого компонента в смеси. Например, смесь 1 (табл. 75) Табл и ца 72 Маттила илаииеаааиил длл П, 2ррешстии состоит только из компонента х„ свойство этой смеси обозначается у„ смесь 4 состоит из '/тх, и Яхт, свойство обозначается у,з.

Матрица планирования для симплексной решетки (3, 3) приведена в табл. 76. В табл. 77 приведена матрица планирования для построения поли- нома четвертой степени в трехкомпонентной системе. 273 Коэффициенты приведенных полиномов получают, используя свойство насыщенности плана. Для получения коэффициентов полинома у = Вахт+ Захе+ Зала+ Заахала+ Заахала + Зихвхэ будем последовательно подставлять в уравнение координаты всех шести точек матрицы планирования (табл.

75). Тогда при подстановке координат первой точки (х, - 1,ха-О, хэ-0) получим х «211 пг х хц х, х б К,х а е" Рис 61 !3 е — второго порядке; б — неполного Уг = Рт (Л.20) Соответственно За = Уа и Рэ = Ув . (Ч1. 2Ц При подстановке в уравнение координат четвертой точки получим КГ уи = уг '/в+ уа '/в + Вга '/а Згв = 4уга — 2уг — 2уа. отсюда Хе Хг Хг Хг Соответственно Зга = 4уга — аут — 2ув Заэ = 4ува — 2ув — 2уэ (Ч! .25) Три точки, определяющие коэффициент Вц, лежат на одном ребре.

Коэффициенты приведенного полинома второго порядка для г/-компонентной смеси Л У = др, Згхг+ ~' Зг/хгх/ 1<1<с 1<1< /<е определяются аналогично: Хг зг = уг, Зп = 4ун — 2уг — 2У/. (Ч!.26) При последовательной подстановке в полипом третьего порядка для трехкомпонентной смеси Л У = Рахг + Рата+ Рака + Ргвхттсх + Ртэхаха + Рихвха + !«ах«ха (хт — хв) + + 71ах1ха (хт — ха) + таахаха (хв — хв) + 81аэх1хвхэ (Ч1.27) (Ч1.28) (Ч1.

29) (Ч1. ЗЦ 275 274 к, к х, х, ко„х,ц кти «гб хлц д 2 лбрешетки дла полиномов. третьего порядка; г — третьего порядке; г — четвертого порядке Хг Хг Хг г Рнс. 62. Уь пьрешетки для полнномон; е — вторОго порядке; б — неполноГо третьего порядка; е — третьего порядка; г — четвертого порядке Т а б л и ц а 76. Симплекс-решетчатьгй план третьего порндкв длл треккемпеиентией смеси Т в б л и ц а 77 Матрица планировании ллн П, экрешетки угв = Вг 1/а + За 1/а + ага 1/а.

Но так как )3, =уц то координат точек матрицы планирования (см. табл. 76) имеем: Рг = уг * Зв = уа * Ра = ув Унт =Ух /в+ Уа /в+ Ргв /а+Ти /ат у«та=у« '/э+ув /в+ В«а а/е — ти /яг ° Просуммировав уравнения (Ч!.28) и (Ч!.29), получим — в/ (у,.(у у уа) Вычитая из (Ч!.28) уравнение (Ч!.29), получим угн Ти = '/а (Зуги — Зутш — ут + ув) . (Ч1.22) (Л .23) (Л.24) Подставляя приведенный полипом координаты точек 6 и 7, получим: бзз /4 (Уззз + Узтз Уз Уз) т„=з/,(зу, — зу„,— у,+9,).

(Ч1.32) И аналогично после подстановки координат точек 8 и 9 5!з = !4(уиз+ У!Зз — У! Уз) (Ч1.33) Коэффициенты полинома третьего порядка для д-компонентной смеси Л у = ~~) 5!х!+ ~~)'„Зцх!х/+ 7 тцх1х!(х! — х/)+ 1<!<э 1<!</<з 1<!«/<э + ~ 5!/эх!э/хэ, 1<!</<з (Ч1,35) (Ч1.36) (Ч1.37) 51 = У1 5!/='/4(у !+уц/-уг-у/) тц =- з/, (зугц — зуц/ — у, +у,), 51/з = 2791/з — "/4 (Уц/+ У1//+ 91!э+ Узза+ У// + + У/ЬЗ) + '/з (У! + У/+ УЬ) (Ч1.38) 7!э з/4 (Зуиз Зугэз У! + Уз)' Подставляя координаты последней точки с учетом, соотношений (Ч1 27) — (Ч1.33), получим Уиз = У! '/з+ Уз '/э+ Уз !/э+ !/4 (Уиз+ У!зз — У! — Уз) + + '/4 (Уиз + У!Зэ — У! — Уэ) + '/4 (Уззз + Уззз — Уз — Уэ) + '/зг ) !Зз 5!Зз = 27у!Зз — зт/4 (уиз + уиз + уиз + у!Зз + уззэ + уззз) + + з/з (У! + Уз + Уз) .

(Ч1. 34) (Ч! АЗ) (Ч! . 44) б!/ = 4уц — 2У! — 2У/. бць = 2791/ь — 12(уц+ ага+ У/э)+ 3(ьч+ У/+УЗ). Полипом четвертого порядка для трехкомпонентной смеси: У = б!хз+ Ззхз+ бзхэ+ З!зх!хз+ 5!эх!хе+ бззхзхэ+ т!Зх!хэ (х! — хз) + + 7!эх!хз (хг — хз) + тэзхзхэ (хз — хз) + Ь!Зх!хз (хз — хз) + + Ь!Зх,хз (х, — хз)з + Ьзэхзхз (хз — хэ)з+ ри,эхгхзхз + + 51~э! г" + 51~®э!~~э (Ч1.45) 51=9! э 5!з = 49!з 2у! 294 7!з= /з( — У!+29!из — 2уизз+Уз) 7!з = '/э ( — У1+ 2узиз 2У!Ззз+ уз) (Ч1.48) тзз = з/з ( — уз+ 2уззэ! — 2узззз+ уз) Ь =з/ ( — у +49 — бу +49 — Уз) (Ч1.49) Ь!э = '/э ( — У1+ 4У!из — бу!э+ 4У!Ззз — Уз) (Ч!.59) Ьзз = '/з ( — уз+ 4уззи — бузз+ 4уэззз — уз) (Ч1.51) 5!!зэ = 32 (Зуизз — у из — у!Зтэ) + '/з (бу! — уз — уз) — 16 (у!э + у!З)— — "/э (5уи!з+ 5уим — Зу!Ззз — Зу,ээз — у„,э — умм), (Ч1.

52) 51ззэ = 32 (зуи„— уи„— у„,„) + з/, (бу, — у, — у,) — 16 (у„+ У„)— — 'в/з (5у!ззз+ бузззз — Зуии — Зузэзз — угиз — у!Ззз) (Ч1. 53) Цгззз — — 32 (Зу!зээ — уизэ — у!ззэ) + з/з (буэ — у! — Уз) — 1б (у!з + узз)— — '4/э (бу!щз+ буззээ — Зу!Згз — Зузззз — у!!!з — у!мз) (Ч1.54) Для 9-компонентной смеси Для 9-компонентной смеси Л у = 7 б!х! + ~«' 5!/х!х/+,)' бцэх!х/хь, 1<!«з 1«</<з 1<!</<З<з 51 =ьч 276 (Ч1.42) Аналогично выводятся соотношения для определения коэффициентов любого приведенного полинома при любом числе компонентов. Так, для полинома неполного третьего порядка для трехкомпонентиой смеси имеем: У = бзхз + бэхз+ Ззхэ + Зззхзхз+ бгэхзхз+ Зихзхэ + бизх!хзхз 5!=9! а т. д, (Ч1.39) 5 з =- 4у, — 2У! — 2уз а т. д., (Ч1 . 40) 5!зэ = 27у!зз — 12 (у!з+ ум+ узз) + 3 (уз+ уз + уз).

(Ч! 41) Л у= )'„3!х!+ ~~' 51/х!х/+ ~~)'„тцх!х/(х! — х/) + 1<!<з 1<!</<з 1<!</<з ь!/х1х! (х! — х/)з -(-,)' 5!пах х/ха+ 1 !<!</<р !<4<!<З<4 3 вэ г +,4!хз 51//зх1х хь + 7 5!/Ьзхгх/хэ+ 1«</<э<з / 1<!</<Э<з + 5' 5цыхзх/хах1, 1</</<З<!<з 5! б!/ = 4уц — 2У! — 2У/, 71/ = з/З ( у1+ 2уиц 2у!ли+ У/) ° (Ч!.55) (Ч1.56) (Ч1.