И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы', страница 8

Опуская дальнейшие преобразования (с учетом условия нормировки), приведем окончательные результаты: Г аналогичный внд имеют функции ф(ит) н ф(ве). И тогда согласно (2.15) (2.17) График функции ф (ве) изображен на рис. 2.3. Он совпадает с гауссовой кривой погрешностей. Площадь тонированной полоски на рис. 2.3 — это вероятность того, что проекция скорости 6 и о+со е е е е молекулы лежит в интервале, (и„с + би ). Рве. НЗ Функция (2.16) нормирована на единицу, т.е. площадь под кривой 9(ое) (2.18) ~ф(ве)бс, =1. Интегрирование в пределах от — ю до +ю не означает, что в газе есть молекулы с такими большими. скоростями.

Это следует рассматривать только как вычислительный прием. Молекул с весьма большими скоростями очень мало, и они практически не вносят никакого вклада в нормировочный интеграл. Это и позволяет записывать такие пределы. Глава в Распределение молекул по модулю скорости Найдем вероятность илн относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале (о, о + ди). Таким молекулам соответствуют все точки, попадающие в шаровой слой с радиусами о и о + бо (рис. 2.4). Объем этого слоя равен произведению поверхности слоя на его толщину, т.е. 4аоэбо, объемная же плотность вероятности ~(о) во всех точках слоя одинакова.

Следовательно, согласно теореме сложения вероятностей, вероятность попадания в этот слой бР 1(о) 4лоэ би. (2.19) О о (о> о о (2.20) Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости. Вид функции Р(о) показан на рис. 2.5. Эта функция тоже нормирована на единицу: ) Р(о)бо =Е е (2.21) Величина дР/бо — мы ее обозначим Р(о) — характеризует искомую вероятность, т.е. Р(о) = 4яозг(о). Учитывая (2.17), получим: 49 Стаелеелчееквя флвваа.

Раеаределеллл Максвелла и Бееьавааа =<2 — = 2 —. (2. 22) Средняя скорость по определению Г883Т Г8ВТ <о> = ~ор(о) йо = ~ — — = о кт лМ (2.23) Среднеквадратичная скорость иае = Ч(о ); она находится из Гз, условия откуда (2. 24) Этот результат можно получить и без интегрирования, а как следствие Формулы (1.31). В качестве примера приведем среднюю скорость молекул азота г<з цри Т = 300 К: <ю = 480 м/с. Эта величина имеет порядок скорости звука в азоте, о„=.~~КТО = 380 м/с.

На рис.2.5 пунктиром представлена еконструкцияе (сомножители) Функции Р(и), один из сомножителей которой ~(и). Заметим, что в отличие от р(о) площадь под кривой >(и) физического смысла не имеет. Следует отметить, что полученные Максвеллом распределения по скоростям не зависят ни от структуры молекул, ни от того, как они взаимодействуют друг с другом. Поэтому они применимы ие только к газам, но и к другим агрегатным состояниям вещества. Характерные скорости.

К ним относятся три скорости: наиболее вероятная <> р, средняя <о> и среднеквадратичная о„,. Наиболее еерояленой скорости соответствует максимум функции распределения Е(и). Эта скорость определяется из условия йр/йи = О, откуда следует Глава 2 Приведенные характерные скорости отличаются друг от друга в пропорции о„,р: ш>: эвв = 1: 1,13: 1,22. Качественно это показано на рнс. 2.5. Зависимость распределения от Т.

Подставив значение овср нз (2.22) в формулу (2.20), получим, что (2.25) В соответствии с этим результатом для разных температур Т, < Тв < Тз кривые распределения Р(и) будут иметь внд, показанный на рнс. 2.6. Видно, что с увеличением Т максимум функцнн Р(о) смещается в сторону больших скоростей, а его величина уменьшается согласно (2.25). Прн этом площадь под всемв тремя кривыми остается равной единице.

Кривые на рнс. 2.6 можно рассматривать н иначе — как соответствующие разным массам молекул газа прн одной н той же температуре, причем т, > тз > лсз. Р(г) Рвс. 2.6 Формула Максвелла в приведенном виде Решение ряда задач удобнее проводить, если выражать скорости о молекул в относительных единицах — единицах наиболее вероятной скорости о„р. Тогда относительная скорость молекулы (2. 26) и = О/ива . Статистическая Еизикэ. Рэеиределеиии Максвелла и Вольяиаиэ При переходе к новой переменной учтем, что должно выполняться равенство .р.(п)бп = Г(о)а.. Отсюда 5г(и) = и'(и) (йи/би). Заменив в правой части этого равенства и на ио р согласно (2.26), получим (2.27) В таком виде распределение Максвелла является универсальным: оно не зависит ни от температуры, ни от рода газа.

Пример. Найдем относительное число молекул дФ/)У сс скоростями, отличающимися от наиболее вероятной иэ более, чем иа Ч=1%. В данном случае и = 1, и мы можем согласно (2.27) записать ЙЮ вЂ” = г(и)би = — 1 е 2.0,01 = ' =1,65.10 4 з ~ 008 з Ф где би = 2Ч, поскольку иа Ч % отклонения могут быть как в одну, так и в другую сторону. Распределение по энергиям молекул Имеется в виду функция распределения по кинетическим энергиям поступательного движения. Обозначив эту функцию через Ф (э), где э = шиэ/2, воспользуемся, как обычно, равенством (2.

28) Ф(э) г)э = и'(и) би. Здесь энергии э соответствует скорость и, а интервалу г)э— интервал г(о. Остается учесть„что из выражения кинетической энергии э следует, что ба/йэ = то гз Й. Тогда согласно (2.28) можно записать Ф(з) = г(о) — оз ее '~ьт/ /э, Йэ или Ф(э) = А /э е '/ьт (2.29) Гвввв 2 гдеА — нормировочный множитель, А =(2/ Гл)(ВТ) ~~ . График этой функции показан на рис. 2.7. Наиболее вероятная энергия д я ° ус ядФ/аз=О: (2.30) з„р = )р7/2. Следует обратить внимание на то, что з„р з з(и„р). Это связа- Ф(в) но с тем„что функция Ф(з) получена из г'(о) путем умножения последней не на константу, а на Йи/Йз, которое зависит от з. Именно зто приводит к аперекашиванию» функции Ф (з) относительно Р(и) и смещению макс симумов данных функций. 0 свар Рис. 2.7 Дополнительные замечания 1. При статистическом подходе не имеет смысла вопрос: какова вероятность (или сколько молекул) имеют вполне определенную скорость.

Речь может итти только о числе молекул в заданном интервале скоростей. Позтому на вопрос: каких молекул больше — с наиболее вероятной скоростью или средней— можно смело отвечать: одинаково (в смысле 0 = 0). Это относится, разумеется, и к энергиям з. 2. При подсчете вероятности или числа молекул в заданном интервале скоростей (или знергий) не всегда следует прибегать к интегрированию. Если интервал скоростей очень мал (по сравнению с самой скоростью), то решение сводится просто к умножению: (2.31) ЛР Р(с) Ли. 3. Следует иметь в виду, что все функции распределения— величины размерные.

Например, размерность е (и,) и Р(и) равна с/м согласно (2.18) и (2.21), а размерность /(и) — сз/мз согласно (2.15). Статксткеескаи физика. Раскределеквв Максвелла в Велаикаиа 9 2.3. Опытная проверка распределения Максвелла Опишем два наиболее точных эксперимента, осуществленных с целью проверки распределения Максвелла по скоростям. В опыте Ламмерта (1929) в объеме У (рис. 2.8, а) находится газ в равновесном состоянии. Выходящий из отверстия в стенке объема к молекулярный пучок проходит коллиматор К из последовательных отверстий, который образует почти параллельный пучок. Далее пучок попадает на устройство С, сортирующее молекулы по скоростям, и детектор В для регистрации молекул после сортировки.

С ~р А Рис. 3.8 Устройство С представляет собой два вращающихся диска (на одной оси) со щелями вдоль радиусов. Если щели повернуты на угол ф относительно друг друга, то при угловой скорости а диски повернутся на угол ф в течение промежутка времени бс = ф/е. Поэтому через обе щели, расстояние между которыми 1, пройдут молекулы со скоростью и = (/ой= Йс/<р. Меняя угловую скорость в или угол ~р между радиальными щелями, можно выделить из пучка молекулы разных скоростей. Улавливая детектором эти молекулы в течение одинакового времени, можно найти их относительное количество в пучке. В другом опыте левая часть установки (Ъ; К на рис.2.8, а), формирующая параллельный пучок молекул, остается той же.

Но селектор С и детектор Э совмещены во вращающемся цилиндре со щелью Я (см. рис. 2.8, б). Когда щель Я попадает в падающий пучок С, через нее в цилиндр входит порция молекул. Молекулы с разными скоростями достигают противоположной стенки цилиндра с различным запаздыванием по отношению Глава 2 к моменту прохождения щели Я пучком Р н поэтому попадают на различные участки В противоположной стенки цилиндра. Измерив степень почернения различных участков В, можно определить распределение молекул в пучке по скоростям.

Разумеется, все эти опыты проводились в условиях высокого вакуума и, кроме того, с учетом различия распределения молекул по скоростям о в пучке и в объеме У. Результаты этих и других опытов оказались в полном согласии с законом распределения, установленным Максвеллом. 5 2,4. Распределение Больцмана В отсутствие внешних сил средняя концентрация л молекул газа в состянии термодинамического равновесия всюду одинакова. Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуация становится иной.

Рассмотрим, например, поведение молекул газа, находящегося под действием силы тяжести. Если бы не было теплового движения, то все молекулы вупзлиа бы на поверхность Земли. Наличие же теплового движения мешает этому. В результате совместного действия этих двух факторов устанавливается некоторое равновесие, и концентрация молекул становится зависящей от высоты. Как2 Зто и предстоит нам выяснить.