И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы', страница 10

Умножив ро на поверхность Земли, получим Мя„где М вЂ” искомая масса. Отсюда М = 5,3. 101з кг. 4. Рассеяние атмосферы. Строго говоря, атмосфера Земли не является равновесной. Атмосфера непрерывно рассеивается, хотя для Земли этот процесс идет очень медленно. Рассеивание обусловлено тем, что в процессах соударения молекул в верхних слоях атмосферы неизбежно возникают молекулы, скоро- Статксткч«скак фк»яка.

Раскр»л«л»кяя Макса«лла к Всл»ямала сти которых оказываются больше второй космической. И таким молекулам иногда «удается» без столкновений покинуть атмосферу Земли. За все время существования Земля потеряла очень малую часть своей атмосферы. б. «Парадокс»: почему в поле тяжести при движении молекул вверх их кинетическая энергия уменьшается, а температура остается прежней, т.е. средняя кинетическая энергия не меняется, а при движении вниз кинетическая энергия всех молекул увеличивается, а средняя их энергия остается той же? Этот «парадокс» был разъяснен уже самим Максвеллом. Суть в том, что при движении вверх молекулы действительно замедляются, но при этом наиболее медленные молекулы выбывают из потока частиц. При движении же вниз, наоборот, молекулы не только ускоряются, но одновременно их поток пополняется более медленными молекулами. В результате средняя скорость теплового движения молекул остается неизменной.

Сила тяжести меняет лишь концентрацию молекул на разных высотах, но не температуру газа. И закон распределения Больцмана как раз и выводится из условия, чтобы температура газа оставалась всюду одной и той же. Распределение Больцмаиа при дискретных уровнях Полученное Больцманом распределение (2.36) относится к случаям, когда молекулы находятся во внешнем поле и их потенциальная энергия У может изменяться непрерывно. Из (2.36) видно, что с ростом У концентрация частиц уменьшается.

Больцман обобщил закон (2.36) на случай распределения, зависящего от внутренней энергии Е молекулы (атома). Известно, что величина Е в этом случае может принимать лишь дискретный ряд дозволенных значений, и соответствующее распределение Больцмана записывают так: (2.40) где 1 и 2 — два произвольных (интересующих нас) уровня, Фз/Ф« — отношение числа частиц на этих уровнях, которым отвечают внутренние энергии Ез и Еп 6 — кратность вырожде- Глава 2 ния каждого уровня. Например, кратность вырождения энергетического уровня атома водорода с главным квантовым числом и есть л = 2лз; кратность вырождения колебательного уровня двухатомной молекулы л = 1, а у вращательных уровней у = 2г+1, где г — вращательное квантовое число.

Именно в таком виде распределение Больцмана для дискретного спектра используется наиболее часто. Пример. Макрссистема состоит из 1т' частиц, которые могут находиться в двух состояниях, 1 и 2, с внутренними энергиями Е, и Е„причем Ег > Е,. Известке, что Лг = дг. Найдем зависимость от температуры Т системы среднего числа частиц 1ь'г в состояккк 2.

В данном случае -ьвгьт 1ч1 + гч г = гч гдэ сЕ = Е, — Е,. Исключив Фг из этих двух уравнений, получим гу ьзгьт На рис. 2.14 приведен график т' зависимости )чгЩ. 0 Рве. 2.14 Закон распределения Максвелла-Больцмаиа Распределения Максвелла и Больцмана являются составными частями единого распределения, называемого распределением Гиббса (этот вопрос подробно рассматривается в спецкурсах по статистической физике, и мы ограничимся только упоминанием этого факта). Оба разобранных нами распределения можно объединить в один закон распределения Максвелла-Больцмана, согласно которому число Йгь' молекул, проекции скорости которых н их координаты лежат в интервалах (и„, и„+ап,), 1п„, с„+ Ь„), (п„п,+ и,), 1х, к+ь)х), 1р, д+ дд), <з, э+аз), Статистическая физика, Распределения Максвелла и Бсвьпмааа определяетсн выражением <)г/ = Аехр — <(и,<(па<(о,<(х<)у<(х, (2.41) >по~/2 + Ы 'лТ где нормировочный множитель А = пс(<п/2ялТ)з>з, оз = и~ + оз + + Уз, У = (/(Х, у, 2).

В качестве примера см. задачу 2.10. Задачи 2.1. Функция распределения вероятностей. Распределение вероятностей некоторой величины х описывается Формулой /(х) со .Гх в интервале (О, а). Вне этого интервала /(х) = О. Найти: а) наиболее вероятное и среднее значения величины х; б) вероятность нахождения х в интервале (О, а/2). Р е ш е н и е. а) Наиболее вероятное значение х соответствует максимуму Функции /(х). Из рис. 2,15 сразу видно, что хяа = а.

Это случай, не требующий выполнения условия <1//<)х = О. Среднее значение х по определению есть О в <х> = ~х/(х) Йх = ~хА-/х <)х, (*) о с где А — нормировочный множитель. Его находим из условия ) /(х) <)х = А ) чх <(х = 1, 0 а Х Рис. 2.15 откуда А = 3/2аз>з. Подстановка значения А в (*) и интегрирование дают в результате <х> = (3/5)а. б) По определению искомая вероятность а/2 Р = ~Ач<х <)х = 1/(3 =0,353. е Глава 2 2.2. Плотность распределения местонахождения частиц по плоскости зависит от расстояния г до точки О как /(г) А(1 — г/а), м з, если г ь а.

Здесь а задано, А — некоторая неизвестная постоян- ная. Найти: а) наиболее вероятное расстояние г„р частиц от точки О; б) среднее расстояние частиц от точки О. Р е ш е н и е. а) Вероятность дР нахождения частиц в интервале (г, г +дг) равна произведению /(г) на площадь кольца радиуса г н шириной дг, т.е. дР /(г) 2х дг. Отсюда плотность вероятности в расчете на единицу ширины ко- льца равна дР/дг. Обозначив зту величину как Р(г), запишем Р(г) /(г) 2хг - 2хдг(1 — г/а). (2) Функции /(г) и Р(г) показаны на рис. 2.16.

Наиболее вероятное расстояние г р находим из усло- вия дР/дг=О, откуда г р= а/2. б) По определению О <г> = )гР(г) дг, (3) о О ° Вр где Функция Р(г) должна быть нормирована на единицу — для определения А< Рве. 2.16 О /Р(г) дг = 2хА ~г(1 — г/а) дг = 1. о Отсюда А = 3/лаз. Теперь остается взять интеграл (3). В результате получим <и = а/2.

Т.е. в данном случае <гр г,. 2.3. Раснределенне Максвелла. Найти с помощью распределения Максвелла среднее значение модуля проекции скорости Оо„~), если температура газа Т н масса каждой молекулы т. Р е ш е н н е. По окределению искомая величина Статистическая фязпка. Распределения Максвелла я Больцмапа (!и„Ь = ~)и„~э(и„)йи„. Поскольку подынтегральная функция всюду положительна и симметрична относительно начала координат (и„= О), то интеграл (1) можно записать так: ( ~ и, Ь = 2 ~и, е (и„) с(и„.

о (2) После подстановки функции о(и,) и некоторых преобразований получим (3) где введена новая переменная ц = лю~/2)сТ. Последний интеграл равен единице„и мы имеем (~и„~) =- (23Т/хт)из. Р е ш е н и е. Первый вопрос означает„что надо найти Т, прн ко- торой функция (2.20) будет максимальной для заданной скорости и. Зависимость этой функции от Т имеет вид У(Т) осТ '? ехр(-тио/2лТ).

Максимум функции Р(Т) находим из условия др/дТ = О, откуда следует ?о = люо/2э. (2) При этой температуре и р —— ,(2/3 ио (3) Заметим, что скорость ио при температуре Т совпадает со среднеквадратичной. Рассмотренную здесь ситуацию поясняет 2.4. Газ состоит из молекул, масса каждой из которых равна т. При какой температуре Т этого газа число молекул со скоростями в заданном малом интервале (ио, ио + би) будет максимально? Какова наиболее вероятная скорость молекул, соответствующая такой температуре? рис.

2.17, из которого видно, что при Те функция г(ое) = макс. Нумерация 1, 2, 3, 4 соответствует распределениям при Т, ( ~ Тг(Тс) и Тз ~ Т4. 0 пзез пе Рис. 2.17 2.5. Газ из молекул, масса каждой из которых т, находится при температуре Т. Найти функцию распределения молекул по дебройлевским длинам волн Щ) и наиболее вероятное значение 1 при данной температуре. Р е ш е н и е. Из условия г(1)Й1 = — г(о)бо, где 1 = 2хб/то, находим г(1) = -г(о) — = С1 ехр(-а/1), оо бЛ где С = 4з(2хлулглТГ~ и а = 2пб~/тйТ. Наиболее вероятное значение 1 р находим из условия бУ/41 = О, откуда 1 = хб/~~тйТ.

2.6. Вычислить с помощью распределения Максвелла число г молекул газа, падающих ежесекундно на единичную площадь стенки сосуда. Температура газа Т, концентрация молекул и и масса каждой молекулы гл предполагаются известными. Р е ш е н и е. Направим ось Х перпендикулярно к единичной площадке стенки сосуда (в произвольном месте). Тогда произведение Йп(о,) о„— зто число молекул в цилиндре длиной о„единичной площади сечения, имеющих проекции скорости в интервале (о„, о„+ бо„).

Оно равно числу дг ударов о стенку ежесекундно атой группы молекул: Статистическая физика. Распределения Максвелла и Больцмава Согласно (2.13) йл(и,) = ло(и,)йи„, где ф(и„) — функции распреде- ления Максвелла по и, (2.16). Интегрирование (1) по всем и„дает искомый результат: и = )и, йл(и„) = Сл)ехр(-тиз72лТ)и йи (2) где С т(т/2ллТ)из. Введем новую переменную д = тиз/23Т. Тогда (2) примет вид лТ э „ лТ и = Сл — ) е " йц = л ( —. (3) Последнее выражение можно представить как 1 1 = — л<и>, 4 (4) Р е ш е н и е.

Направим ось Х перпендикулярно к стенке сосуда (в произвольном месте). Каждая молекула передает при падении на стенку импульс ти . В единице объема содержится йл = ло(и„)йи„ молекул с проекциями скоростей в интервале (и„и„+ йи„). Передаваемый этими молекулами импульс в единицу времени равен ти, (йл и„), где величина в круглых скобках — это число соответствующих молекул в объеме цилиндра длиной и„единичного сечения, илн число ударов, испытываемых стенкой ежесекундно. Тогда полное давление (суммарный импульс в секунду) определяется как р = 2)ти и йл(и ) = 2~ти~~ло(и„) йи„, е (2) где двойка перед интегралом учитывает тот факт, что импульс передастся стенке при падении молекул и такой же — лри отражении.