И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы', страница 9

Пусть газ находится во внешнем поле потенциальных (консервативных) сил, действующих для простоты в одном направлении и зависящих только от координаты г. При тепловом равновесии температура Т должна быть одинакова по всей толщине газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным. Для определенности будем считать, что силы внешнего поля направлены вниз, а ось Š— вверх (рис. 2.9). Выделим мысленно бес- Р конечно узкий слой газа толщиной бг с площадью основания столба, равной единице (Я = 1). Запишем условие равновесия этого слоя, используя гидростатический подход.

На слой бг действует направленная Рве. 2.9 Статкстяческая фкаяка. Раскрелелскля Максвелла к Бслаккака вверх сила, обусловленная разностью давлений с)р (с(р < 0), и сила, действующая вниз со стороны внешнего поля. При равно- весии должно соблюдаться равенство Йр =пс)г Р„ (2.32) где Г, — проекция внешней силы, действующей на каждую молекулу. Заметим, что левая и правая части этого равенства являются отрицательными. Из механики известно, что г, = — дУ/дг, где У вЂ” потенциальная энергия молекулы во внешнем поле.

Поэтому (2.32) можно переписать так: (2. 33) (и аи и яТ (2. 34) Проинтегрировав последнее уравнение, получим и У вЂ” Ус 1п — =— Пс (2. 35) Будем считать, что Ус = О, где и = пс, тогда и = и е-эмт с (2. 36) Зтот закон и выражает распределение Болсцмана. С помощью (2.36) можно найти число молекул в интересующем нас элементарном объеме Й7'. (2.37) При этом следует иметь в виду.

что объем с(т' может иметь, вообще говоря, не любую форму. Обязательным является выполнение условия: во всех точках объема с(т' концентрация п должна быть одинаковой. Считая газ идеальным, т.е. подчиняющимся формуле р = пЬТ, представим левую часть (2.33) в виде с)р = дп. БТ.

Тогда эта фор- мула примет вид с)п йТ =-пйУ, или 56 Глава 2 Перед тем, как обсудить полученный закон (2.36) н выяснить его возможности, наиомннм, что приведенный вывод формулы (2.36) является чисто гндростатическнм: в нем мы по сути рассматривали газ как сплошную среду, отвлекаясь от его молекулярной структуры.

Это допустимо лишь для достаточно плотных газов прн наличии большого числа столкновений. Необходимо„чтобы средний свободный пробег молекул между последовательнымн столкновениями был мал по сравнению с толщиной бг слоя. Только в атом случае имеет смысл говорить о давлении„которое действует на слой Йг со стороны соседних слоев. И тем не менее приведенный вывод привел к верному результату*, Пример. Узкую трубку длины 1, один торец которой запаян, вращают с постоянной угловой скоростью ю в горизонтальной плоско- О сти вокруг вертикальной оси 00, проходящей через открытый конец трубки (рнс. 2.10).

Это происходит в газе, состоящем из молекул массы т, при температуре Т, Концентрация молекул у открытого конца трубки равна ле. Найдем конРвс. 2.10 центрацию молекул у запаян- ного торца. Газ в трубке находится в поле центробежных сил инерции г = лпезг (имеется в виду система отсчета, связанная с вращающейся трубкой). В этом случае ! Уе — У = ~иыв~г бг = вяз~1~/2, с где Ус и У вЂ” потенциальные энергии, соответствующие открытому и закрытому торцам трубки. В результате получим л = леехр с = леехр— ' Существует и молекулярно-киветвческий вывод закова распределевня Вольцмава, свободный от недостатков. присущих првведепвову выводу, по мы ве будем его приводить, поскольку оя звачвтельво сложнее.

Стати«тик«окая фиалка. Рвоивалелеиия Мак«а«лла и вол»ливка Вернемся к формуле (2.36). Рассмотрим подробнее случай изотермической атмосферы в однородном поле сил тяжести. В етом случае У = л»3з, где л« вЂ” масса молекулы, и распределение Больцмана принимает вид: л — л е тт»(мт о (2.38) На рис. 2.11 показаны два графика этого распределения, 1 и 2. График 2 соответствует более высокой температуре (по сравнению с графиком 1). Произведение л(г)йг равно числу молекул в слое толщиной т(з на высоте л в вертикальном столбе, площадь сечения которого равна единице (Я = 1). Площадь под кривыми 1 и 2 на рис. 2.11 равна полному числу молекул в таком бесконечно высоком столбе.

Отсюда следует, что площади под О г кривыми 1 и Л одинаковы в дан- Рие. а11 ном случае. Боли газ представляет собой смесь разных газов, то в состоянии термодннамического равновесия концентрация и зтих газов должна убывать с высотой зкспоненциально с различной «скоростью» — в зависимости от масс молекул. Более крутая экспонента 1 на рис. 2.11 соответствует более тяжелым молекулам.

Определение Перреном постоянной Авогадро С этой целью Перрен использовал закон распределения Больцмана (2.38). Определив постоянную л, можно было вычислить и постоянную Авогадро 1»л В/)«. Но измерить массу молекулы не менее трудно, чем постоянную й. Эту трудность Перрен преодолел, поняв, что роль молекул в (2.38) могут играть ' ° достаточно малые, но макроскопические частицы, размер и массу которых можно было измерить. Чтобы распределение таких частиц было не очень «крутым» по высоте, Перреи поместил их в жидкость, плотность которой немного меньше плотности вещества частиц.

Тогда поле тяжести будет сильно ослабле- Глава 2 но архимедовой подъемной силой, и распределение частиц по высоте в эмульсии окажется приемлемым для проведения измерений. Одна из трудностей состояла в получении таких частиц, причем одинакового размера и формы. Для этого были использованы частицы гуммигута (особая смола), они имели сферическую форму.

Для отбора частиц одинакового размера Перрен использовал многократное центрифугирование. В результате были получены одинаковые частицы гуммигута диаметром менее 0,5 мкм. С эмульсией нз таких частиц и была выполнена Перреном (1908 — 1909) серия тончайших экспериментов по измерению зависимости концентрации частиц гуммигута от высоты. Измерения проводились с помощью микроскопа (рис. 2.12). Непосредственно подсчитывалось число частиц в видимом объеме, ограниченном по диаметру полем зрения микроскопа, а по высог те — глубиной резкости объектива (-1 мкм). рва з 1з Вся толщина эмульсии была -100 мкм. Поле зрения пришлось уменьшить настолько, чтобы одновременно было видно не более нескольких частиц.

Большее число частиц просто невозможно было пересчитать, поскольку они непрерывно хаотично движутся. Для получения необходимой точности Перрену пришлось заглянуть в микроскоп через определенные интервалы времени несколько тысяч (!) раз. Всего таким образом было сосчитано 13000 частиц (на четырех уровнях). Трудности этим не исчерпывались. А как, например, измерить диаметр частицу Микроскоп здесь помочь не мог: размер частиц был меньше длины волны света, поэтому видеть частицы было можно, но измерить их диаметр нельзя.

И все же Перрену удалось измерить их диаметр и не одним а тремя (!) способами. Удалось преодолеть и другие трудности (не будем их перечислять) Рассказанного вполне достаточно, чтобы по достоинству оценить уникальность и виртуозность экспериментов Перрена. Полученные им значения постоянной Авогадро лежали в пределах (6,5 -.

7,2) 10гз моль г, что находится в хорошем со- 59 Статистическая фалика. Расиределеиия Максвелла и Вслекиаиа гласии со значениями, полученными впоследствии другими, более точными методами. Работы Перрена доказали применимость распределения Больцмана не только к молекулам, но и к макрочастицам, а также подтвердили экспериментально и сам закон распределения Больцмана. Соответствующий расчет постоянной )с приведен в решении задачи 2.8. Барометрическая формула Умножив обе части распределения (2.38) на )сТ, получим согласно (2.33), что давление р = р е мюрат (2. 39) где лт — молярная масса,  — универсальная газовая постоянная.

Зто так называемая барометрическая формула. Она строго справедлива для идеального газа, температура которого не зависит от высоты (нзотермнческзя атмосфера). На рис. 2.13 показаны два графика (2.39) при разных температурах: Тг > Тг Следует обратить внимание на то,что в отличие от распределений л(г) (см. рис. 2.11), кривые р(г) на рис. 2.13 начинаются в 0 2 одной точке, независимо от Рис.

2.13 температуры. Это не случайно и имеет простое объяснение (см. далее). Рассмотрим попутно несколько заслуживающих внимания вопросов. 1. О поведении центра масс газа в поле тяжести. При интерпретации ситуации, изображенной на рис. 2.13, мы приходим к выводу„что в результате повышения температуры от Тт до Тг центр масс газа перемещается вверх. Возникает вопрос: под действием какой внешней силыу На первый взгляд вроде ничего не изменилось — ни сила тяжести, ни сила реакции со стороны поверхности Земли (ведь давление рс осталось прежним). На самом же деле в процессе нагревания газа равновесие нару- Глава 3 шается, вторая сила оказывается большей по модулю.

Она направлена вверх„она-то и вызывает перемещение центра масс. 2. О толщине земной атмосферы. Представим (2.39) в виде р=рое 'о", где Ь = ВТ(МИ вЂ” это высота, на которой давление убывает в е раз. Значение Ь и играет роль характерной толщины атмосферы. При М = 20 г/моль и Т = 280 К величина Ь = 8 км. По сравнению с радиусом Земли атмосфера — тонкая пленочка (что и позволяет при получении барометрической формулы считать ускорение я не зависящим от высоты). 3. О массе атмосферы Земли.

Сначала вычислим число молекул с помощью (2.38). Возьмем на поверхности Земли площадку с площадью Я = 1 и рассмотрим столб воздуха над этой площадкой. В слое толщиной йг на высоте г находится число молекул <у~ — и е — о г/иго)з о Интегрируя это выражение по э от 0 до оо, находим полное число молекул в столбе: Ф - но)оТ(т~.

Затем умножнм Ф на массу т одной молекулы и на площадь поверхности Земли 4лВэ. В результате найдем, что масса М атмосферы М =Жт 4хВ = о 4хВ = — о4нВ =53 10 кг К У Этот вопрос можно решить и проще, рассуждая так. Поскольку атмосфера Земли в целом находится в равновесии, то можно считать, что сила тяжести, действующая на гаэ в каждом вертикальном столбе единичного сечения, уравновешивается силой реакции со стороны поверхности Земли, т.е. давлением ро = 10э Па (1 атм).