И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы', страница 7

Первое начало термоднвамяки Зная значение т(, находим ()б/ ) и— (30/7) д — 6 Это невозможно, значит расчет надо вести, считая, что молекулы нелинейные. Поступая аналогично, получим д 4(г/ — 1)/(3/7 — 2), откуда Х = (2п — 4)/(Зд — 4) - 4. Таким образом, мы имеем дело с нелинейными молекулами, состоящими из четырех атомов. 1.9. Ваи-дер-ваальсовский газ. Получить для моля этого газа уравнение адиабаты в переменных Т, г, если известна его молярная теплоемкость С~.

Р е ш е н и е. Согласно первому началу и уравнению (1.44) б'Я = се/ + р сВ' = С Т+ — ау + — — с)У = О. а (КТ а) ~2 ~У Ь ~2) Отсюда ЗТ В бр Т У вЂ” Ь Интегрируя это уравнение, получаем )пТ "~ = — )п(Р -Ь) + сонэ(, или )п(Т ' (Р— Ь)] = соней Таким образом, уравнение адиабаты имеет вид Т(У -Ь) 7 " = сопзй 1.10. Определить для ван-дер-вазльсовского газа разность молярных теплоемкостей ф— С;. Глава 1 Р е ш е и и е.

По определению теплоемкости С = — = — +р— Учитывая, что (( = С„Т вЂ” о/$~, получим с,=с,+ р+ — ', Найдем (ЛЧдТ) . Для етого продифференцируем по Т уравнение Ван-дер-Ваальса (1.42). В результате получим (2) Р р+ — — — (У -Ы Уз) Рз Подстановка (2) в (1) приводит к искомому результату: 2а[У вЂ” Ь) )(Т~з — Глава 2 Статистическая физика. Распределения Максвелла и Больцмана ч 5 2.1.

Вероятность. Средние значения Р, =1пп — ' и М (2.1) Так как на практике Ф всегда конечно, то для вычисления вероятности стараются, чтобы И и Ф, были достаточно большими. Тогда можно считать„что Р1 )~кl)у. (2.2) Ясно, что сумма вероятностей всех возможных результатов измерений равна единице: ~" Р =~(И,~К) =1. (2.3) Статистическая физика — это раздел физики, в котором изучают свойства макросистем„исходя из индивидуальных свойств составляющих макросистему частиц и взаимодействий между ними. Описание движения каждой частицы макросистемы (а их порядка 10зз —: 10ээ) — задача совершенно немыслимая.

Вместо этого статистическая физика оперирует со средними значениями параметров очень большого числа частиц. Колоссальное число частиц в макросистеме приводит, несмотря на очевидный хаос, к появлению новых, статистических закономерностей. Их изучение и делает возможным описание макро- систем на основе сведений о свойствах отдельных частиц системы. О вероятности. Основу статистической физики составляет теория вероятностей. Вероятность интересующего нас события характеризуется кратностью его повторения. Если в Ф случаях Ье событие происходит Ж~ раз, то вероятностью Р; этого события называют величину Глава 2 42 Теперь обратимся к вычислению вероятностей сложных собьипий. Рассмотрим две основные теоремы: о сложении и умножении вероятностей.

Проще всего это понять с помощью игрального кубика. 1. Теорема о сложении всроятпностпвй заключается в том, что вероятность того, что в результате ььь' бросаний кубика выпадет ь' или й, равна >>ь'ь -ь дь» Р, „»= =Р, »Р». М (2.4) 2. Теорема об умножении вероятное пей. Найдем вероятность того, что при двух бросаниях кубика выпадет последовательно ь н ьь (или наоборот). Рассмотрим Х двойных бросаний. Пусть первый кубик нз каждой пары бросков дал ь в Хь случаях (так что Р, = Ж,ььььь'). Теперь выделим из этих Жь случаев те Ф» случаев„когда второй кубик давал ьь (так что Р» = Х»/М,).

Искомая вероятность Х; М» Р. » = — — ' —.— =Рь ' Р». Х ь»ь (2.5) Средние значения случайных величин. Зная вероятности появления различных результатов измерения дискретной величины я, можно найти их среднее значение <х>. По определению среднего <х> = — , 'ьв,хь = ~ ~Рьян 1 (2.6) Функция распределения. Рассмотрим случай, когда случайная величина я имеет нспрсрььвный характер (например, скорости молекул). Для этого разобъем всю область изменения х на отдельнъье интервалы и будем считать число попаданий случайной величины в тот или иной интервал.

Интервалы должны быть во избежание заметных флуктуаций достаточно большими, чтобы в каждом интервале число попаданий было Фь» 1 и чтобы'с помощью (2.2) можно было определить вероятность попадания случайной величины в данный интервал. Вместе с тем, интервалы должны быть достаточно небольшими, чтобы более детально характеризовать распределение величины я. Статксекческая 4кекка.

Раскрелелеккя Максвелла к Велакмака Итак, мы имеем достаточно большое число достаточно небольших интервалов и, допустим, нам известна вероятность Р попадания в тот или иной интервал Лх. Сажа величина ЛР весьма мала, поэтому в качестве характеристики случайной величины берут отношение ЛР,/Лх, которое для достаточно малых Лх не зависит от величины самого интервала Лх. Это отношение при Лх — е 0 называют функцией распределения )(х) случайной величины х: А1', Ы', 1(х) = 1пп — ' = а ейх дх (2.7) Ркс.

2.1 бра = Пх) йх. (2. 8) Вероятность того, что величина х попадает в интервал (о, Ь): Р=ГДх)б . а (2. 9) Ясно, что вероятность того, что величина х может принять хотя бы какое-нибудь значение (достоверное событие), равна единице. Это называют условием нормировки: ) Дх)с)х=1. (2.10) Видно, что функции распределения ((х) можно приписать смысл плотноппи вероятности, т.е. вероятности интересующей нас величины оказаться в единичном интервале вблизи значения х. В разных случаях функция Дх) распределения имеет совершенно различный вид, один из которых в качестве примера цриведен на рис.

2.1. В соответствии с (2.7) площадь полоски шириной бх на этом рисунке 0 равна вероятности того, что случайная величина х окажется в пределах интервала (х, х + Ых): Глава 2 <х> = )х<(Р = )хг(х)<(х, (2.11) где интегрирование проводится по интересующему нас интерва- лу значений х. Аналогичные формулы справедливы для любой функции <р (х), например <х > = )х Г(х)<(х. Пример. Идеальный газ находится в сферическом сосуде радиуса В. Найдем распределение расстояний г молекул от центра сосуда и среднее значение <г>.

Выделим мысленно тонкий концентрический шаровой слой радиуса г и толщиной <1г. Сначала найдем вероятность того, что молекулы попадают в этот слой. Она равна доле молекул в этом слое: <)Р„= оМ,/Ф. В силу равномерного распределения молекул это отношение равно отношению соответствующих объемов: 4У 4агз<>г Згз<)г (4я!3)В~ Вз Согласно (2.7) искомая функция распределения У(г) - аР,Иг - 3 'ГВ'. Среднее значение <г> находим по формуле (2.11): (згззВ43 <г> = (г — бг = — — = — В. Вз Вз 4 4 где интегрирование производится по всему интервалу возможных значений величины х.

Из этого условия следует, что вся площадь под кривой г(х) равна единице (см. рис. 2.1). Заметим, что (2.10) является аналогом формулы (2.3). Средние значения. Среднее значение величины х можно найти, зная ее нормированную на единицу функцию распределения Дх). Обратимся к формуле (2.6). Она справедлива и для случая, когда интервал изменения величины х будет разбит на небольшие участки. Уменьшая участки, мы должны в конце концов заменить Р, на <(Р и Š— на интеграл ).

Тогда Статистическая фивика. Раскределекия Максвелла и Белвииаяа Флуктуации. Вероятность случайного события и экспериментально наблюдаемая доля результатов, когда событие осуществляется, — зто не одно и то же. Последняя (доля результатов) испытывает случайные отклонения от предсказываемой вероятности. Именно такого рода отклонения происходят в любых макросистемах. Эти отклонения и обусловливают флуктуации. Согласно теории вероятности, с увеличением числа Ф испытаний относительная флуктуация любой величины уменьшается по закону 1//Ж.

Именно грандиозность числа Ф молекул и объясняет, почему макроскопические законы, получаемые на основе статистических представлений о движении частиц макросистемы, оказываются точными. В дальнейшем мы часто будем использовать понятие бесконечно малого объема сП' макросистемы. Под этим будет пониматься такой объем, размеры которого ничтожны по сравнению с размерами самой макросистемы, но все же намного превосходящие характерный размер ее микростроения. Каждая бесконечно малая область, предполагается, содержит число частиц ЙЖ настолько большое, что относительной флуктуацией их можно пренебречь. 5 2.2. Распределение Максвелла Закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамнческом равновесии, был найден Максвеллом (1859).

Ход его рассуждений довольно сложен и полностью приводить его мы не будем, а ограничимся в основном рассмотрением подхода к решению этой проблемы, а также физического смысла закона Максвелла и некоторых его следствий. Следуя Максвеллу, представим себе пространство скоростей с прямоугольными координатными осями, по которым будем откладывать значения проекций о„о„, ос отдельных молекул.

Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве — конец вектора к. Из-за столкновений молекул положения точек будут стремительно меняться, но их распределение в целом будет оставаться неизменным, поскольку макросистема находится в термодинамическом равновесии. Глава 2 Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически снмметрнчным.

Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости и (но не от т). Итак, пусть макроснстема (газ) содержит Ф молекул. Выделим в некоторой точке — конце вектора т — малый объем Йо„би„Йи, о (рис.2.2, где ось и, направлена на нас). Относительное число точек (молекул) в этом объеме, или другнмн словами, вероятность ЙР того, что скорость молекулы, т.е. конец вектора т, попадет в этот Рис. 2.2 объем, можно записать так: ЙЖ(о„,о„,о,) ЙР(о„,о„,о,) = * " ' = Ди)Йо,Йи„Йо„(2.12) Ф где До) имеет смысл обэемной плотности вероятности.

Вероятность же того, что молекула (точка) будет иметь проекции скорости в интервале (о„и„+ Йо,), есть ЙР(о,) = * = ср(и,)Йо„, ЙФ(и, ) Ф (2. 13) ЙР(о„, и„, и,) - ЙР(о„) ЙР(иэ) ЙР(эа) = =у(е,)у(с„)у(о,)Йс Йсгбс,. (2.14) где у (о„) — функция распределения по и,. Выражение (2.13)— это по существу интеграл (2.12) по иа и о„т.е. относительное число молекул (точек) в тонком плоском слое от еа до о, + Йо,.

Вероятности того, что молекула имеет проекции скорости в интервалах (о„, о, + Йо ), (о„, иа + Йоа) н (и„о, + Йо,) являются независимыми (зто было доказано), поэтому в соответствии с теоремой об умножения вероятностей независимых событий можно записать Ствтяетквеекая фкакка. Рвепрекелеккя Мвкевелла к Балаклава Из соображения равноправия осей и„пв и ве ясно, что функции д должны одинаковым образом зависеть от соответствующих проекций скоростей. Сопоставив (2.14) с (2.12), находим (2.15) Ф) =Ю(се) ф(.„) Ю(ге).