И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы', страница 6

Сначала найдем У . Для этого воспользуемся Поправка в первой скобке, а/$'м~, обусловлена силами притяжения между молекулами. Она имеет размерность давления, и ее часто называют внутренним давлением. На стенку сосуда такой газ оказывает давление Р.

Однако, если бы силы притяжения между молекулами мгновенно исчезли, то давление на стенку стало бы р + з/~'м~. Т.е. при переходе от идеального газа к реальному давление на стенку уменьшается — из-за сил притяжения между молекулами. Поправка Ь, как легко сообразить, связана с собственным объемом молекул, ее размерность мз/моль. Газ, подчиняющийся уравнению (1.42), называют ван-дер-ваальсовским. Обращаем на это внимание в связи с тем, что к настоящему времени предложено много других уравнений состояния (свыше 100), более точных, но и более громоздких. Для наших целей уравнение Ван-дер-Ваальса является предпочтительным: при большой простоте оно дает возможность объяснить, хотя бы качественно, широкий круг явлений в газах и даже в жидкостях.

К этому мы позже вернемся (3 5.1). Глава 1 тем, что работа сил притяжения равна убыли энергии У„: ЙА = = — ОУ . Силы притяжения характеризуются внутренним давлением р~ = а/%м в уравнении (1.42). Тогда элементарная работа этих сил б'А = -р; ЙУм„где знак минус обусловлен тем, что при расширении газа (с)Ум > О) работа й'А должна быть отрицательной, т.е. й'А ( О. Итак, Мы представили б'А как убыль некоторой величины — она н является энергией Увв: (1.43) Константа, которую здесь следовало бы добавить, несущественна.

Поэтому мы сразу же положили ее равной нулю. Получается естественный результат: при $'и -+ с У„-+ О. Суммарная же кинетическая энергия Х зависит от поступательного и внутреннего движений молекул, и определяется как С т. Таким образом, внутренняя энергия моля ван-дер-ваальсовского газа (1.44) где С, = (1/2)Л. Если газ расширяется в пустоту без теплообмена с окружающими телами, то А = О, 9 = О, и согласно первому началу в этом процессе У = сопз$. Значит, как видно из (1.44), с ростом объема температура газа уменьшается (в отличие от идеального газа). Это можно представить и наглядно (рис. 1.13).

Видно, что при расширении газа (увеличении объема У) в случае У = сопз$ суммарная кинетическая энергия молекул газа, а значит и температура Т, уменьшается. Газ охлаждается. Рис. 1.13 Первое начало термодявемвкв Как мы выяснили, в этих условиях внутренняя энергия газа У = сопвй Значит согласно (1.44) где ф— полярная теплоемкость. Из этого выражения следует т.е. температура газа уменьшается.

Задачи 1.1. Уравнение процесса. Найти максимально возможную температуру одного моля идеального газа, совершающего процесс р = ро — пут, где ро и а — положительные постоянные. Р е ш е н и е. Для этого следует сначала найти зависимость Т(У), а затем из условия 4Т/йу = О определим Т„,. Итак, денный в усло- вии процесс с помощью уравнения состояния рр = ВТ перепишем в виде рог Дифференцируем это уравнение по г: ЙТ вЂ” ро 3ауе О.

Ж' (2) Отсюда $'„„соответствующее максимуму Т, равно К =,/ро(бп. Подстановка этого выражения в (1) дает 1.2. Работа над газом. В вертикальном цилиндре под невесомым поршнем Р находится один моль идеального газа при температуре Т (рис. 1.14). Пространство нод поршнем сообщаетса с атмосферой. Пример. Найдем приращение температуры о молей ван-дер-ваальсовского газа при расширении его в пустоту от объема $; до Уо в теплоизолироваином сосуде (газ был локализован в объеме У, и в некоторый момент перегородку убрали). Глава 1 Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно поднимая поршень, изотермически увеличить объем газа под ним в и разу Р е ш е н и е. По определению, работа, совершаемая силой Р, есть А' = )г (Л) бЛ, где силу Р можно выразить через давление газа р под поршнем и рэ — над поршнем.

А именно, из условия медленности сохраняется баланс сил: Рнс. 1.14 г +Ро =Роя (2) где Я - — площадь сечения поршня. Подстановка Р из (2) в (1) дает Г= ) (р, - р)8 бЛ = ) р, бу - ) — И . (3) В результате интегрирования в пределах от у до и'» получим А' = рдУ(л — 1) — ВТ )пл, или с учетом рэ(" = ВТ А' = ВТ(л — 1 — )пп). 1.3. Политропический процесс. Идеальный газ с показателем адиабаты» расширили в г) раз по закону р = а)г, где а — постоянная. Первоначальный объем газа )гь Найти: а) приращение внутренней энергии газа; б) работу, совершенную газом; в) молярную теплоемкость газа в этом процессе.

Р е ш е н и е. а) По определению АУ = С»(Тз — Тз) = (Ргрг Р1У1). С» В Имея в виду, что Ф'з/У~ = г) и р ся )г, перепишем (1) так: Ьи — а);э(цз - 1)лу — Ц; 33 Первое вачало термодввамюск б) А = ~рсП~ = — с = — аЪ' (с) — 1); рс уз )ь 1 2 2 Р; 2 2 в) согласно (1.13) решение сводится к нахождению производной йу/йТ. Из уравнения процесса и уравнения состояния идеального газа следует, что арт = ВТ. ДиФФеренцируя по Т, получаем 2сб'(йУ/йТ) = В, или р(йУ/йт) = В/2. Следовательно В В у+1 С Сг+ — = — —.

2 2 у — 1 Р е ш е н и е. Согласно условию й'А = а йс/, где з — некоторая по- стоянная. Раскроем это выражение: р сИ' = а — йТ. В у-1 Перейдем к переменным р, )с, взяв дифференциал уравнения р~ =ВТ: ВйТ рйн+ Рйр. Подстановка (2) в (1) дает (2) 1-а г йр= — рй . а (3) где а = а/(у — 1). Разделив (3) на рЪ', получим йр 1-а Л" (4) р а )с Интегрирование этого уравнения приводит к следующей формуле 1 — а 1пр = 1п )с+ соней а В результате потенцирования получим р$ - сопев, где л — некоторая постоянная„здесь л = 1 — (у — 1)/а. 1.4. Показать, что процесс, при котором работа идеального газа пропорциональна соответствующему приращению его внутренней энергии, описывается уравнением рР' = сопз(, где л — постоянная.

Глава 1 1.6. Идеальный гаэ с показателем адиабаты у расширяют так, что сообщенное газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти: а) молярную теплоемкость гааа в этом процессе; б) уравнение процесса в переменных Т, У. Р е ш е н и е. а) Согласно условию д'Я = -йУ имеем дЯ -бУ Я ЙТ бТ 1-1 б) Исходим из соотношения (1.13): оу С=Сг+р — =-С бт Отсюда бУ ЛТЛ 2С„= -р — = — —— бТ У бТ Это приводит к уравнению ат Б бу Т 2С„У интегрирование которого дает В 1пТ = — — 1пу+ совз$. 2С, Отсюда следует, что ТЪ' 1 " = сопэФ, или ТУП "" = сопэс.

1.6. Один моль идеааьного газа с известным значением С~ находится в левой половине цилиндра (рис. 1.15). Справа ог поршня вакуум. В отсутствие газа поршень находится вплотную к левому торцу цилиндра, и пружина в этом положении не деформирована. Боковые стенки цилиндра и поршень адиабатные. Трения нет. 1'аэ нагре- Я вают через левый торец цилиндра.

Найти теплоемкость гааа в этом квазистатическом процессе. Рве. 1.1$ Первое начало термодинамика Р е ш е н и е. Согласно формуле (1.13) надо найти второе слагаемое, т.е. Р(о(У/о(Т). Поступим так. Пусть жесткость пружины х, тогда, если сжатие пружины равно х, то в процессе должно выполняться равенство хл = р8, где Я вЂ” площадь сечения цилиндра (и поршня). Умножив обе части етого равенства на Я, получим м )х - рйа, где х' — объем газа. Выразим в (Ц давление р череа Т и ох с помо- щью уравнения состояния идеального газа.

Тогда получим уе (оово,) Т Дифференцнруем зто равенство по Т: (2) сох ВЯх и 2Р— = — =  —, дТ х р (3) где последнее равенство написано на основании (1). Из уравнения (3) имеем со' В Р ЙТ 2 н искомая теплоемкость с = с„+ яд. о* х Р е ш е н и е. Запишем основное уравнение динамика для случая, когда поршень находится, например, справа от положения равновесия на расстоянии х (рис. 1.16): Ряс. 1.16 1.7.

Колебания. В закрытом с обоих торцов горизонтальном цилиндре, заполненном идеальным газом с покааателем адиабаты у, находится поршень массы и с площадью сечения Я. В положении равновесия давление газа равно ро и поршень делит цилиндр на две одинаковые части, каждая объемом Уо. Найти частоту ео малых колебаний поршня около положения равновесия, считая процесс адиабатическим и трение ничтожно малым. Глава 1 Из условия Р)У' = Ро)Усу следует, что У 1 1 7)1 2 Рз РУ = Ро)7о~ ! = Ре)7е у7 )77 )727 2 1 о (2) где принято во внимание, что )УУ мало отличается от )72, поэтому в знаменателе );1)72 заменено на )ф.

Теперь учтем, что = ( о+ ох) )о~1+ У 7( УЯХ) )'о (3) Тогда (2) можно преобразовать так: 2УЯх Р2 Ру =Ро )Уо (4) Подстановка этого выражения в исходное (1) дает тх = -(2УР«Д /)Уе)х. (5) Мы пришли к уравнению гармонических колебаний х + зу»Х = О, из которого следует, что искомая частота сУ = 8,(2УР»/о»)'е. Р е ш е н и е.

Исходим нз условия 7) = у*/у где у, — постоянная адиабаты после «замораживания» колебательных степеней свободы. Дальнейшее зависит от того, какие молекулы — линейные или нелинейные. Пусть число атомов в молекуле равно Ф. Для линейных молекул число колебательных степеней свобоДы з„ы = ЗФ вЂ” 5 и число 1 = 5+ 22„= 6Ф вЂ” 5, а после «замораживания» 1, = 5. Тогда согласно (1.40) у» (2*+ 2)/2» (5 + 2)/5 7 6)УУ 5 у (2+ 2)/1 (6Ф вЂ” 5+ 2)/(6Ф вЂ” б) 5 6Ф вЂ” 3 1.8. Степени свободы молекулы. Найти числа атомов в молекуле газа, у которого при «замораживании» колебательных степеней свободы постоянная адиабаты у увеличивается в 7) = 1,20 раза.