И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы', страница 4

Представим выражение (1.9) для теплоемкости, учитывая (1.6) и (1.11), в виде (1.13) Если процесс изобарическнй (р = сопз$), то из уравнения состояния (1.7) следует, что р(сП"/ЙТ) = В, и соответствуюп(ая малярная теплоемкость С =С,+Л. (1.14) Важной характеристикой газов является отношение Ср/Сг, которое обозначают буквой у и называют постоянной адиабаты.

Имея в виду (1.14), запишем С, 71 у= — =1+ —, С С откуда молярная теплоемкость (1.15) Из опыта следует, что значения у для разных газов лежат в пределах 1,3 —: 1,67. Подставив (1.15) в (1.12), получим другие формы выражения для внутренней энергии т молей идеального газа: (1.16) Пример. Определим постоянную адиабаты у для газовой смеси,, состоящей из т, молей газа с постоянной адиабаты у, и земелей газа с постоянной уг Исходя из того, что у = Ср/Сг, запишем $ гСрг + тгСрг у= ггСгг + "гСгг 1В гл Учитывая, что моляриые теплоемкости Св = В/(у — 1) и С = уВПУ вЂ” 1), преобразуем (*) к виду 11У1(У2 )-) + 12У2(У1 у= 1'1(У2 1) е ~2(У1 1) э 1.4. Политропические процессы Адиабатический процесс. Это процесс, который происходит без теплообмена с окружающей средой.

Для идеального газа запишем (1.6) с учетом (1.16) в виде Выпишем числитель етого выражения: б(ру)+(у — Црб =бр У+рбу+ура — р )1 =О. После сокращения на р 2)У получим Убр+урбУ=О. Разделим оба слагаемых на ру, тогда бр 6У вЂ” т у — =О. р Это выражение представляет собой сумму дифференциалов ло- гарифмов р и )'1 б)пр+уб)п -61п(р~ )=О. Равенство нулю последнего дифференциала означает, что мы имеем дело с константой„т.е. АУ сопл(. (1. 17) Это и есть уравнение адиабалзы в переменных р, )'.

Его называют уравнением Пуассона. Это уравнение можно представить и в других переменных. Например„в переменных Т, У оно выглядит так: ТКУ сопи(. (1.18) 19 Первое иачаао териолииаииаи Адиабаваа (1.17) идет круче изотермы (рК = сопв1): для этого достаточно сравнить производные е(р/е)е' для обоих процессов. Для изотермнческого процесса рЮ' + е)р Ф = О, откуда А для адиабатического процесса (1.17) руру ~оК+ др е'= сопв$, откуда бра И = -у(АУ).

Поскольку у > 1, то адиабаты, действительно, идут круче изотерм Р' (рис.1.6). Рис. 1.6 Политропические процессы. Так называют процессы, уравнение которых в переменных р, е имеет вид (1.19) руа = сопв$, где и — произвольное число, как положительное, так и отрицательное, а также равное нулю.

Таким образом, любой процесс, уравнение которого можно свести к виду (1.19), является политропическим. Соответствующую кривую называют лолиларолой. Политропическими являются, в частности„процессы изохорический, изобарический, изотермический и адиабатнческий. Отличительной особенностью всех политропических процессов является то, что в ходе этих процессов теплоемкость системы остается постоянной: (1.20) С„= сопв1. Убедимся в этом, воспользовавшись формулой (1.13).

Входящую в нее производную Йг/61 найдем с помощью уравнения Тра 1 = сопв$ — уравнения политропического процесса (1.18) в переменных Т, е'. Продифференцируем последнее уравнение: ЙТ1 1-~ Т(л — 1)уа з сИ'= О, откуда дТ н — 1 Т р(л — 1) 20 Глаза 1 Остается подставить зто выражение в (1.13), и мы получим В Л Л С =С а и — 1 у — 1 и — 1 (1.21) Отсюда видно, что, действительно, в ходе политропических процессов С„= сопз$.

Если и =. у, то С„= О (зто сразу следует и из определения адиабатнческого процесса). При и = 1 С„-+ сс, как и должно быть при изотермическом процессе. Интересный результат обнаруживается в случае 1 < и < у. Перепишем (1.21) в виде (у — 1)(и — 1) (1.22) Видно, что в етом случае С„< О. Это значит, что мы сообщаем тепло системе, а она охлаждается, поскольку знаки с)'Ц и Й7' должны быть при етом противоположными. Это относится ко всем политропическим процессам, «промежуточным» между изотермическим и адиабатическим (рис.1. 7). »' Из (1.21) нетрудно получить выражение, определяющее и через теплоемкости: Рвс.

1.7 и= ф— С (1.23) А = Я ЛУ СпЬТ Сто (Са Сг)Я ° Работа газа при политроиических процессах. Работу, которую совершает газ при любом процессе, можно вычислять с помощью Формулы (1.5). Но зту работу можно вычислять и иначе — с помощью первого начала, а именно: Первое иачало термодииамики где ЛТ = Тз — Т,. Для т молей согласно (1.21) ф— С~ = — тЯ/(и — 1), поэтому предыдущее выражение можно переписать так: тзь(Т1 Т2) Р111 рз~ 2 л — 1 и — 1 (1. 24) Отсюда следует, что при л = у работа А =- — ЛУ, как и должно быть. Из (1.24) следует также, что при политропических процессах работа газа Выражение (1.24) ые удобно для изотермических процессов, поскольку при и = 1, Т1 = Тз и А = О/О. Поэтому в даыыом случае работу А следует вычислять ыепосредствеыыо с помощью (1. 5): А = ~рдУ = ~ ЙУ =тЛТ)п — ~.

(1.25) р 1.5. Молекулярно-кинетическая теория Заметим, что е оцепочиото подхода иачипеется построение практически любой серьезной теорие. Его можпо рассматривать как первое приближение. Теперь ыам предстоит раскрыть физический смысл, природу и происхождеыие непосредственно ыаблюдаемых параметров р, Т и др., исходя из молекулярно-кинетических представлений.

При этом мы будем использовать статистический метод, иытересуясь движением ые отдельных молекул, а лишь такими средними величинами, которые характеризуют движение колоссальыой совокупности молекул. Первый шаг ыа этом пути — выбор модели даыыой макросистемы. Модель, естественно, выбирают сначала иростейизую и с помощью ыее проводят оиеночньсй расчет .

Полученные результаты сравнивают с экспериментом. При ыеудовлетворительыом расхождении с опытом модель усложняют, выясняют, как это отразится ыа результатах и т.д. Это типичный путь позыаыия природы. Глаза 1 Простейшей моделью обладает идеальный газ. Будем считать, что 1) молекулы идеального газа не взаимодействуют (или практически не взаимодействуют) друг с другом; 2) в равновесном состоянии движение молекул полностью хаотично. Зто позволяет в грубом приближении считать, что все молекулы движутся только в направлениях Х, У и Я, т.е. если в единице объема имеется и молекул, то в каждом из этих направлений движутся по л/3 молекул, или л/6 в одну сторону.

Число ударов молекул о стенку. Разобьем молекулы в каждой единице объема на группы Лл,, в каждой из которых скорости молекул можно считать практически одинаковыми и равными со так что ~ Лл; = л — полное число молекул в единице объема. Число т, молекул (-й группы, которые достигают ежесекундно единицы поверхности стенки, двигаясь перпендикулярно к с,.

° 1 ней, равно, как нетрудно сообразить, числу таких молекул в цилиндре длиной и; 1 и сечением Я = 1 (рис.1.8), т.е. Рис. 1И 1 т = — Ляе . 1 с' (1. 26) Суммируя по всем группам, находим 1 = — ~ Ли,с,. 6 Разделим и умножим последнюю сумму на п. В результате приходим к следующему выражению: (1.27) где <и> — среднее значение скорости молекул.

Заметим, что точный расчет дает коэффициент 1/4 (а не 1/6). Т.е. несмотря на такие грубые предположения, результат получился вполне приличным. Первое зачала термодвваввав Оценим число ч для воздуха при ыормальных условиях, Считая, что п - 102о см 2 (постоянная Лошмидта) и о - 1 км/с, по- лучим о-102о10з 1024 с 2см 2. Лр = рз — р1 = тч — ( — тч) = 2тч. Такой же импульс, но в противоположном направлении, получила стенка. Импульс, который передают стенке молекулы (-й группы ежесекуыдно, найдем с помощью (1.26): 1 2 р, =2то, ч, = — ти, Ляг 3 (1.

28) Полыое давление получим, просуммировав (1.28) по всем груп- пам Лп; молекул: р=2 р, = — т"~ и,Лп,. 2 3 Разделив и умножив последнюю сумму в етом выражении на п, получим р = — пт<и > 1 2 3 (1. 29) Это выражение можно переписать иначе р = — п(с,), ( 2 3 (1. 30) Давление газа ыа стенку. Природа давления, как мы догадываемся, это совокупное действие множества молекул. При оценочыом подходе будем считать, что каждая молекула, налетая на стенку нормально, в результате столкновения с ней отлетает в противоположном направлении (хотя заведомо ясно, что зто не так).

До столкновения со стенкой молекула имела импульс р2 = тч и после столкновения при сделаыном предположении — импульс рз = -тч. Приращение импульса молекулы в результате столкновения Глава 1 (с,) = — пТ, 3 2 (1.31) где й — постоянная Больцмана й - В/Мл = 1,38 . 10 зз Дж/К.

(1. 32) Формула (1.31) замечательна тем, что вскрывает физический смысл температуры Т: температура Т выражает среднюю кинетическую энергию молекул. Следует обратить внимание„что (е„) зависит только от Т, от массы же молекул не зависит. Заменив в (1.30) (з„„) его выражением (1.31), получим (1.33) р- пйт, где и,— концентрация молекул. Это несколько иная форма уравнения состояния идеального газа. Формулу (1.33) можно, конечно, получить и сразу из уравнения р)~ = ВТ, разделив обе части на У и представив В как )гФл.

где (з, ) = (тэз/2) — среднее значение поступательной кинетической энергии молекул. Эту формулу называют основным уравнением кинетической теории газов. Она раскрывает физический смысл макропараметра р: давление газа на стенку определяется средним значением поступательной кинетической энергии молекул (и только поступательной!). Отметим, что это выражение является точным, несмотря на то„что расчет имеет довольно грубый оценочный характер.

Дело в том, что в процессе расчета были допущены две неточности в числовых коэффициентах, которые случайным образом (так иногда бывает) компенсировали друг друга. А именно, для числа столкновений г и передаваемом стенке в среднем импульсе Лр каждой молекулой мы использовали коэффициенты соответственно 1/6 и 2. Точный же расчет дает 1/4 и 4/3. Как видим, их произведение в обоих случаях равно 1/3. Физический смысл температуры Т.

Сопоставив полученное выражение (1.30) с уравнением Клапейрона (1.7), находим 25 Первое авчьль термодиваммкм Давление фотонного газа. Предполагается, что излучение (фотонный газ) равновесное. Скорость фотонов равна с и их импульс ре = е/с, где с — энергия фотона (с = Ьт). Представим формулу для давления (1.29) так: 1 1 р = — п<ти .

и> = — т<р'о>. 3 3 (1. 34) Подставив вместо импульса р' импульс фотона с/с, а вместо и скорость с, получим 1 1 р = — л<с> = — и 3 3 (1. 35) где и — плотность энергии фотонного газа (излучения). 5 1.6. Гипотеза о равнораспределении энергии по степеням свободы Степени свободы. Так называют число независимых координат, определяющих положение системы, или в интересующем нас случае — молекулы. Для определения положения центра масс молекулы необходимо задать три координаты. Это означает, что молекула имеет три поступательных степени свободы. Если молекула двухатомная и жесткая (ьгантельь), то, кроме трех поступательных степеней свободы, она имеет и две вращательные, связанные с углами поворота вокруг двух взаимно перпендикулярных осей 1 — 1 и Я вЂ” 2, <~ ~С проходящих через центр масс С„как показано 1 ! на рис.1.9.