Колесников К.С., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. - Динамика топливных систем ЖРД, страница 3

~' Ф,та,.г?5. (1. 1. 28! Следует отметить, что если начало координат не совпадает со свободной поверхностью жидкости 5, а находится в точке С (рпс. 1.1), выражение для lг будет й= — Н+х. Выражения (1,1,!9], (!.1.29) и (1.1.30) для системы осцилляторов определяют динамические характеристики оболочки, запол. пенной ж~идкостыо Прн рассмотрении оболочек будем использовать в основном формулы безмоментной теории, которые в бо.лыпинстве задач дают весьма хорошие результаты для тонких оболочек, используемых в конструкциях ракет. Возникающая при этом в зоне краевого эффекта погрешность носит местный характер и мало влияет иа динамические характеристики бака. й 2.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАКОВ С ЖИДКОСТЬЮ Настоящий раздел посвящен определению динамических характеристик частично заполненных жидкостью баков, состоящих из оболочек простой формы. К ним относятся цилиндрические и конические с жесткими днищами, сферические, зоровые, эллипсоидальные и другие.

Не имея возможности рассмотрения большего количества типов баков, остановимся лишь на тех, которые наиболее часто используются в ракетах с ЖРД. Получение точного решения задач о колебаниях оболочек с жидкостью связано с определенными трудностями. Поэтому для упрощения решений и получения результатов в удобном виде используется ряд допущений. В расчетной схеме конструкция бака сводится к оболочке постоянной толщины. Жидкость принимается идеальной, несжимаемой н однородной В уравнениях, описывающих движение оболочек с жидкостью, не учитывается инерция оболочки,так как она мала посравненню с инерцией жидкости. При формулировании граничных условий и условий сопряжения приняты некоторые упрощения.

Например, условия на поверхности жидкости удовлетворяются интегрально и, кроме того, не учитываются гравитационные волны, поскольку их энергия иа Рассматриваемых частотах мала по сравнению с энергией системы. Сферические баки Узлы крепления бака с корпусом ракеты могут быть недостаточно жесткими. В этом случае в расчетную схему нужно ввести пружину с жесткостью с (рнс.!.2). В настоящее зремя имеется ряд работ [4, 6, 30, 59, 64, 65 и др.], в которых получены приближенные решения задачи о колебаниях сферической оболочки с произвольным уровнем заполнения жидкостью и точные решения для сферической оболочки, заполненной жидкостью полностью.

Вольшую трудность при решении задачи с произвольным уровнем заполнения бака представляез удовлетворение граничного условия на свободной поверхности жидкости. !б В качестве иллюстрации метода решения рассмотрим задачу об определении динамических характеристик сферической и полусферических оболочек, заполненных жидкостью полностью и совершающих осесимметричные колебания. Пусть оболочка крепится к корпусу в экваториальной плоскости. Верхняя и нижняя полусферы имеют разную толщину бз и б~ соответственно. Рис 1.

2. Задача сводится к решению уравнения Лапласа для жидкости (1. 2. 1) и уравнений колебаний полусферических оболочек (1. 2. 2) (а+2) та„— (д+! — ») р„, и и где Ԅ— потенциал смещений жидкости; ря — давление жидкости на оболочку; индекс и обозначает величины, относящиеся к нижней (и=1) нли к верхней (и=-2) полусфере; 1 / д . д = — ~ — 5!П 0— МпВ(,дВ дВ 1 1 д с д 1, а Граничные условия на смачиваемой поверхности Х будут (1. 2. 3) дг 1б 13 полюсах оболочек и экваториальной плоскости (х=О) должны выполняться условия с(7=Я,-~-Х, при д=пг2; 1та„1(М=-сопз1 при 9 — -- О и б.=-п~2, где с — жесткость узлов крепления бака; 0 — перемещение экваториальной плоскости оболочки; й(ь УΠ— силы, действующие на узлы крепления со стороны ниж- ней и верхней полусфер, причем р„ХгУХ (Х=-соз 9),' и при 0= — ' 2 (1.

2. 5) Ь'=- и„ д Г йо где и„= — (та, т —— Д»О» Р» ! ° Потенциалы смещений жидкости в экваториальной плоскости должны удовлетворять условиям сопряжения Ф,=Ф, при х=-О, дФ, дФО = — при х=О. гдО гда (1. 2. 6) Потенциал смещений жидкости для каждой полусферы задаем в виде ряда, состоящего из гармонических функций Ф,=(т.+и)гх-;-'~~ В„Р,„гл, (!.

2. 7) л О где РО, — полином Лежандра первого рода; Ти 5»л функции времени. Нормальные перемещения оболочки ищем в виде ряда по четным полиномам Лежандра тв„— В„Х+ лт' та»„РО„, (1. 2. 8) л-О 17 где В„, ⠄— функции времени. Подставляя выражения Ф (1.2.7) и Оэ (1.2.8) в граничное условие (1.2.3), умножая на РО„и интегрируя по Е„, с учетом .

условия ортогональности ~ Р,»Р, пХ=О, при и-~т находим : А,„(т,+и)+2 уд — В„="=А„„В„+та (гп=о,1,',...), (1.2. О) а„ Е Подставляем выражения р (1.1.3), Ф„(1.2.7) и в„(1.2.8) в уравнение (1.2.2); далее, умножая полученный результат на Рэ и интегрируя по Х, с учетом условий ортогональности и свойства полиномов Лежандра ЬРм„,= — 2т(2пг+1)Р~,„, получим ( У + 2) та„„, = =- )2 [Ф„+ 1 — - ъ ) Я~ йэ ' — 1— (1. 2, 10) — (1+я')(Т„+77) А„] (ы .=0,1,2,...), где ',! =-- — 2т(2т+1); л-"= ' ~'~' и я и и Используя (1.1.3), (1.2.7) и (1,2.8), получим нз (!.2.5) следующие равенства для силы У„ и перемещения экваториальной плоскости оболочки (7: К„= — й Ец„~[ — '~т„< и~ э' Л Я-'Я ~ ~~А ~Ч л 0 Б .-=В„+~'(Т„-).

Е/) при 6 — п)2. (1. 2. 12) Условия сопряжения (1.2.6) с помощью выражения (1.2.7) приводятся к виду ҄— Т,=Т,=Т, (1. 2, 13) ~ ( — 1) 4Б„„Р„,(0,' — ] —.О, (1. 2. 14) а-~ л=~ где Р,. (О) — значение полиома Лежандра при соз () =О, равное Рз.!0) -- (-1)" 2 4 б...вл При выводе уравнения (1.2.14) условия сопряжения удовлетворялись интегрально по поверхности В. Из выражений (1.2.9) — (1.2.14) и (1.2.4) получим бесконечную систему уравнений для верхней и нижней полусфер [2и((1,+2! — ~,' (Зв+ 1 — т)] 5„— А„„1,"-(З,-';-! — т)(Т-1-(7)+ +А„„ф,+2)Т=-0 (и= — 1, ' ], (п.—.О, 1, 2,...), (1.2. 15) 2 2 =ч =э 2 ~~ '~~ ( — !) [з,,„(о) ~=о, и=! ч-О !8 ! (1.

2. 16) гаи= — Х ги'1 — (1 — 1А11-г! -)- '~~ таииРги и=о „,=А„!т-1- 1.„1!т '-и)) г-2иВ„.. Если из первого урагпения (1.2.15) определить Яи„и подставить в остальные уравнения, то получим систему двух уравнений с неизвестными !/ и Т, зависящую от параметра: а„т+ а!О!й — О; (1.'. . 2. 17) аигуч+ а,Ю == О, а,г — ~ 1 — 1)' '" )Ви„— С, ); и -1-1 и=г и=о У У, „РО„1о! ,~со»4 .~д~ и Г 1 и=! и=о и-! и-О а!О=и! ии+ — ~ ~~ А  — с; ии ии и-1 и-О В,„.=-А„„А21З + 1 — т)!В„„; С„„=-А„„15„+2)гВ„„; где ГдЕ 3.= — — а(2П !-1); !ОПОР 1 Иг= — Пой'! А,.—...

-Аии —. ОЛО 4 Еиои 1 1 = ~ Р»«ХггХ при ) РО„О1Х=-1. О О В системе уравнеш!й (1,2.15) выполнена следующая замена переменных: т=-тЦ, Т вЂ” П~, В., РΠ —,. но для упрощения обозначений символ « — » в (1.2.!5) и в дальнейшем тексте первой главы опущен. После указанных замен выражения для потенциала смещений жидкости и нормальных перемещений оболочки, будут иметь вид 19 Рассмотриы некоторые случаи.

Случай !. Симметричные колебания при одинаковых верхней и нижней полусферах. Собственные частоты Хл не зависят от жесткости подвески с и определяются по формуле Лл 2л (йл -ь 2) Зл+ ! — н л (Л,=1,23; Ла-=1,93; ),,—.-2,41ь..). ! 1. 2. 19) Собственная форма и-го тона колебаний определяется поли- номом Лежандра первого рода Коэффициенты ап уравнений (1.2.17) состоят из бесконечных рядов. Можно показать, чтоэтп ряды сходятся быстрее, чем и-'.!' Уравнение собственных частот системы (!.2.17) имеет вид (1. 2.

18) Случай !!. Асимметричные колебания относительно экваториальной плоскости. Полагая с= со, находим азт=со. Из уравнения (1.2.!8) получим ап — — 0 или — ) »т„(0)А„Лт(йл+! — ) — !5л+2) О (1 2 20) л+ ! 2л(рл+2) — Лт(ил сл ! — т) л=О !Л,=-!,16; 1„=-1,82; Ле=-2 24!" ) Аналогичное частотное уравне!ше имеет жестко закрепленная полусферическая оболочка с жидкостью (63). Случай !Н. Колебания упруго подвешенной полусферической оболочки с жидкостью. Табанил д ! В коэффициентах уравнений Частила, Гн (1.2.17) надо отбросить члены, относящиеся к верхней полусфере (и=2) и массу т уменьшить вдвое Результаты расчета по формуле (1.2,20) и эксперимента, опубликованного в работе (64), для полусферы из пла- М тана Еаслет аассеаимеит 180 272 350 2!б 305 370 20 стика с размерами а!=13,3 см, 6=0,7 мм, Г=-4 10' кгс!сыз (4 !О' Нттсы') приведены в табл.1.1.

Полусфера была полностью залита водой. Наблюдается вполне удовлетворительное совпадение собственных частот определенных экспериментально и теоретически. Полусферический бак с плавающей крышкой Рассмотрим задачу, близкую к рассмотренной выше. Имеем полусферическую оболочку, заполненную жидкостью с плавающей на свободной поверхности крышкой. К этой расчетной схеме можно также свести бак, состоящий из жесткой обечайки и полусферического днища (рис.

1.3). Рис. 1. 3. Изложенная задача аналогична задаче о колебаниях полусферической оболочки без крышки. При наличии плавающей крышки меняется лишь условие на свободной поверхности жидкости '1 О(о.=Роо' Ро=" о»гт» и 8 где ро — давление крышки на поверхность жидкости; р» — плотность материала крышки; Н, — толщина крышки. Решение ищем в виде ге=)'Х+ У а„РО„; л-О Ф=тгХ ' ~~„яро„г'" — — ~ ~ РОФ. ол л=о о о Не приводя вывода, запишем частотное уравнение для полусферического бака с плавающей крышкой й,Ч ~~ '!лРол(0) )Л(зл+ 1 — ») — Рл — 2 лД~ и + 1 2и(рл +2) — )о(рл сь ! — т) (а=в(() ) 2! Сопоставим результаты, полученные ~из расчетов по формуле (1.2.21) и эксперимента на модели цилиндрического бака со сфе.