Колесников К.С., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. - Динамика топливных систем ЖРД, страница 2

7) Явный вид выражения М(и, ы) будет раскрыт прн решении конкретных задач. Уравнения (1.!. 1) — (1. 1. 7) определяют математическую формулировку задачи о колебаниях оболочки, частично заполненной жидкостью. Следует отмерить, что система дифференциальных операторов ~а (1. 1. 1) должна удовлетворять условию самосопряженности 2 (Ф,Л,,ф,.— р;Е, Ф„Огайо'= — 11, ср=!" гдеА, Фч фи фч — собственные функции оператора Е;„.. ИнтегриРование в этом выражении проводится по всей замкнутой поверхности оболочки. Колебания жидкости должны удовлетворять уравнению Лапласа йкЧ--О, (1. 1. 4) Для приведения к системе осцилляторов используем условия ортогональности собственных форм колебаний, соответствующих собственным частотам ы и ыь, которые можно представить в следующей форме: ш ~ (ар,+и,и,.)~18+о!2~ (Ф„та,-,'-Ф,та„)с!5+ (!.

1. 81 — ~ 1Ф„та,.+Ф„и„)д5+ — (тн"-„+ та';) ~ Ф„Ф,Н5=-0 при и д'.-к. Если также не учитывать ~волнообразованне па поверхности жидкости, то уравнение (1. 1. 8) примет вид ~ (Ф,та,+Ф,та,)ИЗ=О при н ф к. (1. 1. 9) Указанное допущение правомерно в большичстве случаев, так как энергетический вклад поверхностных волн мал, Вынужденные колебания Приведем задачу о колебаниях упруго подвешенной оболочки, частично заполненной жидкостью, к задаче о колебаниях системы осц~илляторов. Задачу 11,1. 1) — (1.1.

7) будем решать, представляя неизвестные функции ш, и, Ф в виде рядов по полным системам собственных функций !а„,~, 1и„), 1Ф,): =~~ д,та„; а='~~д„и„; Ф=-~)'д„Ф,. !!. 1. 1О) Заметим, что каждая совокупность трех функций (га., ию Фл) ° однозначно связанных системой уравнений движения, характеризует форму колебаний, соответствующую собствениои частоте ы.. а где Ха — песмочснная поверююсть оболочки.

В приведенном выражении первый интеграл обусловлен собственными колебаниями оболочки, второй взаимодействием оболочки с жидкостью, третий — гравитационными волнами на поверхности жидкое~и. В связи с тем, что в рассматриваемой задаче инерция жидкости играет основную роль, в формуле 11.1. 8) можно пренебречь первым интегралом, учитывающим инерцию оболочки. Тогда получзьм более простое выражение Используя выражения (1.1.1) — (1.1.3), (1.1.5Е (1.1.10) и условия ортогональности (! !.8), нетрудно получить дифференциальные уравнения для обобщенных координат Ч„.ч- »кдк — — ' (к=1,'-,".), з а,.

()) А,, ()) где Ю,, а,Ж= ') (гЛ, ' Г.,и,.)гу5 — —" ~,оаФ,~у5; М з Ь (1)== т ~ (тв'+и') гУ5-1-о ~ Ф та с(5-~-о — ' ~ Ф'с(5 ар „ Ъ' К 3 Уравнение (1.1.11) характеризует колебания системы независимых гармонических осцилляторов, на которые действуют внешние силы. Рассмотрим частный случай, когда возбуждение системы осуществляется через колебания подвески и„, соединенной с оболочкой по некоторой параллели, характеризуемой радиусом-вектором га. Если перемещение подвески параллельно оси симметрии оболочки и изменяется по закону и„(г,) = и, е'"', то силы, действующие на оболочку при отсутствни давления на свободную поверхность жидкости, будут (1.

1. 12) ~~=И"' пас ~т=р~ — 0 где Ь вЂ” расстояние от свободной поверхности покоящейся жидкости до произвольной точки оболочки Л. Представим полное перемещение произвольной точки оболочки в виде суммы относительного и', ю' и переносного им, а м тв'=-тв ) там и=-и нм. Переносное перемещение юю и им можно выразить через перемещение подвесив (рис. 1.1), где зь з,— проекции сдиничного вектора, имеющего направление ии на направления перемещений ю и и в произвольной точке В оболочки. В рассматриваемом случае, когда перемещение и, параллельно оси х, з,=сов% зз=-:з(п 9.

Полное перемещение оболочки в радиальном и тангенциальном направлениях теперь представим в виде (1. 1. 13) та=-тв'+и,з,; и- и'+и„з,. С учетом соотношений (1.1.12) и (1.1.13) уравнения (1.1.1)— (1.1.5) преобразуем к виду Еггтв'+Ег и' — пг, Ржl — и РФ'=-пгсРи,зг+и зисй; Е,гя'+Ез.,и' — гп Ри'=пг Ра,з,п Рвс 1. 1. Полученные уравнения, используя ряды тв'='»'гу,'тсг„'; и'=-. » у'а,': Ф'=~~» гу'„Ф„', можно свести к уравнениям, аналогичным (1.1.!1) (!. 1. 14; К где а,=т ~ (агтас+з,и„)гу5+о ~ lгтвсгг5; 3(м а 2 Ь„=т ~ (тгг'+из)гУ5+О ~ Ф,та,.д5+ " ) Ф'аг5. К аг з г 3 Здесь и в дальнейшем ~ексте для упрощения обозначений мы будем опускать штрихи.

Обобщенные координаты гг, в уравнении (1.1.14) характеризуют относительное движение оболочки с жидкостью, вызываемое 1О колебанием подвески оболочки. Собственные формы колебаний ыв, ив определяют при условии жесткого крепления оболочки на подвеске и прп условии р,=О па свободной поверхности. Условия нормировки «) 1 О ~ ~е~с~5+о —" ( ф~гб5 ( ! о8 а,,з, 2 3 (1 1. 15) Разложим величины зь з, и Ь в ряды по собственным функциям 1и„, и„, Фа з,="5'С„.я„; э,=~С,.и„; Л='~~~С,Ф,.

(1.1.15) Подставляя эти ряды в уравнения (!.1.15) и учитывая условия ортогональности (1.1.8), находим С,= — ' (к=- 1,2,...); б„. а,'=т ~ (те,'+и,')с/5+0 ') Ф,та,а5+ — ' ! Ф',г75; К х~ зо 3 3 1 Ь,'.=-т ~ (та,"-.+и,')с(5+0 ~ Ф„.та,.г/5+ — ' ! Ф„'б(5— з» то 2 3 2 — — 'т ' С. ') Ф.-~Ф~.

лС, (1. 1. 17) На свободной поверхности жидкости 5 величина 6=0 и, следователыю, в соответствии с выражением для 6 из (1 1 16), ~~ С„Ф„.—.О. я 11 При выводе уравнений (1,1,14) нормировка собственных функ. ций не была определена. Наложим теперь условия нормировки, при которых эти уравнения будут уравнениями вынужденных колебавший осцилляторов, возбуждаемых движением точки подвеса. Будем иметь тк — т )г (зЛ„.+з,и,)г75+ 0 (' дта л5 т. о',<'ьк 2 Умножая последний ряд на о —" н интегрируя по 5, !найдем аС„ 2 о —" ~" с, ~ Ф,.Ф.(5=0.

И~к .Йю1 Таким образом, последний член в выражении для Ь,. уравнения (1,1.17). равен нулю, и поэтому С„=1. Ряды (1,1,1б) теперь примут вид з,=~та,:, з,=-'«'и;! Ь='» Ф,, (!.1,18) Уравнение (1.1.14) при условии (1.1Л5) представим в виде и„. (~у,+и~у,) = — т,.й„(к=1,2,3,...). (1. 1.

19) Найдем, чему равняется сумма приведенных масс осциллято- ров: ~ тя = т г! ~ з, '»' ти, + зз '«~ и) г(5+ о ( Ь '«' тес(5. К К К Далее, используя ряды (1.1.18), получим '«з т, = т '! (ь'-' з') г!5-(- о ( Ьз а!5 = гл ( з + ъ ) + О('= — и,+ т, К а.ба гл„= о ~ Ьта,.с~5=о ~ Ф,та„с!5+Π— ' ~ Ф-"~!5, К В ряде случаев более удобно использовать условие нормировки в другой форме, при выводе которого пренебрегаем, как и выше, инерцией оболочки и волнообразованием на поверхности жидкости. Запишем вторую формулу Грина в виде ~ ' "',: — " Ф~ 75=0. дл ' аа (1. 1.

20) где т,— масса оболочки; и — масса жидкости, заполняющей оболочку; У в объем, заполненный жидкостью. Таким образом, при выбранной нормировке (!.1 !5) сумма приведенных масс рабана массе оболочки и заполняющей ее жидкости. Выражение для приведенной массы в уравнении (1.1.19) можно упростить, если пренебречь, как делалось раньше, инерциеи оболочки по сравнению с инерцией жидкости.

Тогда на основании (1.1.15) Прин им ая Ф = й, получим ~ ( — Ь вЂ” ф — ) г(5=0. Используя граничное условие (1.1.6) и учитывая, что Л=О и — =з,=1 на 5, да дл находим ~ (йто — Фз,) г(5+ ~ Фг(5= 0. (1. 1. 21) При заданных допущениях принятое выше условие нормиров. ки (1.1.15) для к-го тона собственных колебаний имеет вид о ~амтв,.с(5=о ~ Ф„та,г(5, (1. 1.

22) Заменяя в этом условии левую часть с помощью выражения (1.1.21), получим условие нормировки в другой форме О ( Ф,зф5-- о~ Ф„та,гУ5, (1. 1. 23! Используя условия нормировки (1.1.22) и (!.!.23), получим приведенную массу в виде т,=д ~ Ф,зф5= о ~ Ф,та,а(5=о ) Ьта,г!5. (1.1. 24) х х Выбранное словие нормировки реализуется с помощью введения нормировочного множителя а„. Запишем Ф,=а.Ф., та =-а та, к к к н к (1. 1. 25) "да Фк, Ф вЂ” СОбетВЕННЫЕ фуНКцИИ И СООтастетауЮщнс ИМ ПОтЕНПиалы смешений после ноРмиРовки, а 9,ь Ԅ— опи же, но не ноРМираванные. Принимая, что на свободной поверхности жидкости 5рв=й, а следовательно, и ~ Фо5= — О, получим Г!одставляя выражения для Ф„и агя в условие нормировки (1.1.221, определнм ! ~миг~ (1.

1. 26) 1 Ф ы„.ггх 'г а из условия (1.1.23), получим ( Флаг'гк ! ~гь ~кМ (1. 1. 2?) По-видимому, нужно принимать то условие нормировки и тот интеграл из трех записанных для приведенной массы, которые удобнее использовать при решении конкретной задачи, Колебания системы осцилляторов После сведения задачи о колебаниях оболочки с жидкостью к задаче о колебаниях системы осцилляторов (1.1.19) определим силу реакции йг. действующую со стороны бака на узлы его подвески, Л'= — Ч ?г,г?, ((г, =- гп„аг), к где йя, и„, га„— эквивалентная жесткость, приведенная масса и собственная частота котебаний к-го осциллятора.

Из выражения для г)г,гг уравнения (1.1.19) находим ?уг=-'» т,,з»,'г?,.=- '«и Пг,.(и„+г?,~). (1. 1. 29) К к Определим с помощью интеграла Лагранжа — Коши (1.1.3) гидродинамическое давление, действующее на обслочку в точке А, (см, рис, 1.1) гг,= —.. — ОФ, -" О (и„гг+ чп г?,Ф„1. (1. 1. 30) Норхгировочные множители, полученные по формулам (1.1.26) и (1.1.2?), равны. Из формулы (1.1.24), используя (1.1.26), определим привсдсннукг массу ггг„---да, ( Ф„зггг5=да,. ~ /гта,,г?5. =-Оа,'.