Колесников К.С., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. - Динамика топливных систем ЖРД, страница 8

При р; -0 получаем переход к оболочке без газовой полости Следовательно, для оболочки с полостью частотное уравнение будет иметь дополнительный корень, который при «,=0 определяется из формулы (1.6.8), 2. Если давление в полости равно пулю (а=-0), получим час тотное уравнение в виде п (а„ + ! ,) + (2а ь !)(р„ + 2) О .;ОО У «О 2п (Зп —, 2) — )Л(Ол — 1 — т) п=О 3.

Уравнение (1.6.7) имеет также решение, если при ОΠ— и или «О вЂ” кО знаменатель равен нулю г.,'(Зл+1 — т) — 2и (",„-(-2) =0 или )2 2п(ел+2) 'л= ()л (1. 6. 9) 2 ~п 2 к Хл — ". 7 )пкОО. к О (1. 6.!О! Будем определять ).„2 методом последовательных приближений. В качестве первого приближения берем член ).„О, значение которого определяем из условия равенства нулю знаменателя, аналогично (1.6.9) 2л (Оп + 2) )'пО— Рл Для второго приближения возьмем ряд из двух членов 2 2 2 ) л= — ) пО+ Оп~ л! По формуле (1.6.9) можно определить безразмерные частоты колебаний сферической оболочки для тонов выше первого. Эта формула совпадает с формулой дтя частоты колебаний замкнутой полусферической оболочки с жесткой крышкой без полости.

Формы колебаний определяются полиномами Лежандра 2а-й сте. пени. :!. Если ОООО и 92<<1, то безразмерные частоты, начиная со второго тона, можно искать в виде разложения в ряд Тогда Я ( оо г ЕоЛом) Ео ('о -ЕоЛ'„,) (О„- л-- ),-(Ъ Ч !) <З,+2) (Л'„+Е ЛЗМ)(Р—.- л-- лл-2 !О,-О Л В последнем уравнении из суммы, входящей в (1.6.7), сохранен лишь один член с индексом а, так как остальные значительно меньше его. Из приведенного выше выражения находим (1. 6.

11) Для второго тона собственных колебаний (и=1) при п=О, го=0,7 получим Л,'и = 1,471,„, т. е. в данном случае второе приближение увеличивает частоту на 2! о(о. Если а=О, при изменении го от нуля до единицы Лгп меняется от нуля до максимального значения. Из выражения (1.6.11) можно установить, что при а ф 0 Л, Л„,(л,,=-аЛЕо), и частота системы возрастает. Но принятое разложение (1.6.10) в этом случае становится неприменимым, и значение частоты нужно искать пз общей формы (1.6.7).

5. Если в уравнении (1.6.7) оставить два первых члена, получим уравнение колебаний газовой полости, погруженной в безграничную жидкую среду. Частоту можно определить из уравне. ния 2 в с I е;лпо — или « =1,7! — ! и ='~ ео ' 71ео Л е ,) Сферический бак, целиком заполненный жидкостью с газовыми пузырями Рассмотрим осеоимметричные колебания сферической безмоментной оболочки, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью и упруго подвешенной в экваториальной плоскости. Жид,кость, заполняющая оболочку, имеет несколько сферических пузырей, центры которых совпадают с осью симметрии системы (Рис, 1.20). Влияние сил инерции оболочки и гравитации учитывать не будем. м зд Задача аналогична сформулированной в $ 2 и характеризуется уравнениями Е„Фии-О вне зи(и=1, 2); (1.

6. 12) (д+2) тир= (й Г 1 ч)Ри' Ей д~ри Ъ 1 — "=те„на > дл (1. 6, 13, — с(.Р;=- Л',-'- Лг, прн 9 = — л/2; (!. 6. 14', и,= М=-сопз! при 9=-0 н 6=л, где с — жесткость узлов крепления оболочки; й!ь йРз — силы, передающиеся от полусферических оболочек на узлы крепления. Индекс и обозначает величины, относящиеся к н~ижней (и=1) или к верхней (и=2) полусфере. В экваториальной плоскости вводятся дополнительные условия сопряжения Ф,=Ф, на О; дар дер (1. 6. 16) — = — на В,) дл дл Добавляется также граничное условие на поверхностях газовых пузырей ьиРрри иа зи.

(1. 6. 16) гч" и !' и Рис, ! ец В дальнейшем для упрощения принимаем, что верхняя и нижняя полусферы содержат по одному пузырю. Выражения (1.6.!2), (!.6.13) и (!.6.16) должны быть записаны отдельно для верхней п нижней полусфер. Потенциал смещений Ф„для каждой полусферы представляется в виде ряда, состоящего из гармонических функций. Для описания движения пузыря и колеблющейся жидкости в выражение для потенциала смещений вводится функция типа потенциала монополь. Нормальные перемещения ш„для каждой полусфери- 54 с'л Ол л-О л=О Ф„= — А ", +~ т-',-и) гХ+ '~" З.лР,„г'л; о л.

О ~ ( !. Б. 17) Ол т1 г; о'=г — ги, Х=созв, — = ', ' Р„„, ' а* 2~ '"" л О г — расстояние от центра сферической оболочки до центра пузыря; Р,и — полипомы Лежандра первого рода; 1О1Ри Ти, Сил~ Аи, Жил КОЭффИЦИЕНТЫ, ЗИВИСЯЩИЕ От ВРЕМЕИИ. е Не останавливаясь на выводе, приведем окончательный реьтат для случая гармонических колебаний в виде бесконечной темы алгебраических уравнений (1.6.!8), зависящих от парара собственной частоты (рл+2) — >,,'(1(Зл+1 — 4 Бил — г'.и 1(2п+ !) (Ох+2)+ +Х„'((З„+ ! — тЯ Ал — Н„„л', !Зл+ 1 — т)(Т+СУ)+ +Н„„(З„+2)Т=О (п=О, 1, 2,..., и=-1, 2); ! СО ~з~1 — 11 (л л, 10) ' ) ' ил . (1 ' — 1))=О; л О =О г Ю ~Тл-иь — 2~(2 О„.л 55А )~,ли ) — У=О, и-1 л-О л=О .ф-' 1'.=-2л(йд+1); ~,;=~О ЕДО '-изи 1 1 И,.=-и,.--( мохах ()л~лХ=~); О ,О т =..

— яву<О; а„-.= Зус -; у= — — . Еизи Ри 55 "ческой оболочки ищутся в виде разложения по четным полино- .. мам Лежандра: В системе уравнений (!.Г>.18) под величинами А„, г„, р„следует понимать нх первоначальные значения, отнесенные к Й, для Т и (7 — умноженные па Тт, а для 5„„— умноженное на Р'". Следует отметить, что бесконечную систему уравнении (!.6.18) нетрудно снести к системе из четырех уравнений с неизвестными Аь А,, Т, (7, если из первого уравнения определить 5„, и подставить в остальные уравнения. Ограничиваясь некоторым числом ура>внений и укорачивая входящие в систему (!.6.18) ряды, можно одним нз известных методов (71) определить спектр собственных частот и коэффициенты, входящие в выражения собственных форм нормальных пе.

ремещений, а также соответствующие им потенциалы смещений, гпдродипамическое давление и динамическую реакцию в заделке. Прп вынужденных колебаниях рассматриваемой системы с возбуждением от поступательных гармонических перемещений Г7==(7»сова>( можно получить амплитудные и фазовые частотные характеристики системы. На частотах, близких к собственным, целесообразно ввести демпфирование в систему, заменяя жесткость оболочки Еб, жесткость ее крепления с и коэффициент упругости пузыря и комплексными величинами Е„ь „=-(! —; (т(1Е„Г>,: с:> =(1 — , '(т(,.>, с; а„=(1+ г>)„) а„ где >), Ч„>(, — соответствующие коэффициенты демпфиро>вания. Расчеты показывают, что при увеличении у пузыря коэффициента демпфирования, который можно увеличить установкой специального перфорированного экрана, амплитуда резонансных колебаний вблизи собственной частоты пузыря значительно снижается.

Из общей системы уравнений (1.6.18) можно получить ряд частных систем. 1. Уравнения, описывающие колебания упруго подвешенной полусферической оболочки с жидкостью, имеющей пузырь, получим, если отбросить уравнения, относя>циеся к верхней полусфере, и члены с коэффициентами 5>„, А.. При этом второе уравнение будет соответствовать граничному условию на свободной поверхности ~ Фг75=-0. 2.

При отсутствии пузырей (р„— М)) отпадает третье уравнение и все члены с коэффициентом А„в других уравнениях. Бак„частично заполненный жидкостью с газовым пузырем Задачу о собственных колебаниях произвольной оболочки, частично заполненной жидкостью с газовым пузырем, будем решать методом, аналогичным примененному в ~ 4 для системы с возбуждением от пульсирующего источника (стока). 56 Представляя потенциал смещений в виде двух слагаемых (1. 6. 19) Ф.=..

Фч ' Ф„ где Фо — решение уравнения Лапласа; ггч — решение уравнения Пуассона, Запишем дифференциальные уравнения и граничные условия задачи в виде йкФ,=-О; дгФ,.=-А' (г — г,); ~11то) — о~с(Фв ' 1 ~) (1.6. 2О) %1 дж~ — =--ж' на ъ; — ==О на дл дл Ф„= — Ф, =-- О на 5; А4,. (и)+Лг„.(тв) — О прн х=-с, (к-=1, 2. 3, 4); (1. 6. 21) д,)' =-А при г= —.г,; (1. 6. 22) (1. 6. 23) а,)' =-- - ир'д7л дф — б'3.=..

А. . дл (1. 6. 24) 1 гг== — . ля г К уравнениям (1.6.20), (1.6.21] в задаче о вынужденных коле. баниях от пульсирующего источника здесь добавилось уравне. ние (1.6.22), которое показывает, что коэффициент А определяется упругостью газовой полости. Условие (1.6.24) удовлетворяется автоматически, оно вытекает из уравнения йкФ=Аь(г — г ), если использовать формулу Грина ( дФ йгФгЛ'= '1 — ~й= А. З дл Из выражений (1.6.22) и (1.6.23) находим при я=гч И "Во — А. (1. 6.

25) Определив колебания давления жидкости в точке а=ге с по' мощью интеграла Лагранжа — Коши аР= б (Фо(го)+ Ф1('О), ° 57 Коэффициент й, характеризующий упругость газового пузыря, .; можно определить с помощью формулы получим А =по [Фа (го) ~ фт(го)1* Оа = й12(). (1. 6. 26) где Ищем решение задачи (!.6.20) — (1.6,22) в виде и а)ао = ~„' Е„(Г) /„(г), те=- ~~~~ Е„(~) п2„(г), п О и О ! (1. 6. 27) 1 о,) ~~ Ф (~О) Опт л,т а ФО(га)= Оо [11ОО(го) Г фо(га)! '~ " .

(1. 6. 28) 'а 1 Ф, (па) )'пт л,т-а Рассмотрим частную задачу, предполагая, что стенки бака жесткие. Тогда Фа=О и выражение (1.6.28) будет иметь вид (па) Фо (го) = Оофт (го) ~'п~л п,т О Полагая колебания гармоническими с частотой 11, запишем это выражение в виде 2 1 с)2 чьз (" ( а) О аа тпт п,т .О Отсюда определим собственную частоту колебаний для бака с жесткими стенками, заполненного жидкостью с пузырем (1. 6. 29) 2 ('пт ( О) и л„ п,т 0 58 где Ое„у„— собственные формы колебаний и соответствующие им потенциалы смешений для оболочки с жидкостью без пузыря; ) пт, ОРΠ— СОбетВЕННЫЕ ЧаСтОтЫ И ФОРМЫ В УРаВНЕНИИ ГЕЛЬМ- гольца для полости с жидкостью. Подставляя Л=.'!(() из (1.6.26) в выражение (1.6.27), находим в точке с радиусом-вектором р, Ф1 (го)+ Фо (го)=- — Фо(го) (1- 6 30) )О ! М (го) а )лт л,т-о Из (!.6.29) и (!.6.30) следует Ф,(г )-,'- л.о<Ь, (г ! — — -.