Колесников К.С., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. - Динамика топливных систем ЖРД, страница 7

5. 4) Приведенную массу определим по формуле лтз=- с,(Я'.. Таким образом, система упруго подвешенных осцилляторов сведена к системе независимых осцилляторов (1,5.4), но с други- (1. 5. 5) хяр., а ОХ 10 (Х,!.„й, Рис 1. 19. ми параметрами. Последнюю удобно использовать для решения динамических задач. Кроме того, в (!.5.4) приведены выражения ", для определения гпдродинамического давления жидкости н заданной точке на поверхности бака н динамической реакции.

На рис. 1.19 показано влияние жесткости крепления бака на астоты собственных колебаний упругого бака с жидкостью. Здесь Хт> — безразмерная собственная частота колебаний 1-го тона упруго закрепленного бака с жидкостью; Х, — то жс, но жестко закрепленного бака; Хо характеризует жесткость крепления бака , Е»з о — '"о дь где >во — определяется по формуле (1.5.1). Из графика видно, что упругая подвеска существенно влияет на собствсину>о частоту первого тона колебаний лишь при ~'в'..2йь Частота первого тона определяется из системы уравнений (1.5.2). С большой точностью собственную частоту первого тона Хт, упруго подвешенного бака можно также определить, пренебрегая осцилляторами с !>1 .Г Ф', св -'- с, "з+ >> Возможность нахождения )., по формуле (1.56) обусловлена тем, что при ЫХо)2 т,)0,095т, т.

е. основная масса входит в приведенную массу' первого осциллятора. Влияние наддува Рассмотрим влияние наддува на динамические характеристики топливных баков. В работах (12, 15, 41] выводятся уравнения тонких оболочек, находящихся под действием равномерно распределенного по поверхности давления. Согласно работе [12) уравнение для сферической оболочки с учетом давления запишем в виде И (Ь+2) =- У' О+1 —:) 1 7 — — (А+2) ), (1.

5. 7) ез дз т = дй>12; д — давление, равномерно распределенное по поверхности оболочкй Т вЂ” нормальная сила. 1!рп Т =0 уравнение (1.5.7) переходит в обычное уравнение безмоментной теории, Уравнение ( !.5.7) в отличие от обычных уравнений безмоментной теории содержит производные четвертого порядка по пространственным координатам. В связи с этим на границе следует налагать условия на ы (в полном соответствии с теорией мембраны) помимо обычных для безмоментной теории условий для и. При 77 — оь из ('1.5.7) получим стандартное уравнение поперсчнь>х колебаний мембраны Тдто = — 7 ( 7 =- оа'т»). (1. 5. 8) Рассмотрим далее влияние наддува на собственные частоты в некоторых частных случаях колебаний сферической оболочки. Представим уравнение (1.5.7) в виде 1+ — (1 !Ед--ч)~ (а+2) те= — (а+1 — ч)д. (1.

5. 9) Ей ' ~ Елп Из сравнения уравнений (1.5,9) и (1.2.2) можно сделать вывод, что в случае наддува частотное уравнение можно получить нз (1.2.2) умножением члена (Л+2) на величину !+ — (Ьт! — ч)] . т йЕ Из выражения (1.5.9) получим частотные уравнения для следующих случаев: а) оболочка заполнена жидкостью наполовину т (Рл — — ч) — Рл+ )~1+ ~ (йп+1 — ч)~ и+1 Г Т 3(. л-В )"-(Рп-,' 1 — ч) — 2л(йл+2) ~1+ — (Рп+1 — ч)~ Еп (1.

5. 10) б) сухая оболочка Т (1. — 2) ~1+ — (р. + 1 — ч) ~ ЕЬ ',1. 5. 11) лл — 1 — ч п в) оболочка полностью заполнена жидкостью Т 2л (пп —. 2) ~1 -1- — (Рп ' 1 — ч)~ лп —— 11. 5. 12) лп+ 1 В табл. 1.3 приведены собственные частоты колебаний в Гц, ; полученные в результате расчетов по формулам (1.5.10)— "-.(1.5.12) для сухого и заполненного водой сферического бака, па:; раметры которого )(=13 см, 5=-0,7 мм, Е= 1,2 104 кгс(см' '" пх4,2 ° ! 0а Н ус и') 1п'Ч 'пл ( В таблице Л==( ) 100пп (ые — частота колебаний ба- '"о без наддува; гпр — -частота колебаний при наддуве бака д= 0,8 авн), Из приведенных в таблице результатов следует, что влияние ддува растет с номером собственной частоты.

Небольшой нада мало влияет на собственные частоты и формы низших тонов лебаний. Поэтому влиянием наддува на динамические характестики первых трех тонов в данном случае можно пренебречь. Таблица !.д частбта к»~абаний, ги катон бака, атн Ф ттч и нар т на и,т 1!.5.101 2'19 330 388 213 344 4ГВ (1.5.111 -1 5 -2 -4 -б 1990 2210 2250 2275 2020 2255 2337 2410 224 3тЗ 411 511 226 359 428 543 1 2 й 6.

ВЛИЯНИЕ ГАЗОВОИ ПОЛОСТИ НА КОЛЕБАНИЯ БАКОВ С ЖИДКОСТЬЮ В некоторых случаях в топливе, заполняющем баки, могут находиться газовые полости. Например, газовые пузыри в жидкости, образующиеся в условиях невесомости. Для демпфирования колебаний жидкости в баках в топливо целесообразно вводить газовую полость, заключенную в эластичную пленку. Рассмотрим влияние газовой полости, находя1цейся в жидкости, па динамические характеристики сферического п цилиндрического баков. Сферический бак, наполовину заполненный жидкостью с газовым пузырем Движение пузыря газа и колеблкнпейся жидкости, частично заполняющей упругую оболочку, можно описать при помощи потенциала точечного источника 1611.

В первом приближении зто функция типа А/о, 1б1онополь1 с центром в центре пузыря. Если исооходимо учесть колебания пузыря газа, не обладающие сферической сн11ыетрией, то, кроме А,'90 следует ввести потенциалы днпольного, квадрупольного и других типов. Огранп1011ся случаем сферически симметричных колебаний пУзыРЯ газа, описываемых потенциалом А190 ПРедполагаем, что оболочка безмоментная и закреплена в диаметральной плоскости от тангенциальных перемещений.

Схема для рассматриваемого случая приведена ца рнс. 1.151 сферический обьем, ограниченный поверхностью з, заполнен газом. Задача сводится к решению уравнения Лапласа и уравнения колебаний сферической оболочки Ь„Ф=О вне з; !а+2) та=- — ' !йли 1 — т! р. ~ ад~и :,1.б. !! рраннчные условия на смачиваемой поверхности оболочки Х, свободной поверхности жидкости 5, поверхности пузыря а и для оболочки в полюсе и заделке представим в виде дФ 'В1 Р,К вЂ” ==та на '~'; — '= — й р„т при й о„; (1.6.

2) ди ФгЬ=.О на 5; и= — О прп а=и,'2; тв - М --соиз! при 0 —....О. !!. б. 3) Здесь А — коэффициент, характеризующий упругость газовой полости; Р -- равновесный объем газовой полости; 6,Р— изменение объема газовой полости; р,р — среднее давление на поверхности газовой полости. Сформулированная задача о собственных колебаниях бака близка к задаче о полусферической оболочке с источником Я 4). Отличие заключается лишь в граничном условии при о= — ои смысл которого в том, что изменение объема газовой полости пропорционально среднему давлению, приложенному к его поверхности. Фактически это приводит к перенесению условия с поверхности В центр газовой полости, что возможно при ро«Р н ге<Я (гз— расстояние от центра сферической оболочки до центра газовой Полости). Однако погрешность от такого переносе при г~=Р становится существенной, так как условие на поверхности пузыря фактически переносится на поверхности оболочки, что возможно лишь при о,=О.

Указанный предельный случай в работе не рассматривается. Из условия при й= — и, (1.6.2) и соотношений р,,р —— — — ~ ри'5; В,~' ! Феи'з получим ~ Ф„гУз= ~ ФгУз, где Рз иеь вм'-' р !'1. б. 4) р2 — плотность газа, заполняющего пузырь; с — -скорость звука в полости пузыря; р2 — давление в пузыре; рл — атмосферное давление; з, 1' — поверхность и объем газовой полости в равновесном ппложении.

Потенциал смещений и нормальные перемещения задаются в той же форме, что и задача ~ 4 о полусферической оболочке с источником. Используя, как в 5 4, разложенме вектора потенциала смещений на составляющие, нетрудно получить из (1.6А) ' (1 "'"') (Ю З„г2.4 тг, гз, л О (1. 6, 5'! а=Зпс = 2 ЧОД ЕО где В результате получим систему двух уравнений: 2л А ) — 2, !г ! А — !1 — 2' ь /к'!2л~ь! ! )- .~~~ л+! Л=! т ( )(и.+ ) .( )! +т ~Ь' .4 ч[(ил+2)(л — 1) — 12!1+ )|=-о; „~~Л-, 1 Л! А ~ — (1 — —" ) + ~~~ гО' Ь (>2 (3,+1 — т)+(222+1) 1",л+ 2)) + (еО! лзе21 с 4 =О 2Э, тА,.ГЛ!!!.2-2>!Л вЂ” !! —.*!!г т>!)=-О.

л О и !Р! = Р'. (2и Р + 2) — Л2 (Г3 + 1 — ъ))- ! Здесь В этих уравнениях, а также в дальнейшем, чтобы избежать новых обозначений, под величинами А, гО, оО следует понимать дх первоначальное значение, отнесенное к Р, т. с.

АЯ, гО/Р, И22,'.22, а для Т вЂ” умноженное на Р. Легко показать, что ряды, входящие в уравнение (1.6.6), прп 0<гО<! сходятся быстрее, чем и 2!2. Из уравнений (1.6.6) можно найти частотный спектр системы и коэффициенты разложен!ия собственных форм колебаний по полиномам Лежандра. Отметим, что уравнения (1.66) применимы в диапазоне частот, удовлетворяющих двум условиям: 1) условию малости пузыря а(!О/в ~гг' 1; 2) условию, при котором жидкость допустимо считать несжимаемой ' Юге (( 1' 3десь с, с, — скорость звука в газовой полости н в жидкости со- ответственно, Уравнения (1.6.6) характеризуют колебания закрепленной от тангенциальных перемещений полусферической оболочки, заполненной жидкостью с газовой полостью.

Следует отметить, что частота первого тона колебаний, найденная из уравнения (1.6.6), при м>О остается постоянной при изменении гО от -0 до -0,9 (63]. Рассмотрим ряд частных случаев. При отсутствии газовой полости (о,— О) получим уравнение (м(олебаиий заполненной жидкостью полусферической оболочки, ',4)акрепленной в диаметральной плоскости от тангенциальных пе- ', емещений ле Х ' А„(З„+ 2) (ЛО !); + ео.,л (О) =О, а+1 2л()л-Г2) ЛО(Р л 1,) Ол л-О . При отсутствии перемещения свободной поверхности жидкости — — =О ',а=л/2) 1 дФ г дз учим ч е'1 а Л %'ле елЛ (р~ч ! — т)+(2л+!)(!!л ! 2! О 1 6 7 — — О)+ '~ го ( ) Лтае ) ДО( 2Л(йл+2) ЛО(йл+ 1 т) л=О Отсюд.а л= ' ( —;~,' е.) (1.

6. 8) 51 Это уравнение колебаний закрепленной полусферической ,'~оболочки с жесткой крышкой. Полость, ограниченная оболочкой .'ф крышкой, заполнена жидкостью, имеющей пузырь. Проанализируем более подробно последнее уравнение ж,'; 1. При гО=О и ХО(р,+1 — О) Ф2п((),+2) в уравнении из суммы ~'.~рается лишь первый член ф., е )г'л —,— 2, О. а ЛО(1 — т'1+ 2 ЛОО~ ЛО(! т) Из (1.6.8) имеем ),— со при афО, оп — 0; 9 0 при а= — О, оп О.