Колесников К.С., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. - Динамика топливных систем ЖРД (1049223), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Уравнения (2.2.1) решим методом Фурье. Функции о(х, 1) и р(х, 1) представим в виде !х, 1; =-т>(х: е'"'; р ',х, 1>. —. р(х', е'"', где ь> — частота колебаний. 11олагая, кроме того, о(х) = Се"", р (х) †-- Ве"', получим из (2.2.1) уравнения форм колебаний скорости о(х) и давления р(х) в виде р ! х).= ос, (Сз е" — С,е" '), (2 '-' 2) — сс >га = — "= с„(! + М) где С, и С, †произвольн постоянные могут быть определены >з граничных условий. На основании (2.2.2) скорость и давление на конпах трубы можно вычислить по формулам о(0):.—..С, -!-С,; т!1)==С,е"'-;-Ссесп! р!01= — ог„,Са — С,); р!1! — гс,(Ссе»И-- С,е"'). Из этих формул получим соотношения х>ежду параметрами пото- ка о(1), р(1) в начале трубы (х=1) и параметрами потока о(0), р(0) в копие трубы (х — --0) в(0)=е (1) — (е ' +е ' )+р (1) — (е ' — е ' ); 1 -сл > †»и ! -м! -и! 2ссс (2.
2. 3) (О) (1) с- с 1е--»,! е — к, )+ 1) 1 (е — м! ! — »л) 2 2 Соотношения типа (2.2.3) по аналогии с электрическими схе мами обычно называют уравнениями четырсхполюсиика. Если 70 ления рассматривают обратную величину — комплекснук> прово- димость. Тогда будем иметь з ! О ! —.— и (У ! с (! ! /г) - - — р, 1 ! ай Уг; ! осэ и!О!=-дс,т ,'Пей 7г+р!!!с)!/г, (2. 2. 4) где Определим,вынужденные колебания давления на выходе из трубы, вызванные изменением давления перед входом в трубу. Будем считать, что на входе в трубу и на выходе пз трубы пмеются комплексные сопротивления г, и г, соответственно.
Тогда (2. 2. 5) (2. 2. 6) где ч' - — возмуц!ение давления перед входом в трубу; !з(() о((), р(0), о(О) — возмущения давления и скорости потока в начале и в кошге трубы; г" — комплексная проводимость на выходе из труоы. ;.'... Подставив выражения о(0) из (2.2.6) и о(() из (2.2.5) в уравнна (2.2А) и исключив и((), после несложных преобразований 7! ггзвестны любые два граничных условия, то из этих уравнений можно определить искомые параметры потока на концах трубы; в частности, задавшись гармоническим воздействием па поток на одном из копцов, можно определить гармонические колебания потока на друтом конце н получить выражение амплитудно-фазовой частотной характеристики. Вынужденные колебания жидкости в топливных магистралях могут возникнуть вследствие нескольких причин.
Такими причинами, например, могут быть: возмущение давления при входе зкндкости в трубу, возникающее вследствие колебаний дна бака; возмущение давления в камере двигателя; возмущение скорости иа выходе из трубопровода, вызванное перемещением насоса по отношению к потоку жидкости. Для определения вынужденных колебаний применим уравнения четырехполюсника (2,2.3). Влия!ием малых чисел М иа распределение скорости и давления по длине трубы при вынужден. ных колебаниях будем преиеорегать, однако влияние чисел М на границах трубы, где имеются гидравлические сопротивления, будем учитывать.
Полагая М вЂ” --О, полу шм получим следующее выражение комплексного передаточного 'числа: к[д(в р*)=- — "' Гь (! + ~!~о) сов з + ! (яь —,' хв) Мв з где з=ьь1/со — безразмерная частота колебаний. Это комплексное передаточное число выражает зависящее от безразмерной частоты з отношение вынужденных колебаний давления р(0) в конце трубы к амплитуде колебаний давления перед входом в трубу. Каждому значению частоты з соответствует комплексное передаточное число.
Совокупность комплексньж чисел К при иззье- ненпи частоты з в промежутке 0 =з(+ х 1!г на комплексной плоскости Л образует го- дограф вектора К вЂ” амплитудно-фазовую Г частотную характеристику, которая да- I ет полное представление о вынужденных п=зг г-ьь Ь и гармонических колебаниях давления на / выходе из трубы. Рассмотрим свойства амплитудно- фазовых характеристик в некоторых конг= тг кретных случаях. Пусть гч =О, гь = =2 =1ьосвМ.
Амплитудно-фазовая характе- ристика показана на рис. 2.1. С возрастаРвс 2. !. нием з вектор К вращается по направле- нию вращения стрелки часов. Максимальное значение его модуля, равное 1/1ь осоМ, соответствуют частотам з, которые равны частотам собственных колебаний потока жидкости в трубе с одним закрытым концом. С увеличением коэффициента 1ьМ максимальное значение модуля К уменыиается.
Минимальное значение модуля комплексного передаточного числа равно единице. Оно соответствует частотам з =О,л, 2п,...,. При в=О фазовое запаздывание равно нулю, при з=л оно, равно (гГ( =и. Когда зь зь (ьГ(=п/2, прп достижении следующеи собственной частоты вектор К повертывается на угол чь=п. Для изображения динамической блок-схемы представим уравнения четырехполюсника (2.2.4) в виде р,= — ос,оз!1ь й-ькрь— ! сь ьь (2. 2. 7) пь = о, с (ь й — — /ь, з(ь й, ! ало где рь=-1ь(1), эь=ть(1) — отклонения давления и скорости на вхо- де в трубу; ,ььз=р(0), зз=~(0) — отклонения давлеьшя и скорости иа вы.
ходе из трубы. 72 Уравнения (2.2.7) запишем через комплексные передаточные числа Рс= гг [Рс Рг] Рг, гх [Рг ос] о2' ,=-К [ „Рс] Рс- -К [ „,] ... [ (2. 2. 8) где А [Р., Рг] —— 1 Рг Рг С05 сг— яр,р сс К [угг Ог] - --1ОСс 1Я гс —; 1 К р К рг,гг кгсг,гь) 1 К [ог, Р ] — 1 — з(п асс сг Рис. 2.
2. 1 К [о„эс] =- соз « — . си Динамическая блок-схема четырехполюсннка, выражающая аависимость между параметрами потока на входе в трубу и на выходе из нее, имеет внд, показанный на рнс. 2.2, Рассмотрим теперь движение жидкости в криволинейной Ггггрубе. 5 3. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ПОТОКА СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРУБАХ В Прн движен|ни жидкости по криволинейной трубе явления ;г(становятся сложнее, так как возникающие в жидкости инерцнонаиые силы не имеют осевой симметрии и, нагружая трубу, приво'Эят к изгибным и крутильным колебаниям.
Колебана1я трубы В свою очередь возмущают движение жидкости, Рис. 2 3. Рассмотрим криволинейную трубу, поперечное сечение котоой имеет произвольную форму (рнс, 2. 3). Плошадь сечения Р(з) ляется функцией переменной з (з — расстояаие между началом счета и произвольным, поперечным сечением, отсчитываемым оль линии центров тяжести сечения трубы). 73 Когда радиус трубы г мал по сравнению с радиусом Р кривизны линии центров тяжести трубы (Р/г>б), допустимо принять гипотезу плоских сечений, которую будем:использовать при дальнейших выводах.
Положение нейтральной линии определяем из условия, что в поперечном сечении сумма нормальных напряжений равна нулю ~ ~,НР=..О, (2. 3. 1 г=-г(з). (2. 3. 2 Как:известно (б8), соотношения между производными от вектор- ной функции г'(з) определяются формулами (2, 3. 3' где т — вектор касательной к кривой г(з); и — вектор нормали; 6 — вектор бпнормали; И вЂ” радиус кривизны; Рз — радиус второй кривизны. Введем подвижную систему координат, связанную с осью трубы (стержня).
В каждой точке кривой ось Е направлена по касательной (т), П вЂ” по нормали (~г), ",— по бииормали (а), а начало координат находится в центре тяжести сечения — точке С (рис. 2.3). Выбор начала координат отличается от принятого в сопротивлении материалов положения его на нейтральной линии. Начало координат, совмещенное с линией центров тяжести, облегчает вычисление массовых сил и моментов и рассмотрение кручения. Кроме того, упрощаются уравнения, описывающие движение жидкости в трубопроводе, которые являются основными при решении нашей задачи. Несколько усложняются лишь уравнения, описывающие деформацию трубы.
где а, - — нормальное напряжение; тт=Г(з) — площадь поперечного сечения трубы. Криволинейная ось трубы, проходящая через центры тяжести ~ сечений, может быть представлена некторным уравнением откуда Рчс. 2. 4 11е — <1 ~~ . Р~ — е„ Из последней формулы получаем выражение, определяющее положение нейтральной липни )" е,глдР --еч) Ь--- ) лг~(д~ еч1 г В дальнейшем тексте пз будем обозначать т).
(2. 3. б) Условия равновесия участка криволинейной трубы (стержня) Согласно работе [34] запишем условия равновесия участка стержня в векторной форме (рис. 2.51 — '+РХ т+и =О; ла (2. 3. 7) дР— тЧ=" д5 На основании гипотезы плоских сечений запишем выражение для радиуса-вектора гп (рпс. 2.4) произвольной точки А, отсчитываемого от центра тяжести сечения Д,==-΄— ,' (2. 3. 4) где оа — радиус-вектор, отсчитываемый от точки О, лежащей на нейтральной линии 1 — !; Л вЂ” радиус-вектор, проведенный от точки С до нейтральной линии перпендикулярно этой лпшш.
Если в результате изгиба угол между двумя поперечными сечениями изменяется па г)гр, то относительное удлинение волокна, находящегося па расстоянии оа от нейтральной линии, равно - (о,)= — " ', 12. 3. 5) аа бм) где гУз(о„) =(й, — й,)гУзЯ,; 'Я~ — радиус кривизны оси трубы сечения; л й„ вЂ” проекция вектора о, на вектор з) Используя выражение (2.3.5) и закон Гука, запишем условие равновесия, ' — е (2.3,1) в виде Р ,Ы = Х1- ' '" о =О, "(Л! — о )аа р ~г где ЛХ, Р— главный момент и главный вектор упругих сил в данном сечении з; В", д" — внешние распределенные моменты и силы; Ь" — эксцентриситет линии действия внешних сил отно- сительно центра тяжести сечения; т , о — массовые распределенные моменты и силы.
Рис 2. з Моменты берутся относительно центра тяжести поперечного сечения. Влияние жидкости, заполняющей трубу, учитывается через внешние силы д". При проектировании уравнения (2.3.7) на оси координат ",, и. ~ нужно иметь в виду, что производная дА/дз для произвольного вектора А в соответствии с выражениями (2.3.3) имеет вид — = — (А т+А„и+А Ь)=( — ' — — "1т+ дА д — — — 1 дл, Аи~— ди дз " дз Й1 (дА„ А Аь 1 гдАа Аи ~ (, ди ф1 йс1 ~ дз А.'с ) Откуда получим проекции дА(дз на оси с, гь ~ (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
