Колесников К.С., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. - Динамика топливных систем ЖРД (1049223), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Изложенные соображения позволяют вместо трехмерной задачи рассмотреть одномерную для средней относительной скорости рср. сПч А=чА=( — т+ — и+ — й) А; 1 до дч дс Π— плотность жидкости; /2 — гидродинамическое давление; / — вектор ускорения; со — зффективная скорость распространения звука в жидкости; йо — ПЕРЕМЕ2ЦЕНИЕ ЦЕНтРа тЯжЕСтИ тРУбЫ. Скорость жидкости о можно выразить через ее проекцию пл недеформированную ось $ =- 2(т — тХ~) В соответствии с (2.3.12) имеем до до ) до /о до2 Рассмотрим второй член уравнения Эйлера (О~Ч) то (то)~ -1-(то)о +(О~1~ до Два последних слагаемых в приведенном выражении равпоя нулю, так как мы рассматриваем одномерную задачу. Вслед.
стане этого д"о (Ооч) Оо=(оо) до (2. 3, 25 Аналогично получим где до д /2,~ +д + 61ч(йоо)=М.— "+а ~ — "'~ . (2. 3. 26,' С учетом выражений (2.3,24) — (2.3.26) уравнения (2.3.23) прим)г вид 2 — д / ди, 1 и т ~2 ) )== 7/2 —,./~ Р до до2 с".проектируем векторное уравнение Эйлера (первое из 2.3.27) на оси координат. Проекция на ось $ ( д „ . ~ , ди, ио йо,+о-+" 1 — ' — и '(д по — — — Х , -( (дио «ио» ио ь ) 1 др Х) — + — + — )- — — +.(б '! д Р, Ро! Е дЕ на ось т! (дио«ио, иоь! ( диь« ио» иоь) Ло ~1( + З )+~1 ( + !'+ дь Р! ' Ро ) ~, дь ' Р! Р ! дио(дио „ ио ио ь '! о ~ д (дио« ио» иоь~ и ( „и ! ! ( и Р, ' дь(! дь Р!»Чо) (дь(,дь Р! %о) 1 ~диоь ио«'! 1 др 1 у« /~о дь Рто ! Е дг ь' ~' на ось г.
(диоь ио«1 ( диоь ио« ( дь Ро до Ро 1 ( дио„ ио» ио ь )1 ! др Р ~ дь г, Р ! ~ Е йг 1 Обозначив левые части второго и третьего уравнений (2.3.28) .о .о через („ /ь, получим ! др ..о 1 др ..о — — — -=У,— У«! — — = (ь — /ь дЧ Е дГ Поскольку рассматривается одномерное движение жидкости, то достаточно лишь первого уравнения системы, второе и третье учитываются при определении распределенных сил, действуюших со стороны жидкости на трубу.
Так как векторы ьо и ! не зависят от координат ть 1., то для гидродннамического давлеш!я жидкости получим интеграл Р.=а((,— У.)Ч+О1.(ь — Ь)~+Р(!, 1), (2 3 29) где р(о, 1) — давление, определяемое из первого уравнения (2.3.28) . РаспРеДеленные силы до, 1(ьо, котоРыми жиДкость нагРУжает трубу, выражаются контурными !интегралами ,('р,(д(А), Чь= — ~ р«(пМЕ.)» (2. 3. 30) где 1.— линия контура поперечного сечения, выражена зависимостью)(,",, !!) =0 (рис. 26), )!меем (ЬЛ)= — — г/Л ° гбп 7; (пЛ~=.й1 .соз е; ! соз е=; а(п у.= р ! т (с'!' ) ! ' (с' В Так как )" г(!!= ~!!!(!!=О, из выражения (2.330) получим ()~=-б(~',- - Я) ~:".,„„,.й ! =- о~,(7', — 9.
(2. З, З!) Аналогично найдем д'„= цг, (,„— 7,',)+ — '"" . (2. з. з2) 1 При колебаниях жидкости в расходных магистралях выполняются соотношения о! «с,; и„«сд. Это позволяет упростить уравнение непрерывности жидкости из (2.3.27) и первое уравнение и' (2.3.28), пренебрегая в них членами порядка а.,(са и ио(сз сравнительно с единицей. В результате получим вы- ражения Ряс. 2. 6 ! дд ио +в!= — — гА; В дх (2. 3. ЗЗ) д (~!+ "о-.) и„. да Аналогично упростим выражени~, входящие в формулы (2.3.31) и (2.3.32), " '! да !~! Л'2 / lь — Иьь+ !ю! ( — ' — — 'з 1 ° да (2.
3. 34) 86 Полученные уравнения при заданных граничных и начальных условиях позволяют определить характер движения жидкости (ускорение о,, скорссть йо давление р, расход Я=Р,о,) при заданном движении трубы йо. Полная система уравнений движения трубы с жидкостью, кроме уравнений (2.3.33), должна включать уравнения (2.3.9), (2.3.18) н входящие в них величины (2.3.21), (2,3.31), (2.3.32). Приведем полную систему уравнений движения трубы с жидкостью для плоской задачи ! др ио,+~, =-- — — --, '/; до оо Г Оо 1 где в т.
в т О, в т в в. 1(»=ч» ГГ», ГГ»=--ОГ» 1)» +г)» гпо= лго 6$» +Д»Ь» Ч, —.УР'и»1 ,1т у/. и Г» у» 1 до т ) Р1 К системе уравнений (2,3.35) необходимо добавить граничные условия для жидкости и трубы н начальные условия. Для идеальной жидкости перемещение трубы вдоль оси $ не оказывает влияния на скорость жидкости (трение жидкости о стенки трубы отсутствует) и в первых двух уравнениях (2.3.35) можно положить перемещения ио, равными нулю.
Тогда, используя соотношение р=- соо, получим уравнения 1 др . ОГ дов»о»~ Оо= — — — , 'Р-, Осо~ — =-О, до ' ~, до 111 / которые можно свести к одному 87 На основании изложенного система уравнений (2.3.35) примет вид (если принять из,=и,е ", и,„=и„ез, оз.= ве '" ) з ( дзи ги дил~ иРоц- С, ~ — — — — ')= — О; 'з дзз А', дз ) дз Л д' дз дзз Я~ дз ) зз1 Зз, 'Ь " 'Хдз зз1) Л,1 дз зз, „(дзи 1 дзи, З (д„ ЕАзззз~ ) Е~ )~ пп + (з дзз Р~ дзз ) дз зз'1 + — з — ~ззуГи„— ОР',у',— «РОГ и„-;— /дии, и,'), из +2йзо ) — -т- — ) т.— - з.=О ~дз Лз/ Получена система трех уравнений относительно неизвестных о, и., и„, зависящих от параметра ез. Для жидкости (первое урав. пение) граничные условия задаются на концах трубы, а для движения трубы — на концах и в местах ее крепления.
Сформуллрованную краевую задачу можно решить методом сведения к задаче Коши (22), которая интегрируется конечно разностным способом. При редуцировании граничные условия на одном краю задаются как начальные, а из полученных решений для второй группы граничных условий составляется определитель, зависящий от параметра зз, коэффициенты в котором определяются после интегрирования уравнений. При равенстве определителя нулю ы является собственным числом, а полученные решения — собственными векторами.
Целесообразно выполнить указанное рещение с помощью ЭЦВМ. Но в ряде случаев решать полную систему нет необходимости, что позволяет упростить задачу. й 4. ХАРАКТЕРНЫЕ СЛУЧАИ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРУБЕ Рассмотрим вначале некоторые случаи колебаний жидкости в упругой криволинейной трубе. а) Возбуждение колебаний жидкости прп колебаниях трубы. 88 Влияние колебаний трубы на движение жидкости отражено в уравнении непрерывности д — +о~ — (о,—,ио )-- — '" ~-=-О дг ьдз У~1 ~ $ $ Ч =- 9г'0 Н~ ~Г2~~ т — +— Скорость жидкости в~ в этом уравнении является параметром, периодическое изменение которого может при определенных условиях привести к резонансу, в) Возбуждение автоколебан~й трубы.
Даже при постоянном расходе возможно возбуждение нарастающих упругих колебаний трубы. Механизм этого процесса можно понять на простом примере изгибных колебаний прямой трубы. Уравнение колебаний получим в этом частном случае из системы ~2.3.35), полагая дт, У~,=-со; ив =.~„=ан== — =О. дз Окончательный вид уравнения будет Ф' где Р=2пйб — плошадь поперечного сечения трубы ай,„ Член 29Р,в, — оудем рассматривать как возмущение.
дз В вулевом приближении получим решение где 89 слагаемым 9 — '", которое будучи перенесенным в правую часть, 1 можно рассматривать как внешнюю силу. Если деформация трубы, являющаяся, например, следствием общих деформаций ракеты в полете, меняется с частотой, близкой к собственной частоте жидкости, то может возникнуть явление резонанса.
б) Параметрическое возбуждение трубы прн колебаниях расхода. Для плоской задачи влияние жидкости на движение трубы отражено в уравнении (2.3.35) распределенной силой д„, которая л при /,=-р=-О может быть представлена в виде Соотношение между константами С, находится из граничньп условий, а спектр собственных частот ыь определяется нз частотного уравнения. Используя метод теории возмущений, получим уравнение для определения добавки первого приближения и, аь, Еl„ьи~.
— ль,иь„= — 29Р,п, =-Ь 2гпв;,ич,, дз Из условия ортогональиости правой части последнего уравнения к и, яайдем добавку ои к собственной частоте ыь с)ив ~2вл, е ~ и — лз о мг = 2е ) (иь)-' ы Оценки величины центробежных и кориолисовых сил, нагружающих трубы На криволинейном участке с радиусом )т~ со стороны жидкости па трубу действует погонная центробежная сила ~1 На длине участка, соответствующего углу гр, сила равна е Е Р,.—. дГ, 1 — й, з1'и т,г)~.
, л1 в ! ~с ч Очи (2. 4. 1) При 90 Эта добавка отлична от нуля в случаях, когда собственная функция ио„(з) является асимметричной )например, в случае различных граничных условий на левом и правом концах трубы). До. бавка ьи является мнимой, н в зависимости от соотношений зпадвО ков и, и ) пч,. — гуз может приводить к нарастанию или к затуд5 о ханию колебаний. Простой анализ показывает, что колебания будут нарастать, если собственная форма и, такова, что вклад участков трубы, в которых сила Кориолиса кподталкивает» трубу в такт колебаням, превалирует над вкладом участков торможения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
