Колесников К.С., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. - Динамика топливных систем ЖРД (1049223), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3. 8) дА дАд А„ й да и2 где индекс т, л, Ь означает соответственно проекцию вектора Л н его производной на оси координат $, ть ~. 7б ф' Спроектируем уравнения (2.3.7) на координатные ооц, учить вая выражения (2.3.8). Проекция на ось ~ Мл д 1 — — л+ — (Р а — Р ЬГ )+ — Ра + д л Ь Ь л Ь н в н в в т, +Члаь — Чьа, +пьн=лтн; дР— -- — +Ч"=Ч' Рл на ось П Р,+, "-'- '+ — — —,(Р,а,)+ — (Рлд,— Р,а„)+ дМ»; М МЬ Г ', (2.3.9) Г (Р и ) Г)внв+ гон .Гпт.
дР„, Р, У~ л+ л+ +у» — ~т. вн л л' на ось „ Г1Мь Мл ',' Р„+ — — — ''+ дь Рь Ь д 1 Гь ь (Р и ) Р н +Гувд» Г Гпв Гпт. Г1~ Ь Рл — — — "+ч'=-ч" дь Дь Ь Ь Р„ — "+д„==о Г л дРл ( Г ~в )т) ° — + — (Р,ал)-,-Р„+~ =О Г1Мь д дь дь (ГП ГП» Шт )нав) Полученные условия равновесия почти совпадают с приведен' ными в работе (15]. Отличие заключается лишь ч том, что в нашем -' При выводе уравнений (2.3.9) учтено, что Л, =Л,' =О; Мн, Мь— проекции изгибающего момента; М. — крутящий момент; Р„, Р,— ф' проекция перерезывающей силы; Р.
— осевая сила. Из системы уравнений (2.3.9) следует, что в общем случае изгиб криволиней, =„: ного стержня сопровождается кручением, а растяжение — изги." бом и кручением Из обп1нх уравнений (2.3.9) для пространственного изгиба ,;." нетрудно получить условия равновесия для плоского изгиба криволинейного стержня (ГГь=оль). В этом случае Рь=М„=М, =О .::. и уравнения принимают вид дРР— ' — — "+д,- О (1,~» Гт). Ьв дь Г случае начало координат расположено в центре тяжести сечения, а в раооте (15) — в точке на нейтральной линии. Если начало координат задать на нейтральной линии, то в последнем уравнении системы (2.3.10) будет отсутствовать член с Л . В дальнейшем удобнее использовать уравнения, в которых исклкзчспа перерезывающая сила Р„.
После несложных преобразований получим систему двух уравнений: доР, Р, ди, доо ' Ло ' до (2. 3. 10 до ( Р ~~ +дгпй Связь сил и моментов с упругими перемещениями Условия равновесия (2.3.9) составлены относительно шести з~ личин: М,, М., Мо, Р-,, Р:„Рм Перерезывающие силы Ри и Р; можно исключить из уравнений, а остальные величины выразить через три компонента вектора перемещения точек оси стержня й (гь !) н вектор угла поворота сечения <р, (з, 1) вокруг оси в. Перемещение произвольной точки А стержня можно представить как сумму переносного перемещения ио вместе с нейтральной линией ! — Т, вращения вокруг нейтральной линии ! — ! на угол <~:, и вращения вок)зуг оси жесткости на угол ~р.. Так как поворот сечения, связанный с изгибом трубы, осуществляется вокруг лежащеи в плоскости сечения нейтральной линии ! — -Т, находящейся на расстоянии А от центра тяжести, а кручение труоы осуществляется вокруг осн жесткости, которая для замкнутых симметричных однородных контуров проходит через центры тяжести, то в дальнейшем при описани~и изгиба волокна будем орать его расстояние от нейтральной линии, а при кручении — от центра тяжести сечения, Зля произвольной точки А, находящейся на расстоянии о1 от центра тяжести (рис.
2А), будем ~иметь и(о,)=-ио — ооХ'р и Х т-.. (2. 3. 11) Считаем деформации малыми. Тогда можно принять (2. 3. 12) д Х Принимая во внимание, что ! дио ! — дио1 йо= й~ — д. йо Х 8~=- — йо Х ~ †' Х т/ †- т ~ йо †'), (2. 3 13) 'о до у, до 78 окончательно получим и== и(о,)= и,--т (О,— а) — ' --о,)б, д.. (2. 3. 14) Найдем относительную деформацию в произвольной точке. Производная от вектора перемещения й дает совокупность трех компонентов тепзора деформаций А1 (ди (щ) ) Я~ (ди (Сч) ~ Р1 — Ч до, Р,— Л до "=-„",(".',"').
(2. 3. 15) таь -" — ~ уаь ~ (2. 3. 16) где Š— модуль упругости; б — модуль сдвига материала трубы. Приведем выражения для векторов крутящего и изгибающего моментов М.= '1(т.п+т Ь) Х~АГ; И =-) (о Хйо)«~. Проекции изгибающего м крутящего моментов на координатные оси и выражение для осевой силы имеют вид био= ~ о т)аоо~ ~ 2.
3. ! 7) )4, = ~ (т„б — т, Ч) о(г '; Производные, входящие в выражения (2,3.15), подставим в виде ( )= ди (В) ) два, а,а дВ т, и дя т д5 Йо да Ь1 ди (о) ) дио„ вот ооа , дт т В о да )а до,ч~ До дз Яг где е, — относительное удлинение в направлении вектора г; У.о, у. ь — относительные сдвиги; т) — проекция вектора о1 на нормаль.
Используя закон Гука, определим нормальные и касательные напряжения где В=(0 — ь) — '=(ч — ьч) — "'+ — + —" +(".— дс) 1 —" — — '"~ ' д5 !,д5 Р! Ра! ! д5 Ра Используя приведенные равенства и формулы (2.3.17), (2.3.16), (2.3.16), определим моменты и силы, выраженные через перемещения алий . д5 Р! / )диа, д5 Р! / д51 дв Р! / Р!) л д )пиал, иа, иаЬ1 л т ЕЙ!а! — ~ — л+ — — — ) — Е)алЬ,', 05 ~ д. Р, Р, !) и, Р! Р! ' д5 Р л В л Ь у л д5 Р! где Ел,~ Р! — ч Р Р! — ч «Р! — ч г г Елд" Р! — в! !л)5, С(С З ) Ол — 1 Р; — Ч .! Р!— 1 Р! — ч .! Р! — ч р и'Е.
Елд!1,. ,1 Р! — В! 80 й При выводе уравнений (2.3.18) также учитывалось ч — ач„р ~ .' — ас „р ( (ч — ач)«-ас) ~/: — Л2 — Ч Р Г Р где д"-., дт1 — проекции вектора д на оси ~ и Ч. При однородном материале стенок трубы центр тяжести ,' и нейтральная ось лежат,в плоскости кривизны, поэтому А~=О. Тогда в выражениях (2.3.18) подчеркнутые члены будут равны нулю. Если рассматривать плоскую задачу, то выражения (2.3.18) '2 будут иметь вид Ф: /2 Е/2/;-л иил и~ л / диол илл ~ л д 2ди ии дл Р2 дл дл Я2 / Используя эти выражения и (2,3.10), получим для плоской зада- чи систему двух уравнений уравнения, одно из которых определяет продольные, а другое— поперечные колебания прямого стержня д2иил Ег" — '+ 2), = 0; дх2 (2.3. 20) дх2 дх 81 2 1 дФ 2~2 длл / 2, дх Д~ / дл , При А',— со ~ — 0) получим Р=../2',Р", /ли=К,/,"л, дх=дз, Ф й! и система уравнений (2.3.19) распадается на два независимых Массовые силы При движении трубы на нее действуют массовые распределенные силы д (з) и моменты т"'(з), которые можно определить по формулам )"'(а) =т ( и(о,) иР, ц =цю ~ ЛХр~=-вот-т) ь — ") да где у — плотность материала трубы; и, (о,) — ускорение центра тяжести (точки С).
Учитывая, что у ~11,г(У=О, запишем проекции д"'(з) н т"'(з) на оси с, и, ": д. =-УЕй,„; лт," = у!, Т,' '7ь = уРи'ь' (2. 3. 21) где у,= — ~ ОЧ~ (о'= — т)'+~'й у„= ~ГдР. Физический смысл членов в выражениях (2.3.21), пропорциональных Лп н Л",, состоит в том, что поскольку поворот при изгибе происходит вокруг нейтральной линии, ие проходящей через центр тяжести, то суммарная массовая сила, связанная с зтим поворотом, отлична от нуля, Если рассматривать плоскую задачу, то выражения (2.3.21) будут иметь внд д; — уЕй„; Ч» = уЕпс и (2.
3. 22) 7",'=У+' йв,+Дт) — ""+ — '" + — "" +Д". — "" — ' — "" =УГи,.; 1 Если в выражениях (2.3.22) положить аП=- — -- 0 и подстав| вить их в формулы (2.3.20), получим два независимых уравнения, которые описывают продольные и поперечные колебания прямого стержня. Уравнение движения жидкости в упругой трубе где Го — плошадь проходного сечения трубы. Скорость д (индекс «ср» в дальнейшем будем опускать) все~да направлена по касательной т к деформированной оси трубы. Движение жидкости описывается уравнением Эйлера и уравнением непрерывности, которые в векторной форме имеют вид доо 1 1 — + (и г) = — — 7р+/'; д~ (2, 3.
23) — -)-01ч (опо) =0; (ар= с„'да), дг — дио по=по+~= — — '+и д1 где 83 Динамику движения жидкости будем рассматривать в системе координат, связанной с начальным (недеформированпым) положением оси трубы (линия центров тяжести) Скорость жидкой частицы в сечении трубы з складывается из скорости поступательного движения вместе с центром тяжести рс (переносное движение) и скорости относительного движения р. Будем считать скорость относительного движения Р неизменной во всех точках сечения з. Это допустимо, если пренебречь вязкостью (идеальная жидкость), а в случае турбулентного потока под Ю следует понимать усредненное по сечению значение скорости.
Это допущение означает, что мы пренебрегаем явлениями, развивающимися в плоскости поперечного сечения трубы и происходящими за время 1=о()со (и' — диаметр трубы), что соответствует пренебрежению очень высокими частотами. Если труба делаег достаточно резкие повороты ф,- -О), то . даже при стационарном движении возникают большие градиенты. Однако, как показывает точный гидродинамичсский расчет для случая идеальной жидкости в трубе, изогнутой под прямым углом (7Ц волновое сопротивление для акустической волны в этом случае отличается от осо незначительно (меньше 0,5%).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
