Колесников К.С., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. - Динамика топливных систем ЖРД, страница 6

2л Из уравнений (1.4,19) находим 8„,== — (2И,„— Л'п„Л,) А„; щ~ — 22 п Т„=Л„А„, (1. 4. 20) 38 Уравнения (1.4.17) и (1.4.18) описывают колебания полусферической оболочки с жидкостью прн возбуждении от пульсиру2ощего источника. При истечении жидкости из сферической оболочки по произвольному закону ищем решение уравнений (1.4.17), (1.4.18) с помощью преобразования Фурье . л !О) Л „, ( л ) бп + !) Далее с помощью обратного преобразования Фурье находим лл лЛ 1л Т~Р=- ) Те"!М ! (1. 4. 21) 5„(!) = ~ Б„„е "Чт; — л-! л !6 А(6= ( А.е'"!7т. — " ы Таким образом, зная закон истечения жидкости из оболочки ф(1), находим с помощью преобразования Фурье А, и определял ! ' из (1.4.20) 5л, и Т,; затем, используя обратное преобразовае Фурье, находим функции 3,(!) и Т(г), входящие в выражегидродинамического давления и нормальных перемещений. случае невозможности получения аналитического решения ин- 1((явгрированне можно выполнить численно, заменнв бесконечные еделы величинами, обеспечивающими необходимую точность ения.

:.+', Из снстемы уравнений (1А.17), (1.4.18), описывающих движе- Ф е полусферической оболочки с жидкостью, имеющей источник, жно получить следу!ощие частные случаи: ,~' а) Если деформация оболочки та=.. — (Б„=Т=-Ч вЂ” --0 при и)0), 'з- 91 гидродинамическое давление на оболочку определяется выра- жением р = — О(), ФЕ В=- — '[=' — 2гл(1'1-, '.Оз — 1)1; ~а!=- — "-' ) .

'б) Для полусферической оболочки с крышкои, для которой =0 на Ю(Т=Ь'--=О), получим систему уравнений у', л~л зл (Ачл 2п+ ! ~А ) л ~ "~л л=-Г 2п (и =-0,1,2,...). (!. 4. 22) 39 При гармоническом изменении скорости истечения гидродинамическое давление находим из (1А.7), (1,4.15), (1.4.22) с помощью интеграла Лагранжа — — Коши где г=гЖ При рассмотрении переходных процессов используем преобразование Лапласа. Тогда изображение уравнения для полусферы с крышкой будет иметь вид (ро+о'„)з„— р5,(0) — 5„(0)==гоо'~а (ро — --" ' о,') — рЛ(0) — А|0 ~ л где з„(р) = Е5„(|) а | р);. ЕА (|); Š— обозначает операцию преобразования Лапласа; 5„(О), 5„(0), Л |Ой А(0,' — начальные условия.

Приняв 5„(0)=5,(0)-.=-0, найдем функции 5„(1) в следующих трех случаях пульсации расхода источника; 1) А(О=се(п ой а(р)= оо 5„(1)=- — — „( — ~рь!и ( „1 — , 'а) ( +1)+з)п а~3 +1)1— 1 — Л(0)соз ~„| — — А|0|з|п ио шо '1о 2л .|. 1 где й=~ — '); а=агс(п и ! 4л+1 2) Л(~)==сй а(р)=-с)ро; + А (0) соз о„|+ — А (О) зги 'о« 3) А (г) = с, а (р) = — с(р. гзо 5 () ~0 ( ~( 2п+1) 2в+1~ ) + А |О) соз „|+ — А (0) ейп « „1~ . 1 шд Зная 5„, с помощью (!.4.7) и (1.4.8) легко определить гидро- динамическое давление жидкости и нормальное перемещение полусферической оболочки.

Вак, частично заполненный жидкостью, имеющей источник Рассмотрим задачу об осесимметричных вынужденных гармонических колебаниях моментпых оболочек вращения, частично заполненных идеальной несжимаемой жидкостью. Будем считать, что возбуждение осуществляется от одного (рис. 1.17) или нескольких источников, расположенных на осп симметрии оболочки. Предлагаемый метод решения основывается на представлении потенциала смешений жидкости в виде двух слагаемых — ~'а (1.

4. 23) Здесь Фо — решение уравнения Лапласа в полости с упругими степками; Ф~ — решение уравнения Пуассона в полости с абсолютно жесткими степками. Дифференциальные уравнения осесимметричных ~вынужденных колебаний об з- 0 лочки с жидкостью, имеющей сферичес- Рис. 1. 17. кий источник с центром в точке В без учета влияния сил инерции оболочки, гравитации н волнообразования на свободной поверхности жидкости, будут иметь впд агФо — О; Ь, Р,=..А(1)а(г — ге); "~..

((Ро+ ~Р ~). (1. 4. 24) Граничные условия на смачиваемой поверхности Х свободной поверхности 5 п граничные условия для оболочки представим в виде дФе — е =. тп на ю1 Ф, == Ф, =О на 5; (1. 4. 25) М„.(ьи+Х, та — О при х-=-с;:1к -- 1,2,3,4,...). В (1.4.24) и (1.4.25) йг — оператор Лапласа; Еь Ее — диффе;;чаемой . азеициальные операторы оболочки; р — радиус-вектор рассматри:;. асмой точки г" жидкости; га — раднус-вектор центра источника; -дельта-функция; М,,(и) и Л~„(нз) †дифференциальн выра- ения для граничных условий оболочки, Решение задачи (1.4.24) — (1.4.26) будем искать в виде рядо.. ФО='~' Еп(1)у.(г), та= у' Е,!г)ти,(г), (1,4.26 л-О и О Ф, =- А (6 ~' Спт Ллт (г) л,п~ О (1. 4.

27 аФО.— — 0; — О=та на ~,: ФΠ— -0 на 5 (1.4.28 дл дф, ЬФ,= — АЗ(г — гл); — '= — 0 на ~; Ф,=О на 8. (1. 4. 29 дл Из уравнения (1.4.29) с учетом (1.4.27) и з(г — ~го)=-,~, у«~(го)",,.(~) п,т-О получим «туп (Г)=- 'У у«т(ГО1О«т(~) п,т=О ГДЕ Чллл,(ГО) — ЗНаЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ОР,т В ТОЧКЕ, РаДИУС-ВЕКТОР КОТОРой РО.

Так как а)„= — ),.„ф„, то из последнего выражения полу- ф Аф ~ .пт('О) Е (Г) пт лт л,т=О (1. 4. 30; Уравнения колебаний оболочки из (1,4.24) с учетом выражений (1.4.26) и (1.4.30) можно привести к виду где Х„азл — собственные функции задачи о колебания: упругой оболочки, частично заполненной жидкостью; фл — собственные функции в уравнении Гельмгольца для сосуда с жесткими стенками, заполненного жидкостью (Ллр+лф=О); Е„=Е„(1), А =А(1) — коэффициенты, зависящие от времени. Задача об определении потенциала смещений распадается нь две задачи: С помощью соотношения для и-го тона собственных колебаний Оболочки, частично заполненной жидкостью Е ~ Е~те — — йт Е«Е„Х„, находим р =а =а Умножая это выражение на ш„и интегрируя по з. с учетом условий ортогональности ~ тшаагЮ=О при пФк, полученных в $1,:получим т,.1Еа —,' т„Е,,~ — А '~' АГт„(К=О,!,2,...); (1.

4. 31) п,т а 1ат При рассмотрения вынужденных колебаний с гармоническим й)возбуждением в источнике на резонансных частотах в дифференальные уравнения необходимо ввести комплексную жесткость =Еа(1+1а1) нли слагаемое я„Е„учитывающее вязкое демпфивание. ':ф В последнем случае получим уравнения следующего вида: В глк(Еа-|-к,Еа+т«Еа) — А «н Л',, =0 1к=0,1,2,...). а,т а (1.

4. 32) 4 Если в жидкости находится несколько источников, полное ре- ение на основании принципа суперпозиции будет суммой решех4Фий от каждого источника. При гармоническом возбуждении Аг асов ай определение коаэРффициентов Е„ие представляет трудностей. Когда возмущение гармоническое, решение можно найти с помощью интеграла ;,, урье и численными методамп на ЗЦВМ. $5, ВЛИЯНИЕ УПРУГОИ ПОДВЕСКИ И НАДДУВА НА ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАКОВ Влияние упругой подвески реальных конструкциях часто крепление баков бывает неаточно жестким за счет податливости элементов крепления, ной податливости самого бака и других элементов, 43 Оценить влияние жесткости крепления баков на спектр частот можно следующим образом.

Определим приближенно частоту колебаний бака, обусловленную упругостью подвески !1. 5. 1', где с, — жесткость крепления топливного бака; гп — масса топливного бака с жидкостью. Далее найдем собственныс частоты жестко закрепленного топливного бака с жидкостью он, ооо,...,ооь Если ограничить диапазон рассматриваемых частот ыь то прн ооо»оь упругость креплсу ния бака оказывает малое алия- .4 -ои =-У ~у ние и ее можно не учитывать. Рассмотрим случай, когда упругость крепления бака нужно учитывать В соответствии с $ 1 представим уравнения колебаний жестко закрепленного бака с жидго костью в виде системы осцилляторов (рис. !.18). Тогда уравнения колебаний упруго закрепленного бака с жидкостью будут иметь Рис.

1. 18 вид Уи пооуо+со!Уо У) «~ су1У~ У '="О! 1-1 (1. 5. 2'о оп,у,-, 'с,!у! — Уо)=0 (/;=1,',3,... по=-'У тч р где с =гп. Р; ! 1 р 1=1 ооь иь с, — соответственно собственная частота, масса и жесткость подвески 1-го осциллятора. Динамическая реакция Л" в месте крепления бака и гидродпнамическое давтеине на стенку бака в заданной точке Л могут быть вычислены по формулам Л' =со1уо — У1; р,=-')' а„.у,, у-1 где а„; — постоянный коэффициент, входящий в выражение для давления.

Одн!им из известных методов (71) приведем систему уравнений (1,5.2) к нормальным координатам Чз-( ы,Ч,= — )!!!1 (1- ...1,2,3,...,л,); 11. 5. 3) 7-! у- 1 НоРмиРУЯ Ч;=. — /г,у!з полУчим !71+2!!1,.= — У 0=1,2,3,., ио); ! ие Р.='~ Ь„'д11 5„=- — ~,(1„,; у=! иО ! (1.