Колесников К.С., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. - Динамика топливных систем ЖРД, страница 5

Система уравнений (1.3.14) без уравнений (1.3.15) характери- зует колебания жестко закрепленного топливного бака с жид- костью, совершающего движение в направлении ссн Ох с ускоре- нием Ё. Иэ системы уравнений (!.3.!4) нли (1.3.!41 и (1.3.15) можно определить, следуя (7Ц, приведенные массы н собсгвенные час- тоты колеоаний для комбинированного бака. Приведем результаты, полученные в работе [77). На рнс. 1.12 приведеяы зависимости безразмерных собственных частот коле- баний й;= —.«, )'о)с'Е,6, и коэффициентов приведенных масс т), от относительной глубины заполнения и=ОД пьн различяых зна- чениях параметра г) =Ечб,/Е,.б„, Кривые 1, 2, 3, д соответству|от значениям т1=-1, 2, 4, со, Цилиндрический бак с жесткими стенками и с упругим сферическим пологим днищем На ракетах часто применяются топливные цилиндрические баки со сферическими днищами, стрела прогиба которых мала (рнс.

1.13). Такие дн~иша можно рассматривать как пологие, для ЗО которых безмоментная теория не применима. В настоящее время имеется много работ, в которых решена задача о колебаниях та- Рис. 1. 12. ких баков, заполненных жидкостью. В большинстве из них использовано решение в форме, предложенной В. В. Власовым [15).

Такие решения приведены в работах (31, 35 и 78[. В работе [9! получено полное решение и приведен анализ возможности применения упрощенных решений Упрощенные решения дают тем больше ошибку, чем больше пологость оболочки. В работе [9[ также рассматривается влияние жесткости шпангоута нз собственные частоты бака с пологим сферическим днищем С уменьшением йЯ влияние продольной жесткости шпангоута на собственные частоты Г увеличивается. Проиллюстрируем решение зада- Рис. !.

13. чи на простом примере. УРавнение изгиба пологой сферической оболочки имеет вид Ге Е~гс, 'с. Еб! ! д ( д~ 4 4 деЛ= —;  —; В— ВЙ2 ' !З ' !2(! — ис) г дг ! дг/ 3! Интегрируя последнее уравнение дважды, получим дата+ Ате.= Вр-'г Е+ Е, 1п г. (1. 3. 16) ил= — тп'=0 при г=1. Если искать решение для граничного условия тв'=О при г=1, (1. 3. 17) то оно будет иметь очень простой вид, Рассмотрим этот случай для задачи ь,,ллл=О; Ф==О па Я; на ~; ! (1. 3.

18) дФ вЂ” 7ЮГ дх о дФ вЂ” =-0 при дг г= — ! дл где а,=д+ —. дхо ' Решение задачи (1.3.!8), (1.3.17) представим в безразмерной форме в виде ~--~~,+ ~ ~~„.~о(~о.): к 1 Ф= — С (1)(а — о) — ~" Слй)лло(у~г)з" У (и а) о=1 где у„=- л,г (у„— корни уравнения У, (уо) = 0; то=О' ул'=-3,832' Ко=7,016' Уо=!0,173; а=-х)г;, .л=-Н1го; 0<г<1; Со=Со(1)' 7о(У, г),,/,(Уо) — фУнкЦии БесселЯ; С„=С,ОΠ— коэффициенты, зависящие от времени. 32 Из условия ограниченности перемещений в полюсе Ео — — О, При решении уравнения (1.3.16) иногда отбрасывают частное решение Е, которое влияет в основном на частоту первого тона собственных колебаний. Обычно ищется решение, удовлетворяющее для оболочки граничному условию Используя интеграл Лагранжа — Коши (р=---рФ) и выражения (1.3.19), получим из уравнения (1.3 16) при Е=Е2 — — а=О Ате +и~~ 22! !'ухи' 1, / (у .)....

к=.! !1. 3. 20) =-С,ОхВ+оВ '~р С,/,(укг)з)! Укх к=! З/о!уо"=- у;/к!укг! Умпожим уравнение (1.3,20) на /о(уп г) п проинтегрируем от 0 до 1. Тогда, используя условие ортогональности ! О при /./2 к г./, ! укг ! /, ! у,г) с/г —.= — [/' (у г!)2 при /=. к иС=- — кС, К ,ев находим 222,= — .2 — С,; А тик= — ', ",' ' Ск (к=.1,2,3,...!. ЕВ хи укх тк'+ Подставляя в граничное условие иа Х из (1.3.18) выражение (1.3.19), получим прп а — -О а!о = Со!го ! тек=- — — С.Ук с)2 У,х. ! Сравнивая эти выражения с (1.3.2!), подставляя значения ковффициентов А и В и переходя к безразмерной частоте„будем йметь '2 !'о хД2 !2 !! — хе! ' Д2 / (1.

3. 22) ° 2 2 2 „з Еъ г о Можно показать, что потучевпое решение удовлетворяет такГРаничному условию для меридианального перемещения абаки (и=О при г=1), которому должно удовлетворять также 2273 ЗЗ решение для безмоментных оболочек. Для момептных оболочек у иас пе удовлетворяется условие ис=О при 7=1. Последнее можно удовлетворить, добавляя решение краевого эффекта у заделки [бЦ. На рис. 1.14 приведена кривая ! для безразмерной собственной частоты первого тона колебаний )., полученная по приближенным формулам (1.3.22). Решения, полученные для моментиых оболочек в работе [9), представлены кривыми 2 и д.

Кривая 2 соответствует жестко закрепленному па краю днищу, а кривая 3 — свободно опертому краю. 'Г 07.7 с)2Х с7 О 7Г т 4, Х 2 4 4' с77с Рис. 1. 14. Приближенное решение для безразмерной собственной частоты первого тона колебаний с уменьшением пологости ()ссгв — с.2) ~приближается к полученному для пологого днища с жестко закрепленнымм краем, а с увеличением пологости ()с/2- со) приближается к решению для свободно опертой моментной оболочки. Результ;пы, полученные при использовании решения в форме Власова, для первого тона колебаний (кривая 4) лежат хсежд) результатами, найденными для моментной оболочки со свободно опсртым краем и жестко закрепленным (кривые 2 и 3) Величины собственных частот колебаний баков с полопсми сферическими днищами, заполненных жидкостью, дтя второго тона (кривая 5) и третьего (кривая 6) практически совпадают прп расчете как по точным, так и по приближенным формулам Собственные частоты колебании выше первого тона при «=ЬЯ) >1 практически пе зависят от «, и формула (1.3,22) для )«принимает вид ';1.

3. 23) 12 С! тс) При р<0,01 для второго и третьего тона можно пренебречь вторым членом (А)и;(207с ) Тогда будем иметь сс / ).=- — „' Ф у„ Решения задачи для цилиндрического бака с упругпмп сгенками и упругип пологим сферическим днищем приведены в работах [1О, 13 731 й 4. КОЛЕБАНИЯ БАКОВ С ЖИДКОСТЬЮ, ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ПЕРЕМЕННЫМ РАСХОДОМ При включении н выключении двигателя, а также при изменении его режимов работы в магистралях, подводящих топливо, изменяются расход п давление. При этом переменная составляющая давления может достигать больших величин и вызывать значительное давление па степки бака и нагрузки на элементы его крепления.

(1. 4. 1) (1. 4. 2) (1. 4. 4) Полусферический бак с жидкостью, имеющий источник Рассмотрим осесимметрпчные движения безыоментной, полу, сферической оболочки, заполненной идеальной жидкостью. Воз- буждение колебаний происходит ''от находящегося в жидкости пуль- щ (.енрующего источника (стока). ж ...... -"'.Будем считать, что оболочка за ;.Фреплена в экваториальной плос- — — р .',."йости от тангенциальных переме- — Г'Я ."щений (рис. 1, 13)., ф+„ Задача сводится к решению ~ — а „с . 'уравнения Лапласа (1.4.1) и урав:нения колебаний безмоментной ' сферической оболочки (1.4.2) с Рис.

П 15. 'граничными условиями на свобод,ной поверхности 5, сна шваемой поверхности з.(1.4.3), на поверх'Ности, окружающей сферический источник (1,4.4), а также для - оболочки в полюсе и в заделке (1.4.3) а,ц О; Ап (а — ', 21щ== (а+1-.м)йп ез дФ р.=-О на 5; — =-тп на ~'; (1. 4. 3) дп (, — с(5=-() на з; дп и=0 при а=я 2; те~ И.... сопз( прн 0=0, (1,4.5) Я вЂ” расход жидкости через источник (сток). 2" зз В дальнейшем граничное условие на Я будет удовлетворяться интегрально по всей поверхности, тогда (1. 4. б) Потенциал смещений и нормальные перемещения для оболоч.

кн запишем в виде рядов, состоящих из гармонических функций [63)-' (1. 4. 7) чв==-Ь'Х+ ) то„Рв„— А Ъ (2п,~ 1) ~ Р,„, (1. 4. 8) и —.О а=-О Х= сов 5; (о,=.-г--г,); где а~ .в~в п-в Рп, - — пол~пномы Лежандра первого рода; Г, Т, 5„, А, ж„— коэффициенты, зависящие от времени. С учетом граничного условия на У'., выражений (1.4.7), (1А.8) 1 н используя условия ортогональности ) Рв„Рз г?в'=О при п~=т, о находим (1. 4.

9) А„?'+2лК'" 'Б„=..А„И+я„, 1 где А„-.= ( Рв„ХИХ. о Используя уравнение движения оболочки (1.4.2) и выражения (1.4.7), (1.4.8) и свойство полиномов Лежандра ЬР„= — 2п(2п+ +!)Р,„, пол чим бесконечную систему уравнений гзп (,'„'-2) тг„— А(2а-,'- 1( ф(л . 'и — — ~(З + 1 — т(~Ж"-" '+А „— [ -(1 - в~А Т~, ((.4. 10) Л где 3,, --. — 2п(2и )-11 (и=-(),1,2,...(.

1)з граничного условия для оболочки в заделке (1А.5) и выражеш(й (1.4.7), (1.4.8) находим дФ где '1)о= — ' де) Фо —— — — . г до Так как при Е~(<го, о(фа, то ( Фо Яп а)й=О, (1. 4. 14) где 2)а=олог(ао!)р — элене)ьтарная поверхность сферического пуЗыря. На границе а сферического источника на осин)ванин (1А.7) н (1.4.14) будем иметь Рнс. 1. 16 Ф,=- — А)е .

Тогда условие на а (1.4.4) примет вид 4 2 З !)о откуда А=- --!774л (!. 4. 16) Из (1.4.9) и (!.4.!1) получим оо = — )Т вЂ” '~3')А +2)27222а- '5 )1. 4. !6) Из (1,4.10) и (1.4.16) находим А„((3,+2)(7 — ".7 ) — Г(1 — т)!) -к(2„+2) 2и7д2" — '5а+ г2л +Г(0 ) 1 ) )/доа-15 =(3 ))) )а -1) ' А— л а ) . ~ «222)л~-)) Г го 22)а 1) 37 Изсоотпошени!) (1.4.6) и (14.7), учитывая, что па 50)о=гоо+ .!.г', получим Х""''0' -' —" ч-'-' — )о ~1 1 — , 'г,) ' — 11=0 ')'о= — ')оЯ) (1 4 12) и+! Л л-о При рассмотрении условия на з пз (1.4.4) считаем ро(<го. Тогда прн 8 =О, соз 0=1, Р2„(0) =1 ~в (г. 1) ) 7'г Ч 5 2.2а е а=о В соответствии с рис. 1.16 запишем Фо — — 'Фг со51-)-21)о в!п - ~ 2=.-а — 6), (1.

4. 13) Окончательно получим систему дифференциальн(ях уравненш2 и (г -2 — "' 2 \ 2Б~.'.Я;:2 (пп — " ° А ). (~ и 17 (и =- О, 1, 2,... ); где Тп= — Т)т; 5'„=5„)222п; АО=АЯ; 2 1 2и(зп+2) 02 Аналогично из (!.4.12) находим .-, '24пго (Р 1 —,'.го — 1)=0 (1 4 182 ,~4 и+1 и О 2 2и = — гоп ~т — , '' 2) А„(и=0,1,2,...) 2и п( """'-,-2А„г, У1- го-2 — 1) =0, и+1 п-О (1. 4. 19; ! ! где Т.,= — 2)Тпе 2"'22т; А„= ~ А"е — "йт; 1 1 2л 2л 5,„== — () 5*„е — '"22т.