Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1), страница 4

формация может быть сосредоточена на высоких частотах. В таких случаях все, что нужно сделать,— это отфильтровать нестационарные низкочастотные компоненты и использовать оставшийся ряд для спектрального анализа. Особенно простой вид цифрового фильтра для устранения низкочастотных компонент представляет собой фильтр первых разностей у,.== (х, — х,,).

(1.2.8) 25 24 Гм Л цело и средства анализа временны рядов ДЗ. Це ш анализе еременнйх рядов Коэффициент усиления 6(1) этого фильтра показан на рнс. 1.4. Он характеризует степень пропускания фильтром косинусоидальной волны частоты Г. Видно, что низкие частоты значительно ослаблены и, следовательно, будут менее заметны на выходе фильтра. 1.2.4. Параметрические модели временных рядов Во многих задачах, таких, например, где требуется предсказать будущие значения ряда, необходимо построить параметрическую модель для временнбго ряда. Для того чтобы модель была полезной, она должна иметь физический смысл и включать по возможности неболыпое число параметров.

Мощной параметрической моделью, которая широко используется на практике для описания эмпирических временнйх рядов, является процесс скользящего среднего — авторегрессии: .ле 1ь=и1(х — 1ь)+ ° ° . +и (Х, — Р)+ +2+~1Л -~+ +3~2~-ь (1.2.9) где Х~ — чисто случайный ряд, или белый шум, и 1ь — средний уровень Хь Модель (1.2.9) имеет физический смысл, так как она является дискретным аналогом хороШо известного линейного дифференциального уравнения, используемого для описания линейных систем. Таким образом, эта модель представляет временнбй ряд в виде выходного сигнала некоторой линейной системы, на вход которой подается белый шум.

Вводя подходящее число параметров а и 3 в (!.2.9), можно после соответствующих вычислений [2] сопоставить большинству эмпирических временных рядов относительно небольшое число параметров. Решение о том, использовать ли автоковариационную функцию, спектр или параметрическую модель, будет определяться на практике требованиями конкретной ситуации. Различные условия потребуют различных методов подхода, и поэтому важно уяснить, что не существует единого подхода, который нужно было бы применять к анализу временных рядов во всех ситуациях. 1.3. ЦЕЛИ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В этой книге будет описано несколько различных применений спектрального анализа. Поскольку спектральный анализ является почти единственным оружием, имеющимся в распоряжении для анализа временных рядов, полезно обсудить природу задач, касающихся временных рядов, в несколько более общей постановке, Задачи о временных рядах можно классифицировать, рискуя впасть в слишком сильное упрощение, на те, которые требуют в той нли иной форме построения моделей, и те, которые приводят к изу- чению частотных характеристик.

Эти категории неизбежно должны несколько перекрываться. 1.3.1. Построение моделеи Легко можно отличить друг от друга несколько различных видов моделей, например пробную и усовершенствованную, эмпирическую и физическую, параметрическую и непараметрическую. Пробная и усовершенствованная модели. На ранних стадиях работы исследователь может знать очень мало о каком-нибудь конкретном явлении. Основная цель анализа временных рядов на этом этапе может состоять в том, чтобы посмотреть на данные с различных точек зрения и увидеть, какие можно выдвинуть гипотезы. Например, изучение спектра поля вертикальных скоростей атмосферной турбулентности [3] показывало, что пик этого спектра сдвигается в сторону низких частот с увеличением солнечной радиации. Это наводило на мысль, что существуют две различные причины флуктуаций атмосферной турбулентности: высокочастотная компонента, обусловленная силами трения, и низкочастотная компонента, обусловленная тепловой конвекцией, вызванной солнечной радиацией.

В результате после этого пробного анализа оказалось возможным начать построение более реальной модели атмосферной турбулентности. Часто случается, как это было в только что изложенном примере, что первоначально предполагаемая модель временнбго ряда впоследствии может оказаться несовершенной. Природа этого несовершенства пробной модели может быть использована тогда для ее модификации и построения более совершенной модели.

Эмпирические и физические модели. В некоторых случаях можно построить детальные модели временнбго ряда, основанные на физике, лежащей в основе явления. Например, большие усилия были затрачены на построение моделей атмосферной турбулентности [3] и гидродинамической турбулентности [4]. В других ситуациях об исследуемом явлении известно так мало, что нужно прибегать к подгонке эмпирических моделей, таких, как модель скользящего среднего — авторегрессии (1.2.9). Большое преимущество физических моделей состоит в том, что они обычно требуют меньшего количества параметров, чем эмпирические модели. Чтобы принять решение о том, тратить ли время и усилия для нахождения физической модели или же прибегнуть к помощи эмпирической модели, требуется рассудительность и интуиция.

Вообще необходимо идти на компромисс и использовать любые доступные физические сведения, чтобы иметь основу в начале построения. 13 Цели анализа времеиньгх рядов 27 Гл. 1. Цела и средства анализа времеиньгх рядов Параметрические и непараметрические модели. Модель скользящего среднего — авторегрессии ( !.2.9) является параметрической моделью. Чтобы подобрать такую модель, нужно оценить по наблюдаемым данным небольшой набор параметров.

С другой стороны, описание временного ряда, даваемое автокорреляционной функцией или спектром, является непараметрическим (нлн многопараметрическим, так как для того, чтобы задать весь процесс, требуется действительно бесконечное число параметров). Р и с. 1.5. Схематическое изо- бражение линейной системы. Оценка динамической модели линейной системы, показанной на рис. !.5, представляет собой задачу, к которой можно применить оба эти метода. В простейшем случае, когда имеется один вход х, и один выход хз, динамическую модель можно оценить по записям хг(1), хз(1) входного н выходного сигналов.

Например, может быть известно, что некоторая простая параметрическая модель, такая, как Т вЂ” " '„"' +х,(1)=х,(1), является подходящей. Эта модель содержит один параметр Т, называемый ггостоянной времени этой системы. В других случаях более подходящим является описание системы с помощью некоторой не- параметрической модели, требующей задания функции усиления 6(!) и фазовой характеристики гр(!) этой системы.

Они являются функциями, описываюгцими отклик системы на косннусоидальиые волны с различными частотами 1. Так, входная косннусоидальная волна хг(1) = а соз 2л11 появляется на выходе как косинусоидальная волна х,(1) = а6 (1) сов(2л11+гр(!)), т. е, ее амплитуда изменилась от а до а6(1), а фаза сдвинулась на гр(1). В гл. !О будет показано, что анализ взаимных спектров можно использовать для оценки коэффициента усиления и сдвига фазы линейной системы.

В некоторых ситуациях амплитудио-фазовое описание предпочтительнее, так как модель может быть нужна лишь в ограниченной полосе частот. В других может оказаться лучше полное описание, даваемое параметрической люделью. Поскольку спектральный анализ является непараметрическим методом, его применение в области построения моделей ограничено. Однако он полезен иногда, как это было в упомянутом выше примере с турбулентностью, для выдвижения пробных моделей, которые можно затем подобрать параметрически. 1.3.2. Использование моделей временнйх рядов Модели временных рядов используются для различных целей.

Наиболее распространенными из них являются; а) прогнозирование, б) оценивание передаточных функций, в) фильтрация и управление, г) имитация и оптимизация и д) создание новых физических теорий. Прогнозирование. Под прогнозированием понимается оценивание будущих значений х(1+Т) временного ряда из некоторого интервала будущих значений О =Т~! по значениям временного ряда до момента 1 включительно. Прогнозирование экономических и промышленных временных рядов представляет очень важное применение временных рядов и обсуждается в работе [2].

Оценивание передаточных функций. Это применение обсуждалось выше. Фильтрация и управление. Более общей задачей, чем описанное выше прогнозирование, является задача линейной фильтрации в том виде, как она была сформулирована Винером [5, 1']. Линейный фильтр представляет собой устройство, которое, действуя на входной сигнал хг(!), дает выходной сигнал хз(1) согласно формуле х, (1) = ~ Ь (и) х, (1 — и) г(и, (1.3.1) о где й(и) — весовая функция, или функция отклика фильтра на единичный импульс. Предположим, что на вход подается процесс хг(1) = в(1)+г(1), где з(1) — сигнал, или полезная информация, а г(1) — шум, или нежелательная информация.

Требуется найти, как показано на рнс. !.6, такой фильтр, который давал бы на выходе некоторую функцию от сигнала в будущий момент времени Т, Например, желаемый выход мог бы быть следующим: у [з(1+ Т)] = — „[з(1+ Т)]. В этом случае оптимальный фильтр определяется как весовая функция, которая минимизирует средний квадрат сигнала ошибки е (1) = х (1) — д [з (1 + Т) [ между действительным и желаемым выходными процессами, Если в распоряжении имеются модели для случайных процессов, описывающих сигнал в(1) и шум г(1), то можно использовать разработанные методы [6] вычисления коэффициента усиления н фазовой характеристики оптимального фильтра, Фактически вычисление ЯЗ, !(ели анализа временнык рядов 29 по спектрам сигнала некоторым заданным Можно показать [6], задачи фильтрации, 3 Сиен Г,(7) =аз(7') Г, (7). (1.3.2) Гл.

Я Цели и средства анализа временнйк рядов оптимального фильтра осуществляется легче з (1) и шума г (1). В теории управления требуется следить за сигналом з(1) с возможно меньшей ошибкой. что эта задача сводится к частному случаю описанной выше. Р н с, !.6. Схематическое изображение общей задачи фильтрации. Имитация и оптимизация. Многие системы, например системы электронного управления, являются слишком сложными, для того чтобы их изучать или оптимизировать аналитически. В таком случае система может быть имитирована с помощью аналоговых, числовых и гибридных вычислительных машин.

Возмущения, попадающие в реальную систему в различных местах, можно измерить, и, если таких данных достаточно, оии могут быть поданы непосредственно в имитатор. Однако объем данных, требуемых для изучения имитации, обычно так велик, что возникает необходимость подобрать модели для возмущеиий. Эти модели затем можно использовать для генерирования неограниченного количества искусственных данных, которые затем можно использовать в имитации.

Создание новых физических теорий. Изложенные выше примеиеиия моделей временных рядов относятся к инженерным задачам. Применение анализа временных рядов в физике отличается иесколько иным подходом. Физик интересуется созданием теорий физических явлений, которые можно использовать для предсказания в возможно более широком диапазоне ситуаций. Поэтому изобретаемые им модели являются более детальными, чем те, которые используют инженеры, и должны постоянно модифицироваться и расширяться по мере все большего понимания физической сущности явлений.