Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1), страница 3

Х, З; В, «1, аг «1 В пашей литературе чаще используются названия корреляции. — Прим. перев. *'1 В машей литературе чаше используется название спектры. — Прим. перев. Х,бг й Оценки В, аг, аг Параметры Ковариации и корреляции (показаны символы и нижние индексы) Выборочные оценки схх (и) сгг (й) схг(и), сш (й) Оценки . схх (и), с (й) ~ху(и» сш(й) Теоретические тхх (и) ум (й) тхг(и» тш(й) Автоковариации «*'"1 Взаимные кова- риации *1 Под термином «езцша(ез» авторы имеют а виду конкретные, наблюденные значения оценок.— Прил. перев. '*1 Термином «езбгпа(огз» авторы называют оценки, рассматриваемые как случайные величины.— Прим.

перез. «аю Словами «теоретические значения» авторы аазыаают истинные значения неизвестных параметров илн функций.— Прим, перев. ****1 В нашей литературе чаще используются названия ковариации. — Прим, перез. Символы, Предмет Наблюдения, временнйе ряды Случайные величины, случайные процессы Выборочные оценки Латинский, большие буквы Латинский и греческий с крышкой, малые буквы Латинский и греческий с крышкой, большие буквы Греческий, малые буквы Автоспектры **1 Взаимные спектры Коспектры Квадратурные спектры Амплитудные спектры Фазовые спектры Квадрат коэффициента когерент- ности Выборочные оценки сх,(у), с„(Л Сх,(Т), С„(Л Вгг (Т) О12 (У) Оценки Схх(Т), Сп (Т) с„„(у), с„(у) В12 (У) Ою (У) Глава 1 ЦЕЛИ И СРЕДСТВА АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Чтобы помочь читателю разобраться в спектральном анализе, в этой главе дается 'краткий обзор важнейших понятий и основных целей анализа временных рядов.

1„1. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЪ| И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 1.!.1. Детерминированные и недетерминированные функции Трудно найти какую-либо отрасть науки, которая не приводила бы к изучению данных, представляемых в виде временно)х рядов. Временнбй ряд — это сличайная, или недетерминированная, функция х независимой переменной 1. В большинстве ситуаций функция За.г 34,! 0 6 16 г4 67 40 48 56 64 7г 1, сея Р н с.

!.!. Отклонения напряжения на клеммах статора турбогенератора на 50 Маг, х(1) будет функцией времени, хотя в некоторых случаях она может быть функцией некоторого другого физического параметра 1, например координаты. Характерное свойство временнбго ряда состоит в том, что его будущее поведение не может быть предсказано точно, что можно было бы сделать в случае детерминированной функции времени. Во Гл. 1. Цели и средства анализа временнйл рядов 1.2, Описание еременнйх рядов 19 предположении, что случайный процесс может быть адекватно описан с помощью некоторой модели, содержащей небольшое число параметров, которые могут быть оценены по данным.

Обсудим теперь кратко эти упрощающие предположения. 1.2.1. Стационарность Проверка выходного сигнала генератора шума в течение ограниченного промежутка времени показывает, что различные участки выходного сигнала похожи. Напротив, характерная черта экономического ряда, такого, как валовой национальный продукт индустриальной страны, состоит в том, что его уровень стремится увеличиться с течением времени, и поэтому различные участки этого ряда не будут сравнимы. Говорят, что выходной сигнал генератора шума является стационарным временным рядом, в то время как про временнбй ряд валового национального продукта говорят, что он нестационарный. Качественно стационарный ряд в это такой ряд, который находится в статистическом равновесии, в том смысле, что он не содержит никаких трендов, тогда как пестационарный ряд таков, что его свойства изменяются со временем.

Ряды, встречающиеся на практике, принадлежат обычно к одному из трех видов: ряды, проявляющие свойства стационариости в течение долгих периодов времени, например выходные сигналы генераторов шумов; ряды, достаточно стационарные в течение коротких периодов времени, например измерения атмосферной турбулентности, и ряды, которые являются явно нестационарными в том смысле, что их видимые свойства непрерывно изменяются со временем. Большинство методов, имеющих дело с нестационарными временными рядами, основано на способах устранения или отфильтровывания нестационарной части, так что остается ряд, с которым можно обращаться как со стационарным.

В одной из недавних работ [2] приведены модели, которые могут описывать нестационариые ряды. Так как статистические свойства стационарных рядов не изменяются со временем, то эти свойства можно накопить и выявить с помощью вычисления некоторых функций от данных. Функция, которую впервые использовали для этой цели, является автоковариационной функцией. 1.2.2. Автоковариационная функция При классической статистической обработке измерения х, (1=1 2, „У) некоторого физического параметра можно считать независимыми, поскольку эксперименты, порождающие эти наблюдения, физически независимы.

Если связанное с этими измерениями рас- (1.2.3) где является средним значением наблюденного временнбго ряда. .Функция с(и) называется выборочной автоковариационной функ, цией временнбго ряда. Иногда удобно для сравнения рядов с разными масштабами измерений нормировать (1.2.4) с помощью деления на дисперсию с(0). Таким образом, определяется восборочная . автокорреляционная функция г(и) = —, с (и) с (О) (1.2.5) Выборочная автокорреляционная функция для данных турбогенератора, изображенных на рис.

1.1, приведена на рис. 1.2. Видно, что напряжение имеет высокую положительную корреляцию при ю Символом И [...] всюду в этой книге обозначается математическое ожидание случайной величины . — Прим. перев. ",;.„ХПРеДеление веРоЯтностей Гх (х) ЯвлЯетсЯ ноРмальным, или гаУссов- "'теким, то его можно полностью задать своим средним значением *) [э=Е [Х] = ) хУх(х) йх (1.2.1) -"'' и дисперсией аз= Е [(Х вЂ” р.)г[ = ~ (х — (с)г„гх (х) йх. (1.2.2) с: Ф Среднее значение определяет расположение, или центр тяжести рас- -,' пределения, а дисперсия характеризует его изменчивость, или раз- .,: брос.

Если наблюдения х, образуют часть временнбго ряда, то только . для чисто случайного ряда соседние величины будут независимы, т. е. на значение величины хс не влияют значения величин хс г, хс-г, . В общем случае соседние величины временнбго ряда будут коррелированы. Поэтому в случае стационарного нормального ряда, кроме среднего значения (г и дисперсии о', необходимо задать его автоковариационную функцию Т (и) = Е [[Х (1) — [э) (Х (1+ и) — [э)]. На практике у(и) может быть оценена с помощью М вЂ” и с (и) = — ~>„(х, — х) (х, ч.

„— х), Смы 20 дг Олисание вреиенныс рядов 21 сдвиге на одну точку, что соответствует '/, сок, сохраняет некоторую положительную корреляцию после 1 сек, но в интервале от !'/з до 2'/, сек проявляет явную отрицательную корреляцию. Это означает, что если имеет место большое напряжение, превышающее среднее значение, то весьма вероятно, что примерно через 2 сгк напряжение спадет ниже среднего значения, и наоборот. Выборочные оценки г(и) для сдвигов от 2'/з до 10 сек очень малы, но устойчиво отрицательны; это означает, что в среднем положительное отклонение от 1.2.3. Спектр с(0) =~ — ас. (1.2.6) ,сен деие и аз='! (О) = ~ Г (/) сг/, Р и с.

1.2. Выборочная антонорреляционная фунниия лля данных, изображенных на рис. 1.1, й !000. среднего значения имеет тенденцию к последующему отрицательному отклонению с задержкой от 2 до !О сек. Однако значения г(и) в этой области крайне малы, и поэтому выводы, основанные на них, могут быть ненадежны. При больших значениях аргумента выборочная корреляционная функция обнаруживает периодичность формы напряжения с периодом примерно 3 сек. Эта периодичность, возможно, также может давать некоторый вклад в отрицательную корреляцию для сдвига около 2 сек. Автокорреляцнонная функция полезна в некоторых случаях, поскольку она дает наглядную картину того, как зависимость в ряде затухает с увеличением задержки или разделяющего промежутка и ,между точками ряда.

Однако иногда автокорреляционная функция с трудом поддается интерпретации, так как соседние значения могут быть сильно коррелированы. Это означает, что выборочная ав- 1,Р и " о,в ь й о,в В о,» ь ь Е ь ь о,г ь В ,ьл о Гл. 1 Цели и средства анализа вреиеннасл рядов токорреляционная функция может иметь видимые искажения, Более детальное описание свойств и применений автокорреляционной функции дается в гл. 5. В этой книге мы будем использовать ее главным образом как промежуточную ступень при оценке спектра. Предположим, что временнбй ряд хс состоит из значений косинусоидальной функции (!.1.1), отсчитываемых в дискретные моменты.

Тогда можно проверить, что для частот /а, кратных основной частоте 1/Ас, дисперсия, подсчитанная по формуле (1.2.4), равна аз/2. Если х~ измеряется в вольтах, то это означает, что средняя мощность переменного тока, или дисперсия ряда, равна аа/2 вг. В более общем случае, когда х~ состоит из смеси нескольких косинусоидальных волн с частотами /с и амплитудами а„дисперсия равна Результат (1.2.6) показывает, что если х~ можно считать состоящим из смеси косинусоидальных волн, то его дисперсию можно разложить на компоненты со средней мощностью, или дисперсией, а'./2, соответствующие различным частотам /ь В гл. 6 будет показано, что если хс является стационарным временным рядом, то дисперсшо соответствующего случайного процесса можно разложить на компоненты, интегрируемые по непрергнвной области частот, согласно формуле где Г(/) называется спектром мощности этого случайного процесса.

Таким образом, Г(/)6/ есть приближенная мера средней мощности, или дисперсии, в полосе частот от / до /+б/. Выборочная оценка спектра данных турбогенератора, приведенных на рис. 1.1, показана на рис. 1.3. Отличительная черта этого спектра состоит в том, что высокая мощность сосредоточена на низких частотах, а на высоких частотах мощность невелика. Это происходит главным образом из-за больших положительных значений выборочной автокорреляционной функции прн сдвигах, равных 1 и 2. Заметим также, что мощность не спадает равномерно от низких к высоким частотам.

Вместо этого имеется плоская область в районе 0 — '/а гц. Имеется также хорошо выраженный небольшой пнк на частоте 0,39 гц, или периоде 2,54 Рек, который, возможно, объясняет небольшую периодичность выборочной корреляционной функции на рис. 1.2 при больших значениях аргумента. 23 72 Описание временных рядов 22 (1.2.7) 7, 5, ез 3 2, 0,0 1,0 0,7 0,4 О,б 0,2 0,1 0,07 0,4 0,04 0,2 0,02 О,О1 0,007 ггц 0,004 Гл.

П Цели и средства анализа временных рядов В гл, 6 будет также показано, что спектр и автоковариационная функция связаны соотношением преобразования Фурье Г(7)= ) 7(и) соз2 вийи, Р и с, 1.3, Выборочная оценка спектра для изображенных на рис. 1.1 данных, гт' = 1000. и поэтому знание автоковариационной функции процесса эквивалентно знанию спектра процесса. Однако при анализе записей конечной длины спектр часто предпочтительней, чем автоковариационная функция. Во-первых, оценки спектра на соседних частотах приближенно независимы, и поэтому выборочный спектр обычно легче интерпретировать, чем выборочную автоковариационную функцию.

И во-вторых, что важнее, во многих физических задачах спектр представляет непосредственный Ф :гм физический интерес. Примеры использования спектрального анализа будут даны в равд.!.3. 1 "т' 7'. Цифровые фильтры. Хотя для описания случайного процесса с помощью его спектра и необходимо предполагать стационарность, на практике предположение стационарности не представляет серьезной проблемы. Это происходит из-за того, что спектр отделяет 1,0 0 0,125 0,25 0.575 ОД с,ги Р и с 1 4 Функция усиления дта фильтра пераых разностеа вклады во временнбй ряд, которые можно приписывать различным частотным полосам. Нестацнонарный ряд обычно характеризуется присутствием большой мощности на низких частотах. Однако во многих практических приложениях представляющая интерес ин.