Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1), страница 10

2. Анализ Фурье бй длодной скакал, амплитудный спектр 1едиличнак днрулкиил1 / Временные окна Т 2 вьмодной сиен алгллитудны спектр (2.4.1) мг (т) = т (2.4.3) 2.4. ПРИМЕНЕНИЯ В АНАЛИЗЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 2.4.1. Записи конечной длины На практике можно получать только записи конечной длины, Статистические вопросы, которые будут обсуждаться ниже, возникают из-за необходимости оценивать точность различных функций, получаемых из конечного объема данных. Даже, если з(1) является детерминированной функцией, возникает смещение, или ошибка усечения, если з(1) известна лишь на конечном интервале — Т/2( ~1-=Т(2, Чтобы понять влияние этого усечения, рассмотрим временное окно, определяемое с помощью соотношений Если з(1) является детерминированным сигналом в интервале — оо(1 -оо, то сигнал, действительно измеренный на конечном интервале, можно записать в виде зт (е) = з (е) то (~) (2 4.2) Таким образом, операция взятия конечного участка записи равносильна умножению подлинного сигнала з(1) на временнбе окно нг(1), Отсюда, используя (П2.1.8), получаем, что преобразование Фурье 5тЯ сигнала зт(г) на конечном интервале является сверткой преобразований Фурье от з(1) и пг(1): где спектральное окно )Р(1") является преобразованием Фурье от временнбго окна ш(1) н равно в этом случае )р, ( ) Т, зги ггУТ кт Т Совсем необязательно, чтобы временнбе окно имело в точности форму (2.4.1).

Любое разумно выбранное окно иг(1) даст спектральное окно Ю'(1), сосредоточенное около нулевой частоты 1 = О, но с боковыми лепестками, или малыми всплесками, которые затухают прн удалении 1 от нуля. Для небольших Т преобразование 5 (1) может дать очень искаженное изображение 5()), так как окно В'(1 — й) будет широким, а, следовательно, значения 5(д), отстоящие далеко от д= ~, будут давать вклад в 5т(1) согласно формуле (2.4.3).

По мере того как Т увеличивается, эти искажения будут уменьшаться. Наконец, когда Т устремляется к бесконечности, со- 2лх Применения в анализе временньк рядов ставляющая преобразования Фурье на частоте 1 может быть определена полностью, так как временнбе окно будет стремиться к константе (=1). Следовательно, если Т вЂ” со, то )ьо() — д) стремится к дельта-функции, сосредоточенной в точке д=~, так что 5т()) стремится к 5(1).

г Рис. 2АО. Влнипие формы и длительности временного окна на спектр сигнала. Влияние формы и ширины окна на измеряемое преобразование Фурье проиллюстрировано на рис. 2.10 для одного частного входного сигнала з(1), преобразование Фурье которого состоит из трех дельта-функций, сосредоточенных в )о, )г и )з. Отметим следующее. 1. Только два главных пика появляются в выходном преобразовании для окон а, б, и г, так как два входных пика на частотах (г и (т сливаются в один. Это происходит из-за использования слишком узкого временнбго окна.

2.4. Применения в анализе временна Е рядов 71 70 Гл. 2. Анализ Фурье 2. Выходные преобразования для окон а и б имеют несколько ложных пиков между настоящими главными пиками. Эти ложные пики вызваны резкими углами временнбго окна. 3. Возможность различать пики (разрешающая способность) зависит от ширины временнбго окна, что иллюстрируется выходными преобразованиями для окон а и б, которые имеют одну и ту же форму, но разную ширину.

4. Возможность различать пики зависит также от формы временнбго окна, что иллюстрируется выходными преобразованиями для окон б, в и г, которые имеют одинаковую ширину, но различную форму. В гл. 6 и 7 будет показано, что ширина н форма окна приводят к тем же эффектам в спектральном анализе. На рис. 2.10 расстояние между частотами (/з — /е) было выбрано равным 1/Т. Рисунок показывает, что с помощью прямоугольного временнбго окна длины Т невозможно различить два пика на частотах /1 и /з. Однако, с помощью прямоугольного окна длины 2Т эти пики легко различаются. Следовательно, для разделения двух пиков на частотах /е и /з необходимо использовать запись длины Т порядка (2.4.6) 2.4.2.

Дискретизация сигнала по времени и явление наложения частот Импульсная модуляция. Для численного анализа отсчеты боль. шинства непрерывных сигналов з(/) будут производиться через некоторый фиксированный интервал Ь, и полученные таким образом дискретизоеаннгяе сигналы будут затем использоваться для цифровых вычислений. Дискретизованный сигнал можно рассматривать как результат умножения первоначального непрерывного сигнала на сигнал 1(/), состоящий нз бесконечного ряда единичных импульгое, или дельта-функций: 1(г)= Х 8(г — пд). (2.4.6) Это дает дискретизованный, или импульсно-модулированный, сигнал з,(/) = з (/) 1 (/).

(2.4.7) для прямоугольного временного окна. Рис. 2.10, в и г показывают, что для окон, не являющихся прямоугольными, их ширина должна быть больше 2/(/з — /е), чтобы ьюжно было различать пики. Дальнейшее обсуждение вопроса о длине записи, необходимой для различения пиков, приводится в равд. 6.4.4. Следовательно, воспользовавшись теоремой о свертке (П2.1.8), на- ходим 5 (У) = ) 5(Т вЂ” 8) /(К) г/й', (2.4.8) где /(у) является преобразованием Фурье от 1(/).

Используя для 1(д) выражение (2.2.16), преобразуем (2.4.8): 5;(Т) = ~ 5(Т вЂ” й) —, ~~ 8~(И вЂ” —,)~а= (2 4.9) Равенство (2.4.9) показывает, что дискретизованный, или импульсно-модулированный, сигнал зе(!) имеет периодическое преобразование Фурье с периодом 1/Л, и если 5(/) обращается в нуль при ! /! = 1/2Л, то 5е (/) является просто периодически повторяемой функцией 5(/), как показано на рис. 2.11, б и в.

Это означает, что можно восстановить 5(/) по 5е(/), умножив 5е(/) на О(/), где )л! 2д Н(Т) = (2.4,10) !л ~~ ~2а Таи как умножение в частотной области соответствует свертке во временнбй области, то отсюда следует, что з (/) = ) з, (/ — и) ди. (2.4.1 1) Функция з!п(пи/Л)/(ииб) является идеальным фильтром для восстановления непрерывного сигнала в(!) из дискретизованного сигнала зе(!).

Иначе говоря, функция з1п (пи/Гз)/(пи/Л) является идеальной интерполирующей функцией для равноотстоящих ординат, и формулу (2.4.11) иногда называют интерполяционной формулой Уиттекера. Наложение частот. Если интервал отсчета таков, что 5(/) убывает до нуля, не доходя до ~/! = !/2Л, как в случаях б или е на рис. 2.11, то можно восстановить з(/) по зе(!).

С другой стороны, если 5(/) не равна нулю за частотой /к= 1/2Л, то частотные компоненты от частот выше 1/2Л присутствуют в 5е(/) в диапазоне частот — !/2/з</(1/2/з, как, например, в случае (г) на рис. 2.11. Частота /м = 1/2Л называется частотой Найквиста и является Гл. 2, Анализ Фррье Литература наивысшей частотой, которую можно обнаружить на данных, полученных с интервалом отсчета Л, гйг за(Г) — г г! з гйт 0 ! ! Г заз Пз Р и с. 2.!1. Нреобрззовзния Фурье входного сигвзлз и днскретизовзнныз спгцв- лов для различных интсрвзлов отсчета. Если, например, Л = О,! сек, то частота Найквпста равна 5 гц, Преобразование фурье 5т()) дискретизованного сигнала на 4 гг( будет состоять из вкладов преобразования 5 (1) на'4 гц, на 10+4 = =14 гц, на — 10+4= — 6 гц, на 20+4=-24 гц, на — 20+4 = — 16 гц и т.

д. Все эти частоты, кроме первой, называются обычно двойниками (аИазез) частоты 4 гц, а их влияние на преобразование Фу- рье — явлением наложения частот (а1(аз)пд). Следовательно, при дискретизации по времени непрерывных временных рядов нужно надлежащим образом позаботиться о выборе достаточно высокой частоты отсчетов Гн= 1/2Л, чтобы избежать искажающего влияния наложения частот на 5т (Г). Явление наложения частот возникает в ряде практических ситуаппп, например при использовании стробоскопа или в кинофильмах.

Так, если в фильме колеса телеги приходят в движение, то вначале видно, что они ври!па!отея в направлении движения, затем прн возрастании скорости кажется, что направление вращения меняет..п гз обратное и скорость колес уменьшается до полной остановки, затем они начиняют вращаться с возрастающей скоростью в направлении движения и т.

д. При.ггер. Чтобы проиллюстрировать обсуждаемые в этом разделе вопросы, предположим, что желательно вычислить длину записи Т и интервал отсчета Л, необходимые для достижения некоторых целей. Предположим, известно, что изучаемый сигнал содержит две синусоидальные компоненты на частотах 100 и 99 гц. Тогда, если мы хотим различить эти пики в преобразовании Фурье, взятом от конечной записи, нам нужно, как показывает (2,4.5), взять 1)Т порядка 100 — 99 =! гц, т. е. Т должно быть порядка 1 сек.

Чтобы оценивать частоты порядка 100 гц, величина 112Л должна быть по меньшей мере 100 гц и, следовательно, Л~5 мсек. Таким образом, нужно взять по крайней мере 200 точек. Если бы нам захотелось различить две частотные компоненты на 999 и 1000 гц, необходимая длительность записи была бы все еще 1 сек, однако интервал отсчета в этом случае нужно было бы взять 0,5 мсек, так что потребовалось бы 2000 точек. Следовательно, длина записи Т определяет степень различимости пиков в преобразовании Фурье, а интервал отсчета Л определяет максимальную частоту, которую можно различать.

ЛИТЕРАТУРА 1. Ь1 йЬ 1)Н! 1 М. з., Ап 1п1гобисцоп (о Роиг!ег Апв1уьы Оепегз!Ней Риис!(опз, СвгпЬНйяе оп!ч. Ргеьь, Свптьг)ййе, 1959. 2. Рв р ои11ь А., ТЬе Роиг(ег !п1ебтв! впй 1)ь Арр11св1!опь, МсОгзчг-Н111, Нетч Уогй, 1962. 3, С о ига п1 к., РАНегеппв! впй 1п1едгв) Си!си!из, Тго1. П, В)вой)е впй боп, Ьопйоп, 1952. (Русский перевод: К у р в н т Р., Курс дифФеренциального и интсгрвльного исчисления, М.— Л., ОНТИ, 1934.) 4. 2 з от ее Н.