Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1), страница 6

Например, конечный ряд Фурье . л — 1 г(1)=Ао+2,~' (А соз2тьт~г2+В з1п2ятУг1)+А„соз2«лу,г (2,1.3) зб Гл. 2. Анализ Фурье 37 2 ! Введение л — 1 1 2лтг А = — всов— ел .дг л' ! ' 747 (2.1.6) л — 1 жх 2лтг В„= —, 2 в,в!п (2.1.7) л — 1 г= — л 0 йэьтп, 747 — й=т~=О, и, 2 О, й=гп=О, и; л — 1 4 е 8 7 8 О 10 П Время О 1 2 3 -! 2!Аг . 2лтг в!п — 'в!п 747 7У г=-л Средняя интен- сивность О, й — йгп, д! — й=п2~0, и, 2 т 2лаг 2лтг сов ', сов (2.1 .5) Аг, й = т =-- О, и.

(2.1.3) рт = агс!д ( — А ) (2.1.9) Л =)7 А'.+В'., где содержит А7 констант А и В, которые можно определить так, чтобы дискретные и непрерывные значения совпадали в точках != гб, т. е. в„(!) =в„. Следовательно, функция в (!) дает приблиркенаг к исходной непрерывной функции в(!) в интервале — Т/2=-.!( ( Т/2. Заменяя ! на гй в (2.1.3) и полагая в(ГЛ) =з„, получаем систему Л' уравнений для й/ неизвестных констант. Уравнения имеют вид в,=А,+ 2 „~' (А„сов 2лгп/1гй+ В„в!п 2лт/1ГЬ) + т=! +А„сов2лп/1ТЬ (г= — и, ..., О, 1, ..., п — 1). (2.1.4) Выбрав /4 =1/А/Л, мы сильно упростим решение системы уравнений (2.1.4), так как при этом синусы и косинусы будут ортогональны, т.

е. будут удовлетворять следующим соотношениям: л — 1 2.' 2лаг 2лтг 81п — сов ' =О, й, гп целые; Де Дг Частота /! =1/А7Л называется основной чистотой сигнала в(!); она соответствует периоду, равному длине записи, как показано на рис. 2.1, б. Величина /! измеряется в периодах в секунду, или герцах (г7!), если ! измеряется в секундах (сгк). Таким образом, функция в(!) в (2.!.3) составлена из суммы синусоидальных и косинусоидальных функций, частоты которых кратны основной частоте /1, т. е.

являются гармониками основной частоты, как показано на рис. 2.1, б, Наивысшей из присутствующих частот является и/А7Л = 1/2Л г71, что соответствует периоду, равному двум интервалам отсчета. Коэффициенты А„или В в случае /1=1/Агй можно найти, умножая обе части (2.1.4) на сов (2птг/Л7) или в1п (2птпг/Аг) и суммируя по г, а затем воспользовавшись соотношениями ортогональности (2.1.5).

Окончательные выражения для коэффициентов следующие: где т=О, 1, ..., и. АО является средним значением, или средним арифметическим, величин в„. Аналогичные выражения можно получить, когда число точек А' нечетно, скажем 2п — 1, причем единственное отличие будет лишь в том, что член Ал исчезает. Пример. Рассмотрим данные табл. 2.1., которая дает интенсивность сигналов, отраженных от одного из слоев Е в ионосфере. Приведенные цифры являются осредненными по нескольким месяцам значениями интенсивности в фиксированное время суток. Таблица 2.! Интенсииности сигинлои, отраженных от ионосферы — б — 20 — 28 — 8 — 1 7 -20 — б — 7 14 10 12 Табл.

2.2 дает значения коэффициентов Ат н В, вычисленные по (2.!.6) и (2.!.7), причем за начало отсчета времени бралось. 6 час. Коэффициент Аь например, получается следующим образом: А, = — ~ ( — 6) сов ( — 2л) + ( — 20) сов ( — — ) +... + 1 бл '! 12 ~ з) +(12) сов ~ з')) = !2 ( — 6 — 1О+...+6) = — 2,25. Амплитудное и фазовое представление.

Иногда удобнее записывать (2.!.3) в виде з (!) = Я + 2 ~~~ Я соз (2гггп~1!+ 42 ) + К„сов 2лп71!, А„=Д„сов рт, Вт =- — Д,„в!п 2,„. (2.1.10) 2ль Воедеиие 39 Тл 2 Лнализ Фурье Зз лг называется амплитудой и арго — фазой т-й гармоники относительно некоторого произвольного начала отсчета времени. В приведенных выше формулах начало отсчета времени бралось в точке, расположенной примерно посередине между первым и последним значениями б„. Если бы мы изменили это начало отсчета, то амплитуда осталась бы прежней, а фаза изменилась соответствующим образом. Амплитуды и фазы для ионосферных данных приведены в табл. 2.2. Таблица 2.2 Разложение Фурье среднеквадратичного значения сигнала, представляющего ионосферные данные Вклад а срелне- кналратнчное Источник значение 0 5,584 Среднее значение Основная гармо- ника — 3, 667 — 0,475 3, 667 5,604 180о 85 13,44 62,81 — 72 41 — 11 0 Полное количе- ство 210, 00 Теорема Парсеваля.

Среднеквадратичная величина, илн средняя мощность, сигнала е„равна л — ! Ф~7 г= — л Используя (2.1.3) и свойства ортогональности (2.!.5), можно убе диться в том, что эта величина записывается в виде л-! л — 1 —;«е, '= УЯ + 2 ~~ Я' + Я'., г=-л т =.1 (2.1.1 1) что является частным случаем теоремы Парсееаля. Другими словами, эта теорема утверждает, что среднеквадратичное значение сигнала з„илн средняя мои(настен рассеиваемая сигналом з„, может быть разложена на составляющие, даваемые каждой гармони- 2-я гармоника 3-я гармоника 4-я гармоника 5-я гармоника 6-я гармоника — 2,250 — 1,250 — 0,667 — 1,775 — 3,500 — 7, 073 — 0,250 0,577 — 0,334 0 7,422 1,275 0,882 1,806 3,500 110,17 3,25 1,56 6,52 12,25 .1 1 1 1 12 б о 3 Периоды о чоо моники.

Такой график называется линейчать(м спектрол! Фурье; для воносферных данных он показан на рис. 2.2. Комплексные ряды Фурье. Приведенные выше формулы громоздки в обращении, поэтому для удобства в работе с ними лучше выразить сигнал з, через коплексные амплитуды 5, где Ю =2(ла е =А — 78 72= — 1 (21 13) Таким образом, (2.1.3) можно записать в виде л †! (д) 1~~~ ~ 1 (амины (2.1.14) кой, Для нулевой и и-й гармоник вклад равен )(2 (гп=О, гп и), а для пт-й гармоники (п2~0, гамп) средняя мощность равна 2)42 Более удобной мерой является среднеквадратичное значение сигнала б„ относительно среднего 1(о. Оно просто равно дисперсии л — ! л — 1 оо= — «„(з, — Йо) =2 ~~ Йт+ уча„(2.1.12) г= — л ла = ! илн, в терминах электротехники, средней лгпи(ности перел!енного тока. Разложение среднеквадратичного значения б, для ионосферных данных приведено в табл.

2.2. Мы ви- в дим, что среднее значение, основная й и вторая гармоники составляют око- й ло 89!Уо всей среднеквадратичной й де суммы, что указывает на то, что дан- в ные очень хорошо приближаются с помощью модели з„= — 3,87+ 11,2 соз ( —" + 85') + + 14,8 соз ( — ' — 72') . (з 40 в Разложение среднеквадратичной ф суммы можно представить, нанеся На ГРафИК СРЕДНЮЮ МОЩНОСТЬ ГаР- к 20 моники против частоты этой гарла 1 Рис. 2.2. Линейчатый спектр Фурье (пе- М 2 риодограмл!а). Гв. 2.

Аналиэ Фурье 2НЛ Введение н теорема Парсеваля (2.1.1! ) записывается как л — 1 л — ! 1 ~л)л 2 ~л~л 2 (2.1.16) Следовательно, вклад в среднеквадратичную сумму, вносимый членом 2/22 в (2.1.1!), разделяется в (2.1.16) на две части, каждая нз которых равна (5 !2=/!2; одна соответствует частоте т/и а другая — частоте — т/!. Во всей этой книге окажется удобнее оперировать с комплексными преобразованиями.

Получаемые при этом формулы можно привести к вещественному виду, взяв действительную и мнимую части. Например, беря действительную и мнимую части от (2.1.16), получаем синус- и косинус-преобразования (2.1.6) и (2.!.7). 2.1.3. Ряды Фурье Предположим, что нам нужно получить представление Фурье для непрерывного сигнала на интервале от — Т/2 до Т/2. Заметим, что если в выкладках предыдущего раздела интервал отсчета Л устремить к нулю, то выбранные точки сигнала з„будут все полнее прослеживать непрерывный сигнал з (/).

Непрерывный сигнал а (!), на который накладываются условия, чтобы он проходил через выбранные точки сигнала е„, должен при этом совпадать с з(/), и поэтому в этом предельном случае представление Фурье е(/) будет точным представлением сигнала з (!) на интервале от — Т/2 до Т/2. Коэффициенты Фурье 5„„определяемые в (2.1.16), можно переписать в виде л — 1 1 '~2 Л вЂ” 1 а.

ь2нь! лг лга лг! г —,„з е (2,1.17) и если Л 0 и Аг- ои, так что Лг ° Л = Т, то тЛ вЂ” /, з Л- з(/)е// и сумма (2.1.17) стремится к интегралу т/2 1 ~ — д!ьлнт! Т вЂ” т!2 (2.1.18) где 5 =5л, причем звездочка означает комплексное сопряжение. Аналогично формулы (2.1.6) и (2.1.7) переходят в л — 1 5„= — )' з,е г!м "и', — п<т<а — 1, (2,1.18) Аналогично (2. !.14) стремится к (/) ~ 5 ! (!лег!22! Теорема Парсеваля (2.1.16) теперь переходит в тп зэ (2) лг ~ (5 !2 (2.1.20) — т!2 гл =— поскольку (2.1.16) можно записать в виде л — ! л-! 1 "~~ 2, ~~~ ~! 5 ~2 г=л м= — л и зэ Л вЂ” аа(/)е//, когда Л- 0 и М- ии.

Уравнение (2.!.20) утверждает, что средний квадрат непрерывного периодического сигнала е(/) можно разложить на бесконечное число вкладов от гармоник /„, = т/Т ( — ио (т < + ель) основной частоты ЦТ гц. Уравнение (2.!.19) называется представлением функции е (/) в виде ряда Фурье на интервале — Т/2 =/(Т/2. Заметим, что хотя приведенные выше рассуждения являются эвристическими, они могут быть строго обоснованы. 2,1.4. Интегралы Фурье До сих пор было показано, что с помощью тригонометрических рядов можно представить два типа сигналов.

Сигналы первого типа зг состояли из конечного числа А! ординат, отстоящих на Л сек друг от друга. Сигналы этого типа можно было бы представить на данном интервале с помощью непрерывного сигнала г(/), образованного Аг гармониками основной частоты 1/2УЛ гц. Максимальной из присутствуюших частот является 1/2Л гц, и поэтому про сигнал з(!) говорят, что он имеет ограниченную полосу частот. Сигналы второго типа в(/) были непрерывными сигналами, заданными на интервале — Т/2 =/(Т/2.

Мы видели, что сигналы такого типа можно представить на этом интервале с помошью некоторого сигнала, состояшего из бесконечного числа гармоник основной частоты 1/Т гц. В более общем случае нужно рассматривать сигналы з(!) третьего типа, определенные на бесконечно,н интервале — оэ(/ = 2, Соответствуюшнй подход является предельным случаем анализа Фурье, изложенного в равд.

2.1.3, в котором рассматриваются неограниченно увеличивающиеся отрезки бесконечной записи. По мере того как Т стремится к бесконечности, частотный интервал 1/Т между соседними гармониками становится бесконечно малым, чта приводит к непрерывному распределению амплитуд по частоте. Гл. 2. Анализ Фурье Й 'От 2 8 И Ъ 'О» я 3 х х а 'О а » !! + !! е+ »» !! ! 8 'От 'О» 8 ! 'О о 'с О » к о » «г (2.1.23) 8 '»О 8 а а а а, +! что стремится к (2.1.24) М Й (2.1.25) 8 + ~у х 8 Я что стремится к 8 '»О 8 ! ) езЯд(= ) !5(У)Р У (2.1,26) О Б о » о.

х З О с о о. а о х ас о =э о. х о х О. О» о о х о,с О Х с О в » С О О» -о о о ю ~х а к~ а о Х Чтобы продемонстрировать эти предельные рассуждения, можно переписать (2.1.19) в виде з(т) = ~~и~ (Т5 ) е т ' (21 21) ໠— — » В пРеделе, когда Т-х со, т(Т вЂ” )', 1/Т- а! и Т5„— 5 (1) Поэ и (2.1.21) стремится к интегралу .() = 75(Л""" Ч. (2.1.22) Аналогично (2.1.18) можно переписать в виде тзз Т5 = ~ З(1)Е-тза(х~т!'Нт — т!2 О 5 (Т') = ) з (т') е т 'и Ю, когда Т- оо.