Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Использование анализа времеиийх рядов при построении физических моделей атмосферной турбулентности хорошо проиллю- стрироваио в [3[. 1.3.3. Изучение частотных характеристик Хотя спектральный анализ и играет большую роль в построении моделей временных рядов, однако наиболее подходящим ои является в задачах изучения частотных характеристик. Выше упоминалось, что линейная система (!.3.1) преобразует косииусоидальиую входную волну х,(1) =- а соз 2п)е в косииусоидальиую выходную волну хз(!) = аск(!) соз (2п!е+ср([)). В гл. 6 будет показано, что если хз(!) — стационарный времеиибй ряд, то измеиеиие спектра входного процесса состоит в умножении его иа квадрат коэффициента усиления фильтра.
Значит, спектр хз(1) ра- веи Рис 1.7 показывает результат прохождения входного сигнала со спектром, обозначенным буквой а этого рисунка, через три системы, квадраты коэффициентов усиления которых даны у буквы б. В примерах, проиллюстрироваииых иа рис. 1.7, входной сигнал характеризует неровности взлетно-посадочной полосы, система представляет собой шасси самолета, а выходным сигналом является типичиая реакция самолета, такая, как ускоРение его центра тяжести. Используя результат (1.3.2), нетрудно увидеть, что сочетание входного спектра с частотной характеристикой шасси, отмеченной цифрой 3, дает выходной спектр с очень острым пиком, как показано иа рис. 1.7, в.
Это показывает, что иа данной резонансной частоте будут возникать болыпие ускорения, создающие неприятные ощущеиия у пассажиров и приводящие к большим напряжениям в шасси. Зная графики коэффициентов уси.чеиия для шасси типичных самолетов при типичных посадочных скоростях, можно составить нормативы для неровностей взлетно-посадочных полос. В только что разобранном примере можно было изменять входной спектр, конструируя соответствующие взлетно-посадочные полосы, ио характеристики шасси определяются обычно из других соображеиий и поэтому должны рассматриваться как фиксированные, Наоборот, при конструировании узлов подвески для мотоциклов и автомобилей картина обратная.
В последние годы конструирование систем подвески в некоторых компаниях основывается иа измереииях неровностей дорог в конкретной стране. Характеристики дорог сильно изменяются от страны к стране, и поэтому системы подвески должны проектрироваться соответственным образом. Изучение частотных характеристик можно применять также при конструировании самолетов и для планиРования экспериментов 3! бг ЛИТЕРА ТУРА Р и с.
17, Результат ьоздействия пиков входного спектра, амортизации и скоро сти на отклик самолета. /.4. Круг вопросов, рассмотренных в книге с целью оптимизации промышленных процессов. Эти применения обсуждаются подробнее в гл. 7. 1.4. КРУГ ВОПРОСОВ, РАССМОТРЕННЪ|Х В ДАННОИ КНИГЕ Нет ьшкакого сомнения, что спектральные методы призваны сыграть важную роль в анализе временных рядов. Однако важно уяс- нить, что они действительно имеют ограничения и должны применяться разумно. Первые результаты по оцениванню спектров, основанному на записях конечной длины, можью найти в книгах Барт- лента [7] и Блэкмана и Тычки [8]. В этих книгах рассматриваются главным образом вопросы оценивания спектров одиночных временных рядов.
В настоящей книге эти понятия распространяются на случай оценивания спектров и взаимных спектров нескольких временных рядов и их последующего использования для оценки коэффициентов усиления и фазовых характеристик линейных систем. Несколько разделов спектрального анализа не включены в эту книгу. Среди них важным является спектральный анализ случайных процессов, зависящих от нескольких переменных *1, например высбты океанских волн как функции земных координат.
Другой опущенный раздел — спектры высших порядков, например биспектр. Спектры высших порядков полезны при анализе негауссовских процессов и нелинейных систем. Случайные поля были опущены нз-за того, что книга и так уже очень велика, Что касается нелинейных спектров, то они были опущены главным образом потому, что, по нашему мнению, дополнительные усложнения, вносимые этими спектрами, затрудняют их широкое использование. По данным, имеющимся к настоящему времени, чувствуется, что параметрические методы больше подходят в этих ситуациях.
1. Сг г а п бег С. цг. Л., брес1гаь Лпа1уыз о! Есопопйс Типе 5епез, Рг1псе1оп 1Лп!ч. Ргезз, Рппсе1оп, !964 2. Во х Сс Е. Р., Л е ой ! п з Сг. М., Типе 5епез Лпа!уяз Рогесазцпя апб Соп1го1, Но!4еп-Рау, 5ап Ргапсмсо, 1970. 3. 1.н гп!еу Л. 1, Р а по1з 1с у Н. Л., Тье 5!гнс1нге о1 А1пюзрьепс ТнгЬн)енсе, Лойп ты!!еу, Ь)еьч уогй, !964.
|Русский перевод: Л а м ли Дж., Пан о вски и й Г., «Структура атмосферной турбулентности», М., изд-во «Мир», 1966.) 4. В а 1с Ь е ! о г С. К., Тье ТЬеогу о1 Ногоодепеонз ТнгЬп!епсе, СагаЬгЫКе 1)пьч. Ргезз, СапьЬг!дяе, !953. 5, %!е пег ЬЬ., ТЬе Ех1гаро!ацоп, !п1егроьаиоп апб 5пюоь|цпя о1 51апопагу Типе 5ег!ез тч!1Ь Епя!пеег!по Арр!!саиопз, Лойп цг!!еу, ЬЧеьч уогй, 1949, *ь В советской литературе такие случайные процессы называются случайными полями.— Прим. перев.
32 Лигератира Глава 2 АНАЛИЗ ФУРЬЕ 2.1. ВВЕДЕНИЕ 6. 1.а п1 ив о. Н., В а 11! п й. Н., йапйогп Ргосеааеа !и Ашогпапс Соп1го1, Мсбгатч-Н!!1, Мечт Уогй, !956. (Русский перевод: Л а н и н г Дж Х., Б тиа Р. Г.,С нг ж, ет- ИЛ, !958.! ., Случайные процессы а задачах автоматического упраал, М,, рааления, 7. В а г11е11 М. 8., Ап !п1гойоспоп 1о 5!осьаа!!с Ргосегаеа гч11Ь зрес!а! йе1егепсе 1а Мегиова апд Арр!!сакопа, СагоЬгшйе !!п!ч. Ргеаа, СагпЬпдйе, !953. (Русский перевод: Б а р т л е тт М.
С., Введение а теорию случайных п оцессоа, М., ИЛ, 1958). случа ных про- 8. В ! а ой гп а п й. В., Т о й е у о. %., Тйе Меаапгегпеп1 о1 Роя ег зрес!га !гоги Гйе Ро!и! о1 %етт о1 Сопппоп!са!юпа Епи!пеег!пй, !Эотег, Ыеы уогй, !958. Спектральный анализ объединяет два важных теоретических подхода: статистический анализ временных рядов и методы анализа Фурье. Последние не нуждаются в подробном изложении для инженеров, так как значительная часть инженерной подготовки базируется на этих методах.
Однако ради полноты изложения и для удобства других читателей в этой главе будут описаны те понятия анализа Фурье, которые необходимы для анализа временнйх рядов. В последующих главах будет показано, как должны быть модифицированы методы Фурье для обработки функций времени, которые являются скорее статистическими, чем детерминированными. 2.1.1. Роль анализа Фурье в принладной математике и в технических науках Аналитические методы, развитые Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768 †!830), сыграли важную роль в развитии прикладной математики. Особенно важны онн для трех приложений: а) для изучения периодических решений физических задач, описываемых дифференциальными уравнениями, особенно уравнениями в частных производных, например, для изучения волновых колебаний струн, возбужденных щипком, или для передачи электромагнитных волн по волноводам или кабелям; б) как операционный способ решения дифференциальных уравнений; например, обыкновеи» ные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами можно перевести с помощью преобразования Фурье в алгебраические уравнения; в) для приближения непериодических функций.
В этой книге мы будем иметь дело в основном с последним слу. чаем и лишь эпизодически с решением дифференциальных уравнений. Периодические решения физических задач рассматриваться не будут. В качестве примера приближения непериодической функции рассмотрим детерминированную функцию з(г) времени г, которую будем называть сигналом и которую нужно аппроксимировать с помощью выбранных подходящим образом периодических функций. Детерминированный сигнал является функцией, которая 2 закат м ипо Гл. 2.
Анализ Фурье известна точно для всех моментов времени, и поэтому представляет математическую идеализацию. Примерами детерминированных сигналов являются з(1)=е ''~, — оо <1(~со, илн з (1) = а соз 2згЛ,г', — оо ( 1~( оо, Многие сигналы, встречающиеся на практике, полезно рассматривать как детерминированные, например следующие; напряжение в сети как функцию времени; выход генератора прямоугольных волн; перемещение предмета, подверженного внезапному воздействию постоянной силы; ток, протекающий через сопротивление, когда оно внезапно замыкается на заряженный конденсатор. Размерность первых двух сигналов выражается в вольтах, третьего — в метрах и четвертого — в амперах. Однако размерность сигнала могла бы быть и метром в секунду, если бы сигнал был скоростью, и единицей температуры, давления и т.
д. Для того чтобы не возникало противоречий, всегда будет предполагаться, что 1 измеряется в секундах, а з(1) — в вольтах, поскольку в большинстве практических приложений изучаемая физическая величина перед регистрацией переводится в напряжение. Детерминированная функция, упомянутая в первом случае, является непериодической, в то время как во втором случае функция — периодическая. Слово «периодическая» означает, что сущест-. вует число Т, называемое периодом функции, такое, что з (г) = з (г + Т) (2.1.1) для всех й Между моментами времени 1 и 1+Т функция может иметь совершенно произвольную форму. Особенно простой формой обладает косинусоидальная функция в упомянутом выше примере, которая имеет период Т = 1/1г, так как а соз 2тг Т, ~1+ — ( = а соз 2я Т,г'. 11 л/= Непериодическую функцию можно представить, используя любой класс периодических функций.
В анализе Фурье такими функциями являются синусоидальная и косинусоидальная. Они обладают важным свойством ортогональности, так что коэффициенты можно находить независимо друг от друга. 2.1.2. Конечные ряды Фурье Рассмотрим сигнал, заданный лишь в дискретные моменты времени, и предположим, что нужно разложить его по периодическим функциям. Дискретный сигнал можно рассматривать как полученный из непрерывного сигнала з(г) длительности Т прн отсчете зна- 2,д Введение чений сигнала через интервалы времени Л, как показано на рис. 2.1а.
Это дает тв' = Т1гь выбранных значений з„, где з,=з(г'=гй). (2.1.2) Для удобства будем считать, что У четное и равно 2п, так что г может изменяться по целым числам — и,..., О, 1,..., а — 1. Р и с, 2А, а — дискретный сигнал, полученный выбиранием нз непрерывного сит« нала; б — основная синусоида и гармоники. Заметим, что периодические функции, проходящие через значения сигнала в указанные У моментов времени, могут быть выбраны бесконечным множеством способов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
