Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Поэтому эти системы ведут себя как фильтры низких частот и соответствуют некоторой форме интегрирования или сглаживания входного сигнала, 3. Номер 7 соответствует колебательной системе, описываемой уравнением (2,3.8). Здесь график коэффициента усиления имеет резонанс, или пик, иа частоте !'= 1' (1 — 2ьз) Ь где !и — естественная резонансная частота системы. 4. Номера 8 и 9 имеют графики коэффициентов усиления, такие, что более низкие частоты ослабляготся, а более высокие частоты проходят. Эти системы действуют как фильтры высоких частот и включают в себя дифференцирование входного сигнала. Дальнейшее различие между категориями (2) и (4) состоит в том, что в (2) интегрирование входного сигнала приводит к отрицательиым фазам гр(!), т. е.
выходной сигнал запаздывает по отиошеиию к входному. С другой стороны, в (4) дифференцирование входного сигнала дает положительные фазы, так что выходной сигнал опережает входной, как это имеет место иа графике номер 9. Ширина полосы частот. Удобный способ описания функции усиления линейной системы можно получить, используя ее ширину полосы частот ]5]. Были предложены различные определения ширины полосы частот; в простейшем из иих для определения используется такая полоса, в которой моШиость уменьшается до половины максимального значения.
Для системы, имеющей максимальиое усиление иа частоте 1о, шиРина полосы частот определаетса как Разность 1з — 1ь где 1г и !з выбраны так, что 0" (Т) =0з(Т) = — 0з(.У). 1 од очной экспоиеициальиой системы максималь. иое усиление достигается при !о =О, а усиление, равное половине максимального, — при уг = — 1/(2пТ). Следовательно, если Т велико, «~ В орнгннз«зе в11-рззз зуыегвз. Иногда нх называют «фззовымн свстемвннь поскольку онн воздействуют лишь нз фвзу.— Прим.
перез. 2д, Линейные системы и свеРтки то ширина полосы частот очень мала, как можно увидеть на рис, 2.8. Таким образом, отклик на единичный импульс будет очень широким и небольшим по амплитуде. С другой стороны, для малых Т, ширина полосы частот велика и отклик на единичный импульс очень высокий и узкий, В пределе, когда Т вЂ” О, ширина полосы ча. стот становится бесконечной, как для простого усиления на рис. 2.8, и отклик на единичный импульс стремится к дельта-функции. Следователь овательно,широкие полосы частот соответствуют узким функциям отклика на единичный импульс, и наоборот, узкие полосы частот соответствуют широким функциям отклика на единичный импульс. Устойчивость. Системы, приведенные в табл. 2.6, могут быть представлены дифференциальным уравнением следующего общего вида: + ...
+а +аоу(г) ы трв ' ' ' 1 й( — + „ + ь| " (' -) + ь, (Ь .). (2.3.18) й(" И Ю ы ы о н а о о. ь Е н Д о о и о :е и Подставляя в (2.3.18) х(г) =еьокт', у(() = Н(1)е"к(', получим, что частотная характеристика равна Н )— Ьв (22кг)" + ... +Ь|(22кт) + Ьо е )ыге (2 3 19) и (т2иу)ы.(- ... +а,(рйиу)+ао Подставив в (2.3.!9) р=)2п( и приравняв знаменатель нулю, получим характеристическое уравнение системы, а именно а„р" + ... + а,р+ а, = О. (2.3.20) м ы ~2.
Можно показать [4[, что условие устойчивости системы (2.3.11) эквивалентно условию, что все корни пь нм ..., и характеристического уравнения (2.3.20) имеют отрицательные действительные части. о и. 2.3.4. Отклик на произвольный входной сигнал Если известно, что отклик системы на вкодной сигнал х(Г) = = е)а т' равен у(() = Н(1)егзиге, то можно найти отклик на произвольный входной сигнал. Сначала надо взять преобразование Фурье от этого входного сигнала: ОЭ Х(Т) = ) х(г)е ' ь)г.
(2.3.21) б4 Гл. 2. Аналаэ Фурье 22 Лаисйкые системы и свертки Составляющая Фурье выходного сигнала на частоте 1 равна = ~ й(и)е ' "суи ~ х(и)е сп г'суп, (2.3.22) где о =! — и, т. е. 1' (у') = Н (Г') Х (у'). (2.3.23) Уравнение (2.3.23) показывает, что составляющая выходного сигвала на частоте 7 получается из составляющей входного сигнала на той же частоте с помощью умножения на Н(1) — значение частотной характеристики на этой же частоте. Наконец, чтобы возвратиться к у(1), нужно синтезировать, или просуммировать, составляющие от всех частот при одном и том же значении й что дает у(1)= — ) 1'(У)е~'~ Ц= ) ХЯН(7)е~'ЛЦ.
(2.3,24) Равенства (2.3.22) — (2.3.24) показывают, что свертка во временнбй области эквивалентна перемножению в частотной области. Следовательно, если между двумя переменными существует соотношение в виде дифференциального уравнения (2.3.18), то решение равно (2.3.24), где частотная характеристика дается выражением (2.3.19). Следовательно, преобразование Фурье дает очень полезный операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.
Нахождение решения можно ускорить с помощью таблиц преобразований. Таблица преобразований обобщенных функций приведена в [1, 4м1; преобразования Фурье обычных функций имеются в 16, 5*). Несколько линейных систем, соединенных последовательно. Рассмотрим й не влиявших друг на друга линейных систем, соединен- Р ис.
2.9. Несколько линейных систем, соединенных последовательно. ных последовательно, как показано на рис. 2.9. Повторное использование (2.3.23) дает ) Я = Н, (~) Не, (Г) ... Н, (~) Х Щ, (2.3,25) откуда видно, что для последовательно соединенных линейных систем полная частотная характеристика равна произведению частотных характеристик отдельных систем.
Используя (2.3.17), полу- чаем, что полный коэффициент усиления равен произведению отдельных коэффициентов усиления: О (Г) .= ~~ (У) Ое (У) ° ° ° Сьь (Г) (2.3.26) а полный сдвиг фазы равен сумме отдельных фазовых сдвигов: :й(Г) = ь1(Г) + йи (Г) + + йе (7) (2.3.27) Выходной сигнал этой системы можно теперь вычислить, суммируя,вклады от всех частот в виде у(1)= ) Н,(у)Нэ(Г)...
Нь(!)Х(Г)е'"~ Ц. (2.3.28) Заметим, что при этом интегрирование проводится только один раз, в то время как выкладки во временнбй области потребовали бы вычисления й интегралов свертки. 2.3.5. Линейные уравнения в конечных разностях В предыдущих разделах было показано, что систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением, можно также описать с помощью функции отклика на единичный импульс й(и) или же частотной характеристики Н(!"), причем й(и) и Н(!) образуют пару преобразований Фурье. Функции Ь(и) н НЯ легко получить из дифференциального уравнения, описывающего систему. В этом разделе показано, как можно использовать отклик на единичный импульс и частотную характеристику длн описания системы, заданной с помощью линейного разносгного уравнения.
Линейное разностное уравнение — это уравнение вида Ус="1ус-1+ а~ус-х+ ° ° + а,ьус — т+ рокс+ ° ° + рвхс — в (2 3 29) Его общее решение имеет впд У .ли~в ьх — ь в=о Величины у,, у, ь ..., у, „, и х,, х„ь ..., хс „мотли бы быть значениями непрерывных сигналов у(1) н х(1) в моменты времени 1= гЛ, (г — 1)Л,..., (г — т)Л, (г — п)Л соответственно, т. е. у (1) =- а,у (1 — Л) + а.,у (! — 2Л) + + . +а У(1 — псЛ)+р„х(1)+ ... +Рвх(1 — пЛ), (2,3,31) Преобразование Фурье от (2.3.3!) можно записать в виде З,+И -сдьгь-1- ... —.З,в-д Га' (э ) — П-..Г э „,— ркрп ь ь — а,в " — ° ., — а,ве 3 зьквэ м нио 2.З.
Линейно~в системы и свертки 67 Гл. 2. Аналиэ Фурье так что частотная характеристика системы Н()) равна, согласно (2.3.23), оо+т1« ~ 7 + ''' + тле (2332) — а1е тэ'т — ... — вне Частотная характеристика НЯ и дискретная функция отклика на единичный импульс й«связаны соотношениями Н (У) ~я~~ т — )2ат'«ь (2.3.33) «=о !по «) Ь«=Ь ~ Н(~)еп"г" Ц.
(2.3.34) — !дэ Ы г-преобразования. С частотной характеристикой (2,3.32) лучше всего обращаться, если сделать замену вида г=е'э'"", что приводит к выражению Н(г) — """, + "'+'"'. — .)', М«г-'. (2.3.35) 1 — а1« — атэ и «=-о (1 — аг' — агэ — ...— аг )у,= = (ро + р,г ' + ... + р„г ")х„ (2.3.37) т. е. (йт + 6'е + ''' + тл ) х = — Н (г)х (1 а,е-' —,, аде-") где Н(г) является передаточной функцией дискретной системы. Раз ложение Н(г) по степеням г — ' дает у,= ~'„7««г 'х,= ~~~ й«х, «, « =.о «=о что является общим решением (2.3.30). Устойчивость. Вынося множитель г- за скобки в знаменателе (2.3.35), заменяя г на р и приравнивая этот знаменатель нулю, по.
Это выражение называется г-преобразованием [7) функции отклика на единичный импульс Ам С операционной точки зрения переменную г в (2.3.35) можно рассматривать как оператор сдвига, обладающий свойством г «х,=х, (2.3.36) Следовательно, разностное уравнение (2.3.39) можно записать в виде а его корни равны а~ — 1, а, + 4ао к, 2 Функция откчика на единичный вид а + )/а«+ 4а (2.3.42) импульс для этой системы имеет (2.3.43) для действительных корней, т. е. когда аэ~ — 4а«.
Когда корни комплексные, т. е. при а' ~ — 4а«, 1 «вгн 2а~о («+ 1) (2.3.44) где ,, =Атет ьт', а,=«се ' т". Система устойчива при условии ! п«1 с1, ~п«! (1, т. е. при усло- вии, что ат и аэ лежат внутри треугольной области; а,+а (1, а, — а«..л — 1, (2.3.45) — 1 ( .,(1. лучаем характеристическое уравнение дискретной системы р"' — а,р"' ' — ...
— а,„=О. (2,3.38) Условие устойчивости, соответствующее (2.3.11), будет иметь вид ~, '~й«~(К' «=-о Аналогично условие устойчивости, соответствующее (2.3.20), состоит в том, что корни пь ..., и характеристического уравнения (2.3.38) должны лежать внутри единичного круга. Пример. Рассмотрим разностное уравнение второго порядка: у, = а ~у.-~ + а«у.— э + х ° (2.3.40) Оно имеет г-преобразование (1 — а,г ' — а«г ')у, =х„ и, следовательно, передаточную функцию Н(г) = ! (2.3.41) Характеристическое уравнение имеет вид рэ — а,р — аэ — — О, Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
