Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Заметим, что события в выборочном пространстве можно обозначать многими способами. Например, некоторая случайная величина могла бы быть связана с числом дефектных изделий в выборке. В этом примере случайная величина Х принимает значения х=О, 1, ..., 100. В общем случайная величина является функцией, которую можпо использовать для обозначения множеств нли событий в выборочном пространстве. Основными понятиями, необходимыми для описания примера с контролем качества, являются вероятность и распределение вероятностей. Вероятность равна отношению числа событий, в которых случайная величина Х принимает значение х, к общему числу событий; она записывается рх (х).
Множество чисел р.т (х), х=О, 1, 2, ..., 100, является распределением вероятностей. Каждая из вероятностей является неотрицательной величиной, и их сумма равна единице. Оценку рх (х) можно получить из наблюденных отношений пя!1ч', определенных в (3.1.2). При увеличении полного числа прове)аяеыых транзисторов й! отношения и»!11 дают все лучшие и лучшие оценки вероятностей рх (х).
Иногда можно вывести математическую формулу для рх (х), сделав разумные физические предположения. Например, подходящим распределением вероятностей для описания задачи с транзисторами является бина,ииальное распределение и рх(х)=-~ )О'(1 — 8)", х=-О, 1, ..., и, (3,1.3) 82 Гл. 3, Теория вероятностей где н — объем выборки и  — вероятность того, что транзистор является дефектным. Параметр В можно оценить по наблюденным данным с помощью следующего соотношения: Число дефектных транзисторов 355 Полное число проверенных транзисторов 5000 Используя В вместо истинной величины В, можно оценить вероятность того, что случайная величина Х примет значение х, по формуле рх(х)=~ )(0,071)" (0,929)'~, х=0, 1, ..., 100.
(3.1,4) Следовательно, в группе из 50 выборок, каждая из которых имеет объем 100, предсказываемое число выборок с х дефектными изде- лиями равно нз = 50рх (х). Таблица 3.2 Сравнение наблюденных частот с ожидаемыми частотами, вычисленными по биномиальиому распределению, подобранному к данным о транзисторах В табл. 3.2 наблюденные частоты ни сравниваются с ожидаемыми частотами и, в предположении, что модель (3.1.4) верна.
Мы видим, что наблюдается хорошее согласие и, следовательно, (3.1.4) является адекватной вероятностной моделью для этой ситуации. Вопрос о том, какую из вероятностных моделей использовать в конкретной задаче, является ражным, и для получения ответа на него нужно использовать все и1незощиеся в распоряжении данные 33 Частотные распределения и расяределения вероятностей 83 и относящуюся к сути явления информацию. Ответ не может быть продиктован математикой, но должен быть получен в результате тщательного анализа физической ситуации.
3.1.2. Непрерывные случайные величины и распределения Во многих случаях нужно описывать ситуацию с помощью яепрерсчвяой случайной величины, т. е. случайной величины, опреде.ченной на выборочном пространстве, которое является непрерывным. Например, рис, 3,3 показывает частотное распределение тока ч 'Я Е и.. ой из О5 13 85 йб Д5 3 О Зю5 4сб 4,5 5,0 Тол карпентера,мка Р и с. З.З. Точечная диаграмма аля токов коллектора, коллектора для выборки, состоящей из )У =100 транзисторов. Поскодьч«величина тока может принимать любые неотрицательные значения, нужно ввести случайную величину Х, принимающую значение х из непрерывного выборочного пространства 0(х(оо, Рис, З,З показывает, что иногда сразу четыре транзистора имеют одну и ту же величину тока.
Однако если воспользоваться более чувствительным амперметром, то может случиться так, что никакие две точки на оси силы тока не совпадут и, таким образом, бессмысленно строить распределение частот. Следовательно, нельзя говорить о вероятности осуществления конкретного значения непрерывной случайной величины Х, скажем х= 2,000 мка функция распределения. Хотя и бессмысленно рассматривать вероятность того, что некоторая непрерывная случайная величина Х принимает конкретное значение х, тем не менее можно опреде.
лить вероятность того, что Х будет меньше некоторой величины х, т. е. Рг(Х(х). Эта вероятность записывается гх(х) и называется функцией распределения. Типичная форма такой функции показана на рис. 3.5, где видно, что она стремится к значению 1, поскольку Вх(оо) =!. Функцию распределения можно оценить с помощью доли значений выборки, не превосходящих данной величины х. Выборочная функция распределения для данных, приведенных на рис.
3.3, Гл. 3 Теория вероятностей й0 0,0 и 0,5 и 0,4 (3.1.8) показана на рис. 3.4. Она состоит из ряда скачков высоты и,!Л', расположенных над значениями, из которых состоит выборка. 025 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 30 З,5 4,0 4,5 5,0 То«юллектпоратмка Рис. 3.4. Выборочная функция распределения для данных рис. З.З. Плотность вероятности. С функцией распределения гк (х) связана плотность вероятности )х(х). Она задается соотношением й Г х ( л ) ух(х) = при условии, что функция распределения достаточно гладкая, так что ее производная существует.
Этого не будет, если случайная величина является дискретной, так как функция распределения в этом случае имеет скачки, или разрывы, в точках, соответствующих дискретным значениям Х. Плотность вероятности не является распределением вероятностей, но ее можно использовать для вычисления вероятностей, Так, интегрируя (3.!.3), получаем вероятность того, что случайная величина Х меньше х: .к, Рг(Х(х,) =Гх(х,)= ) ух(х)дх. (3.1.6) а вероятность, что Х лежит в интервале от х1 до хт, равна «т Рг ~ х, <Х(х ) =Ут (х ) — Тт (х,) = ) Т (х) с(х, (3.1,7) По определению )х(х) имеет следующие свойства: Ух(х))~0 для всех х; ~ ~.(х)ох=1.
(3,1.8) Злп Частотные распределения и распределения вероятностей 85 Нормальная плотность вероятности. Одной из наиболее важных плотностей вероятности в статистике является нормальная, или гауссовская, плотность вероятности Тх(х)= ~— ехР( — о ( ) ), — ~(х(со (31 и) У показанная на рис.
3.3 вместе с ее функцией распределения. Нормальная плотность вероятности полностью задается двумя паралтетрами р и оа и будет обозначаться Л(р, о'). Она может быть использована для описания многих практических ситуаций, например р г ! ) «г !к) ,и-ЛГ )т-2р те-в р те'чт )т+ 2в р . 3 р м Р и с.
З.б, Нормальная плотность вероятности и функция распределения. для характеристики диаметра обрабатываемых на станке деталей или срока службы электрических ламп. Этот факт можно объяснить с помощью центральной предельной теоремы, которая утверждает, что плотность вероятности суммы л случайных величин 1=Хе+Ха+...=Х„сходится очень быстро к нормальной при увеличении л независимо от того, каковы плотности вероятности отдельных Хь Таким образом, если окончательное измерение х является результатом многих мелких эффектов, действующих аддитивно, то следует ожидать, что нормальная плотность вероятности будет хорошо описывать ситуацию.
Во многих других ситуациях может существовать некоторая подходящая функция д(Х) от случайной величины Х, имеющая приближенно нормальное распределение. Например, плотность вероятности логарифма емкости конденсаторов на некоторой поточной линии хорошо описывается Гл. 3. Теория вероятностей нормальной плотностью. Как и в дискретном случае, вопрос о применимости конкретной плотности вероятности может быть решен только после т!цательного анализа данных и относящейся к сути явления информации. Один из способов оценки плотности вероятности состоит в построении гистограмтлы. Она показывайт долю р(п) наблюдений, О,б 0,б 3.1.4.
Двумерные распределения 0,1 Р и с. 3.6. Гистограммы длн данных о коллекторном токе. лежащих в интервале от (и — — ! 6 до ~п+ — ! 6. Так как 21 ~ 21 Рг ~~а — — о <Х~((п+ — )г о? (ггб), п=О, 2; 1, + 2, ! (3.1.11). Й - 0,4 Е 'У 0З к 0,2 3.1.3. Оценка плотностей вероятности 1 2 д 4 5 Ток кояяека!ора,мка 3.1. Частотньге распределения и распределения вероятностей 87 то выборочной оценкой плотности вероятности является функция (пб)=- ! ), п=О, + 1, ..., состоящая из прямоугольников ширины 6.
Рис. 3.6 показывает гистограмму данных о токе, приведенных на рис. 3.3, для двух значений ширины интервала 6, а именно 0,4 мха и 1,0 мка. Выборочная оценка, использующая широкий интервал, является сравнительно плавной и скрывает ббльшую часть тонкой структуры данных. Наоборот, узкий интервал дает более детальную картину, но выборочная оценка в этом случае более изменчива, так как в каждый интервал попадает меньшее число наблюдений. Таким образом, нужно принимать компромиссное решение, учитывая противодействующие требования подробной детализации и большой изменчивости.
В гл. 6 будет показано, что аналогичные рассуждения применимы и при оценке спектров. Иногда для описания практической ситуации необходимо использовать несколько случайных величин. Примером может служить сравнение отсчетов акселерометра, производимых пилотом,, с бочее точными измерениями, получаемыми автоматическим регистратором. Данные этого эксперимента показаны на рис. 3.?, где на график нанесены одновременные отсчеты пилота (хг) и регистратора (ке).
Рис. 3.7. называется диаграммой разброса; она может быть использована для построения двумерной гистограммы с помощью подсчета числа точек в прямоугольниках на плоскости (хг, хя). Данные, приведенные на рис. 3.7, можно описать с помощью двух случайных величин Хг и Хь где Хг относится к отсчетам пилота, а Хе — регистратора. Выборочное пространство для этого примера представляет собой область хг~О, ха~О, но в общем случае оно может быть и целой плоскостью (хь ха).
С этим общим выборочным пространством можно связать деумернуто функцию распределения Р!т (х!, х,) = Рг ( Х, ( х,, Х, (~ х, ) . (3.1,10) Как и в одномерном случае, если функция распределения является достаточно гладкой, се можно проднфференцировать, в результате чего получится двумерная плотность вероятности 89 Гл. 3. Теория вероятностей 2,0 л,в б,в 2,0 — оо =.. Х,, Хг:~ со, (3.1.17) Следовательно, функцию распределения можно выразить через плотность вероятности с помощью Ргг(х„хг) = ) ),У,г(УР Уг) сй, сйг. (3.1.12) Плотность вероятности (3.1.11) можно оценить по двумерной гистограмме точно так же, как была оценена плогность вероятности )х (х) по одномерной гистограмме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
