Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 11
Текст из файла (страница 11)
М., Ы)ей о 1ь Н. В., Р5 !11)р ь Рт. 8., Т!теогу о1 5егчопгесьвп!ьгпь, НсОгвтч-Н!11, Неьт уогй, 1947. (Русский перевод. Джей м с Х, Н ик о л с Н., Ф и л л и п с Р., Теория следяигих систем, М., ИЛ, Г953,) 5 В обе Н. цг., Не(иогй Апв1уйь впй РеейЬасй Апгр)!!1ег Оеййп, Тгзп Ыоь1гзпй, Метч Уогй, 1945. 6. С зги р Ье)! О. А., Ро ь1е г и. М., Роиг1ег 1п!ейгв1з 1ог Ргвспсв) Арр!)свПопь, Йвп Ноыгвпй, )йети Уогй, !962. 7.
з' и г у Е. 1., ТЬеогу впй Арр)кв1!опь о1 !Ье з.Тгвпь(оггп Мерцай, зо!тп ТУ!!су, Неге Уогй, !964. 75 равно /2пу8(/) =/2куе '~. (Г(2.1.1) равно где з(/)=е "', 3(/')-е '~*. ПРИЛОЖЕНИЕ П21 ОПЕРАТОРНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ На протяжении всей этой книги нам потребуется выполнять различные операции с преобразованиями Фурье. Ниже приводится их сводка.
Изменение масштаба времени и сдвиг начала координат. Если з(/) имеет преобразование Фурье о(/), то преобразование Фурье от з(а/+5) равно Пример. Из табл. 2.5 мы видим, что преобразование Фурье от е "" равно о(/) =е ' . Следовательно, преобразование Фурье от ! у 2тт о ! ЕД'7' " В( 2л оЯ = )тт2 т аЕ Г"~" а= 1ь. У2а а " Гт2е а' Дифференцирование. Если з(/) имеет преобразование Фурье 3(/), то т-я производная з1 1(/) имеет преобразование Фурье (/2«У) ~(У) (П2.1.2) при условии, что эта производная существует.
Пример. Как и в предыдущем примере, используем пару преобразований из табл. 2.5: Операторные ееойетеа преоброэоеанпй Фурье Получаем, что преобразование Фурье от з(т) = ~~ (е " ) = — 2тт/е " Интегрирование. Если з(1) имеет преобразование Фурье 5(/), то преобразование Фурье от /"'з(1), где /з(г)= ) з(и)е/и, равно )" З(/) ( Кр(/)+КэЗ (/)+ ...
+К.й '(/). (П2.1.З) Константы Кт, К», ..., К в (П2.1.3) можно определить, используя значения функций з(/), т/з/т//, ..., т( з/е(/ в нуле, например (О) = ) о (/') г(/'. Пример. Функция предыдущего примера з(т)= — 2п/е "' имеет преобразование Фурье 3(/') =/2тт/'е е~.
Следовательно, преобразование Фурье от зт(г)= ) з(и)е/и=е " равно ~,(р) = —,',-з(/)+К,за=.-'+К;. (/). Интегрирование обеих частей по / дает з, (О) = — ~ е еР т/У+ К, = 1 + К,. Но зт(0) = 1 и, следовательно, Кт = О. Симметрия. Если о(/) есть преобразование Фурье от з(/), то ю(/) есть преобразование Фурье от Я ( — 7). 76 Приложение П2.1 е~, /.О, О, /с О.
(П2.1.7) в-', />О, е', /'(О, О, /') О. равно Е !р!, — оо(у'(со, Пример. Преобразование Фурье от функции равно 5 (/) =1/(1+/2п/). Следовательно, преобразование Фурье от з(!) =1/(1 — /2п!) равно Аналогично преобразовайие Фурье от з(!) =1/(1+/2п/) равно Следовательно, преобразование Фурье от 2 1 1 1+(2е!)а — ! /2н~ + 1+дан! Свертки и теорема Парсеваля. Мы приведем эту теорему в более общем виде, чем результаты (2.1.16), (2.1.20), (2.1.26), выведенные в равд. 2.1. Обобщение утверждает, что если зт(!) и зе(!)— два комплексных сигнала с преобразованиями Фурье 5т(/) и 5,(/) соответственно, то ) зь (т) за (г) вй = ) 5ь (У) 5а (Г) сто (П2.1.4) где звездочка означает комплексное сопряжение.
Иногда бывают полезны три специальных случая формулы (Г12.1.4): а) Если з*, (е) = /е(и — !), то (П2.1.4) сводится к сь ьь ) г, Я/е(и — !) г// = ) 5ь (/) Н (/) е1~™ в//. (П2.1.6) б) Если зт(1) и зе(!) действительны, то (П2.!.4) сводится к ) з,(/)за(!)вй= ~ 5,(/)52( — ЙЦ.
(П2.1.6) Операторные свойства ареобравований Фурье в) Если з (!) = за(!) = з(1), то (Г12.1.4) сводится к ~ ~з(/)Р//= ~ ~5(У)Р У. Теорема Парсеваля в форме (П2.!.7) включает в себя эту же теорему в форме (2.1.26), выведенную в равд. 2.1. Заметим, что из-за симметрии преобразования Фурье сигнал н его преобразование можно поменять ролями. Например, а) ) 5ь(У)5 (Ы вЂ” У) Ч=) з,(!)з,(/)вп™ й, (П2З.6) б) ) 5,(г)5е(г) о(/ = ) зь(т)з,( — /)сК (П2 1 9) а симметрия соотношения (в) видна непосредствешю.
Следует отметить, что упомянутые выше операторные свойства применимы точно так же к конечным и бесконечным рядам Фурье. Трн формы теоремы Парсеваля, выведенные в разд. 2.1, служат примером этому. дд. Частотные распределения и распределения вероятностей распределение, как показано в табл. 3.1 и иа рис. 3.2. Эти иллюстрации изображают п„— число выборок с х дефектными изделиями — как функцию от х для пятидесяти выборок, приведенных 70 70 50 помер выбоРки (0 Р и с. З.! Число дефектных транзисторов в 50 выборках объема !00.
Таблица 3 т пл пх на рис. 3.1. Частотное распределение показывает, что в то время, как число дефектных образцов в выборке изменяется от ! до 16, большинство выборок (90%) имеет от 3 до 11 дефектных изделий, Глава 8 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Эта глава содержит краткое описание тех понятий теории вероятностей, которые необходимы для понимания задач с временными рядами. Равд. Зд иллюстрирует нодход, с помощью которого статистик описывает физические явления, пользуясь выборочным пространством, случайной величиной и распределением вероятностей. В равд.
3.2 рассматриваются способы приближения распределения вероятностей с помощью его первых моментов. Наконец, в равд. 3.3 обсуждаются выборочные распределения некоторых полезных функций от случайных величин, таких как среднее значение и дисперсия. 3.1. ЧАСТОТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В гл. 1 было показано, что детерминистические модели не всегда могут адекватно описывать физические системы. Поэтому, когда системе свойственна неопределенность или она подвержена случайному изменению, необходимо использовать недетерминистическне или случайные модели. Математическая теория, лежащая в основе таких случайных моделей, называется теорией вероятностей. 3.1.1.
Дискретные случайные величины и распределения В качестве примера физического процесса, которому свойственна неопределенность или случайная изменчивость, рассмотрим данные, приведенные на рис. 3.1. Они показывают флуктуации числа дефектных транзисторов в последовательных выборках объема 100, взятых случайным образом с выхода поточяой линии, Такой выборочный контроль необходим для поддержания качества продукции, а график числа дефектных изделий х в зависимости от номера выборки называется диаграммой контроля качества. Диаграммы контроля дают наглядную картину изменения данных и используются для получения заблаговременных предупреж. дений о том, что произойдут изменения качества, Количественное ,утверждение об изменчивости можно получить, построив частотное и и !5 о и 4 !0 и м Ю б Частотное распределение числа дефектных транзисторов в выборке (по пятидесяти выборкам объема ЮО) 3.!.
Частотные росяредеяения и роспредеяеяия вероятностей 81 80 Гл. 3. Теория вероятностей Итак, по.зное число проверенных выборок равно а ~~ п»=Л!, »=о где й — наибольшая величина, которую может принять х (она равна 1ОО в этом примере). Отсюда следует, что (3.1.2) я б ы В В кт 4 н к о о йг с 5 б 7 б б !О П !2 !3 !4 !5 /б Число дечтеятяяыи саде»со х Ряс. 3.2. Частотное распределение для даяяык ряс. 3.!.
где и,!У определяет долю выборок с х дефектными изделиями, Например, из рис. 3.2 видно, что 5 из 50, или одна десятая часть выборок, имеют равно 8 дефектных изделий. Выборочные пространства, события, случайные величины и распределения вероятностей. Данные контроля качества можно описать, введя четыре основных понятия.
Первым из них является выборочное пространство, которое представляет собой множество точек, соответствующих всем возможным исходам эксперимента. Например, при проверке 100 транзисторов выборочное пространство состоит из 10! точки Р„ Рь ..., Рта~, которые соответствуют О, 1, 2, ..., ! 00 дефектным изделиям. Некоторая совокупность или подмножество точек выборочного пространства называется событием. Например, выборочные точки Ры Р~ соответствуют событию «число дефектных изделий меньше двух». Каждая точка выборочного пространства соответствует простому событию. Для того чтобы обратцаться к различным событиям в выборочном пространстве, необходимо ввести понятие случайной величины.
Напрпмер, точки выборочного пространства для данных о транзисторах можно обозначить по-другому, так, что точки Ро и Р~ будут соответствовать событию «случайная величина У принимает значение у=О», а точки Рт, Ра, ..., Рсоа — событию «случайная величина У принимает значение у=1». Таким образом, У принимает значение у = О, когда имеется меньше двух дефектных изделий, и у=!, когда имеется два или большее число дефектных изделий. Случайная величина обозначается обычно большой буквой, например Х или У, а численное значение, которое она принимает в конкретной выборке, обозначается маленькой буквой, например х или у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
