Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Нормальная плотность вероятности (3.1.9) обладает тем важным свойством, что она полностью задается параметрами )д и о', соответствующими среднему значению и дисперсии случайной величины. Следовательно, среднее значение р и стандартное отклонение о можно использовать для нормировки плотности вероятности. Так, если Х распределена по закону А)()ь, оз), то случайная величина Х вЂ” и )'= — ' о 95 94 Гл.

3. Теория вероятностей 2.2. Моменты случайных величин имеет плотность вероятности у"т(у) = — в тг, — оо(у(оо. (3.2.8) Следовательно, У распределена как Лг (О, 1). Плотность вероятности (3.2.8) называется нормированной нормальной плотностью вероятности. Из (3.2.7) получаем, что случайная величина Х лежит внутри интервала (р — г]о, р +т]а), когда случайная величина у лежит внутри интервала ( — ть +г]). Вероятность последнего события Рг( — г] < У ( г]) можно найти в стандартных таблицах [1, бв], Некоторые полезные значения т] приведены в табл. 3.4. ]гв = Е [(Х вЂ” ! )'), й = 2, 3, (3.2.92 так что дисперсия при этом соответствует Те=2.

Значения р для и)2 не имеют большой практической важности, поскольку, если некоторая плотность вероятности неадекватно описывается своим средним значением и дисперсией, то ее лучше представить с помощью соответствующей негауссовской плотности вероятности и затем оценить параметры этой плотности. Моменты функций от случайных величин. Иногда нужно исследовать некоторую функцию У=у(Х) от случайной величины Х, например У=]пХ. В этом случае моменты У можно выразить через плотность вероятности Х с помощью соотношений в] Е []'[ = ) Х(х) У (х) йх, Чаг[]']= ) [я(х) — Е[]л])г~' (х)ах — ОО (3.2.10) и так далее.

3.2.2. Многомерные моменты Результаты предыдущего раздела можно распространить на распределения более высокого порядка. Рассмотрим, наприм ер, функцию д(Х» Х... Хя) от случайных величин Х» Хг, ..., Х„, О) С Символом Чат [...] всюду в этой книге обозначается дисперсия случайной величины.— Прим. перев, Старшие моменты. В общем случае одномерную плотность вероятности можно описать с помощью ее среднего р и старших центральных моментов имеющих совместную плотность вероятности [»г,...,в (х» хг, ... ..., х„). Математическое ожидание й(Х» Хг, ..., Хя) равно Е [~(Хю Хг, ..., Хв)] = ] ] ) К(х1 хг, ..., хя) Х ОО Х У|г в (х1 хг ° ° хл) е[х1 йхг ° ° ° с[хе (3.2.11) что является многомерным аналогом равенства (3.2.!О), упоминавшегося выше.

Если функция д(Х» Х» ..., Х ) распадается на множители а (Х» Х,, ..., Х„) =дг (Х,)дг (Хг)... йв (Хи) и в дополнение к этому случайные величины независимы, так что плотность вероятности также распадается на множители, то (3.2.1!) переходит в Е[д,(Х,)д,(Х,) ... д„(Х„)]= = Е [Д, (Х,)! Е [8г (Х,)] Е [йв (Хв)! (3 2 12) Ковариация. Функциями д(Х» Хг ..., Х„), представляющими особую важность, являются произведения случайных величин, например (Х„Х,) = (Х, —, ) (Х, — рг) для двумерного случая.

Математическое ожидание этого произведения называется ковариацией между Хг и Хг и записывается Соч [Х,, Х,] = Е [(Х, — 91) (Хг — рг)! = ) (х, — ]г,)(х, — р,)Т1г(х,, х,)йх, ахг. (3.2.13) Заметим, что из определения (32.!3) следует, что Соч[Х» Хг]= = Соч [Хг, Хг! и что Чаг [Х,] =Соч [Х„Х,!. Если Хг и Хг независимы, то !1г(х» хг) =1г(хг)[г(хг) и, следовательно, Соч [Х,, Х,] = Е [Х, — М Е [Хг Рг] = 0 Таким образом, ковариация измеряет степень линейной зависимости двух случайных величин.

В спектральном анализе иногда приходится рассматривать ковариацию между функциями д(Х» ..., Х„) и Ь(Х» ..., Х„), а именно Соч [д(Х„..., Х„), л (Х ° Х )] = =Е )[д(Х„. Хв) Е[й(Хю ..., Х„)]) Х Х [Ь(Х,... „Х„) — Е [й(Х! ° ° Х.)!)) ° Гл. 2. Теория вероятностей З2. Моменты случайных величин Например, коварнация между гт(Х1, Хг) = Х!Хг и й(Хг, Х4) =-ХгХ равна Соч !Х!Хг, ХгХ4! = Е [(Х1Х2 — Е [Х!Х [) (ХгХ4 — Е [ХаХ4[)!. 3.2.3. Моменты линейных функций от случайных величин л л е 1х! = е ~ — „л' х, ! .=- л, — „к = к.

;=1 Следовательно, математическое ожидание среднего арифметичес- кого равно математическому ожиданию отдельной случайной вели- чины. Дисперсия линейных функций. Используя (3.2,13) получаем, что дисперсия линейной функции Л1Х1-,'-ЛХ равна Чаг [)чХ, + Л2Х2! = ),! Чаг [Х,[+ + > Чаг [Хг! + 2Л1Лг Соч [Х,, Х,!. (3.2.16) И вообще (3.2.1 7) где Соч [Хг, Хг[ =Чаг [Х,[, Если Х; независимы, то (3.2.17) сводится к, и 1 Ч,!г ~ ~~ Л,Х,. ~ — ~~ ), Ч и [Х,!. ! !' =1 (3,'.18) Рассмотрим произвольную линейную функцию Л!Х1-1-ЛгХ2 двух случайных величин Х! и Хг. Используя (3.2.11), получаем Е [)чХ, +ЛгХ2! = ) ~ (1чх, + Л,хг) Tгг(х„хг)йгх! г/хг= Л1Е [Х1! + )2Е [Хг! ' (3.2.14) Следует отметить, что (3.2.14) справедливо, даже если Х! и Х.

не являются независимыми. Вообще Гг! 1 л Е ~,~', Л!Хг~ =,)' ЛгЕ [Х ! (3.2.15) ! =- 1 ! =- ! В качестве примера рассмотрим математическое ожидание среднего арифметического Х = (1/п) ~, Х; набора случайных величин г=! с однг!м и тем гке средним значением р. Равенство (3.2.15) показывает, что п Рассмотрим, например, случайную величину Х = ('/„) 2, Хг, где 1-1 Х, — независимые случайные величины с дисперсией аг. Тогда л Чаг [ Х ! = ~~ ~ — ) Чаг [Х![ =- —,. ! =1 Используя (3.2.!о) и (3.2.18) при п — 1, получаем полезныи результат: нормированная случайная величина у Х вЂ ' имеет нулевое среднее значение и единичную дисперсию. Дальнейший важный результат [2, 2е! состоит в том, что если случайные величины Х; являются нормальными, то плотность вероятности случайной величины и )'= ~~~~ л х! 1=! также является нормальной со средним значением (3.2.15) и дис- персией (3.2.17) .

3.2.4. Коэффициент корреляции Выражение (3.2.16) для дисперсии линейной функции двух случайных величин обязательно является положительным числом или нулем для любых действительных значений Л! и Лг. Так как выражение в правой части является квадратным уравнением относительно Л! и Лг, то из положительности дисперсии следует, что его корни являются комплексными. Отсюда Чаг [Х,! Чаг [Х,! > (Соч [Х„Х2!)'-', что можно переписать в виде (соч !х,, х,!12 Р!2 Чаг !Х1! Чаг (Х2! (1. (3,2.19) Параметр р!2 называется коэффициентом корреляции между Х! и Хг. Он заключен в интервале — 1(~р!2~+1. Мы уже отмечали, что если случайные величины независимы, то Соч[Хь Хг)=О и, следовательно, рм=О. Для двумерной нормальной плотности вероятности было показано и обратное: если р!г= О, то случайные величины независимы. Однако если р!2=0 для распределения, отличного от нормального, то случайные величины не обязательно являются независимыми. В этом случае их называют некоррелированными.

4 Закал М 1210 Ь~ 98 Гл, д Теория вероятностей (3.2.21) Если рзг= — О, то диаграмма разброса для пар величин (хс, хг), которые являются реализациями случайных величин (Хь Хг), была бы похожа на приведенную на рис. 3.8а. Видно, что знание одного из членов пары никак не помогает в предсказании значения другого. Для малых, но положительных значений рзг диаграмма разброса была бы похожа иа показанную на рис. 3.8, б; этот рисунок Р н с. 3.8.

Диаграммы разброса выборок двумерных нормальных случайных величин. соответствует значению рзг= +0,5. Теперь уже заметна слабая тенденция к группированию значений вдоль прямой линии. Так, большие значения хг преимущественно соответствуют большим значениям хт, а малые значения кг — малым значениям х!. Если бы коэффициент корреляции был равен — 0,5, то наклон прямой, вокруг которой группируются значения, был бы отрицательным. Следовательно, большим значениям хг преимущественно соответствовали бы малые значения хз, и наоборот.

Для значений рм, близкихкединице, диаграмма разброса концентрируется около прямой линии, как показано па рис. 3,8, в; для этого рисунка о„=+0,9. Следовательно, рм является мерой линейной зависимости между случайными величинами Х! и Хг, и в предельном случае рм=1 имеется точное линейное соотношение вида Х.= а+ЬХ!. ('. у-о'-~ З2 Моменты слрчанных величин Ч99 !. Сравнение диаграмм разброса рис. 3.8 с диаграммами разброса да!нных акселерометра, приведенных на рис.

3.7, показывает, что эти данные имеют коэффициент корреляции между 0,5 и 0,9. Формула для выборочной оценки рм коэффициента корреляции будет приведена в гл. 4; для акселерометрических данных она дает значение рсг=О,?8. Эта величина достаточно мала и должна вызывать некоторое беспокойство относительно надежности визуального считывания показаний акселеромстра пилотом! Ковариация линейных функций. В качестве заключительного обобщения (3.2.17) рассмотрим линейные функции Л,Хг+ЛгХг и чзХт+чгХг. Ковариация между ними равна Соч [(Л! Х, + Л,Х,), (ч, Х, + ЛзХг) [ = Л, ч, Соч [Х,, Х, [ + +Л!згСоч [Х! Хе[+Лат! Соч [Х,, Х[+ЛгчгСоч [Х,, Х [, (3220) что сводится к (3.2.16) в случае Л! = ч! и Лг = чг.

Вообще имеем Г" с! и и Соч ~~~ ЛтХс,,)'„туХ, ~ =,~' ~'„Л,т~ Соч [Х,, Хт[. с=! /==! с=! т —..! Равенство (3.2.21) является важным результатом, который будет использован в гл. 6 длн вычисления ковариации между сглаженными спектральными оценками. Результаты этого раздела приведены в матричной форме в приложении ПЗ.!, 3,2.5. Моменты нелинейных функций случайных величин Во многих практических статистических задачах необходимо рассматривать нелинейные функции от случайных величин. Например, большинство задач спектрального анализа являются нелинейными. За исключением некоторых специальных случаев, невозможно вывести точные плотности вероятности этих нелинейных функций, и, следовательно, нужно описывать эти плотности вероятности с помощью их моментов.

В этом разделе показывается, как вывести приблпженные выражения для среднего значения и дисперсии нелинейной функции от случайных величин. Среднее значение нелинейной функции. Рассмотрим функцию ст(Хз, Хг, ..., Х,) от случайных величин Хь Хг, ° ., Х„, которые имеют средние 1л! и ковариации оц (т, !'=1, 2, ..., п). Рассмотрим далее разложение Тейлора функции д(Хз, Хг, ..., Х„) в точке (ат, йл 1ОО Гл.

Характеристики

Список файлов книги