Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1) (1044211), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

2. Вьабор оценксс. Функции Й (Хь Хе...,, Хи) от случайных величин рассматриваются как возможные оценки параметра О. Каждая такая функция, будучи сама случайной величиной, будет ч иметь выборочное распределение !" (О; 6), зависящее от неизвестной величины О, которое можно вывести из совместной плотности вероятности ланных с помощью методов, описанных в [1[.

Вгиборочная оценка 0(хг,хе, ..., хо), которая получается в конкретном экс- перименте, рассматривается в этом случае как реализация случайной величины О(Хь Хь, Х ). Чтобы сделать выбор между различными оценками, нужно определить критерий оптимальности. Например, из двух оценок Огт и Йь имеющих выборочные распределения, изображенные на рнс. 4.1, была бы выбрана, без сомнения, оценка Огь так как ) (6; 6) теснее сосредоточена около истинного значения О, чем 1„(0; 6). Следовательно, для любой заданной выборки !Ог будет ближе к 0 с большей вероятностью, чем Оге. Следовательно, если бы выборочные распределения двух оценок были известны точно, то выбор между ними можно было бы сделать, сравнивая вероятности того, что они находятся ближе к истинному значению О. Однако в большинстве приложений невозможно вычислить точно выборочные распределения.

В таких случаях нужно менее детально описывать оценку, например с помощью ее младших моментов. Были предложены различные критерии, основанные на моментах. Онн могут быть использованы для сравнения данных оценок. Важнейшим из этих критериев является критерий среднеквадратичной ошибки, обсуждаемый в равд 4.2.3. Оценки максимального правдоподобия, обсуждаемые в равд. 4.2.4, образуют класс оценок, имеющих наименьшую среднеквадратичную ошибку для выборок большого обьема. 3. Доверительные интервалы.

Используя выборочное распределение отобранной оценки О или приближение к ее выборочному распределению, основанное на младших моментах, можно делать вероятностные утверждения относительно Й, такие, например, как Рг ~ — 1, ( Й вЂ” 8 ( 1а ~ = 1 — а, или, что то же самое, Рг[[Й вЂ” 1,(0) и (Й-[-1,)0)[=! — и, Следовательно, вероятность того, что случайный интервал между Й вЂ” 1е и Й + 1т накроет истинное значение О, равна 1 — я. Соответствующий интервал, основанный на выборочной оценке, а именно (Π— 1ь О+1г), называют в этом случае доверительным интервалом для 6 с коэффициентом доверия 1 — а. Это означает, что такой интервал будет покрывать истинное значение в среднем в 100(1 — а) оы всех случаев. 121 Гл.

4. Введение в теорию етотиетонескох вьюодов 12О 4Д, Применение метода выборочных Военределениа Построение доверительных интервалов является одной из важнейших задач процесса оценивания. Оно обсуждается в равд. 4.22. В х те случаях, когда невозможно построить точные доверительные интервалы, очень ценно получить хотя бы приближенные доверительные интервалы, определяющие грубо точность оценки. Метод получения приближенных доверительных интервалов приводится в равд. 4.2.4. Обсуждение. Следует подчеркнуть логику метода выборочных распределений. Выборочное распределение ~-(О; О) можно использовать для вычисления вероятности того, что значение О случайной величины 6 лежит между двумя пределами для всех возможных выборок объема и, предполагая, что паралеегр О известен.

Следовательно, как обсуждалось в гл. 3, распределение вероятностей дает нам возможность на основании общей модели судить о частной выборке. Однако цель теории оценивания состоит в том, чтобы использовать выборочную оценку О для получения утверждений относительно О, т. е. судить на основании выборки о правильности модели. С этои точки зрения применение метода выборочных распределений в теории оценивания является искусственным в том смысле, что необходимо рассматривать не только конкретную доступную выборку, но и все другие выборки, которые могли бы быть получены. Тем не менее метод выборочных распределений важен и по своему историческому значению, и по следующим причинам.

1. Во многих случаях он приводит к заключениям, очень похожим на те, которые достигаются с помощью других способов получения выводов, таких, например, как метод правдоподобия, описываемый ниже. 2. В ситуациях, где имеет место повторная выборка, например прн проверке промышленных деталей, метод, включающий рассмотрение всех возможных выборок, логичен. Однако это уже относится к области теории статистических решений, а не к теории статистических выводов. 3.

В тех случаях, когда проблему нельзя свести к задаче оценивания небольшого набора параметров (как, например, в спектральном анализе, включающем оценивание большого числа параметров), метод выборочных распределений дает, по-видимому, единственно возможный подход к задаче. 4.2.2.

Доверительные интервалы Доверительный интервал для среднего значения. Чтобы проиллюстрировать метод выборочных распределений и продемонстри- ровать, как строятся доверительные интервалы, предположим, что требуется оценить среднее значение р для данных о токах транзисторов, приведенных на рис. 3,3, используя только девять наблюдений. Будем действовать в три этапа, как указывалось в равд. 4.2.!. На первом этапе нам нужно сделать предположение относительно формы плотности вероятности, которая должна быть связана с наблюдениями.

Исходя из гистограммы рис. 3.6, разумно предположить, что наблюдения можно описать с помощью нормальной плотности вероятности. Кроме того, поскольку транзисторы выбирались в случайные моменты времени с поточной линии, разумно считать, что случайные величины независимы. Поэтому предполагалось, что выборочное распределение, связанное с наблюдениями, имеет внд (4.2.1), где !л =О~ и о'=Оз оба неизвестны. Второй этап заключается в выборе оценки для среднего значения !х. В качестве оценок можно было бы выбрать среднее арифметическое (4.'2.2) Х= — — (Х,+Х~+ +" ) и медиану, которая является «средним» наблюдением в выборке.

Например, медиана для приведенных ниже данных о транзисторах равна 3,12. Можно показать [5], что для выборочной плотности вероятности (4.2.!) «наилучшей» оценкой является среднее Х потому, что оно имеет наименьшую среднеквадратичную ошибку и вероятность его нахождения в заданной близости от !х является наибольшей. Третий этап состоит в определении доверительного интервала для !х, основанного на выбранной оценке Х. Как показано в равд.

3.3.3, если о неизвестно, следует использовать случайную величину )Гп (Х вЂ” Н) выборочное распределение которой является 4-распределением Стьюдента с т=п — 1 степенями свободы. Следовательно, или т— в н 5 Рг Х вЂ” г, 1 — — =(!х и Х+т, ~! — 2 ] — )!х]=! — « 2 ] )Г„ 2) )Г- Таким образом, вероятность того, что интервал Х~1„]!в — (а/2)](5/)~п) накроет истинное значение !х, равна ! — а. Следовательно, 100(1 — а) %-ный доверительный интервал для и. 122 123. так что Таким образом, 25,76 х = — '- =2,86 9 52/ 2 (4.2,5) получим Гл.

4. Введение в теорию статистииеспив выводов основанный на выборочных оценках х и в, полученных по данной выборке, имеет вид (4.2.3) Возвращаясь к нашему примеру, предположим, что значения тока в мка для девяти транзисторов, выбранных случайно с поточной линии, равны 1,73 3,81 3,12 3,00 3,48 1,68 3,64 4,91 0,39 ~х= 1,73+300+...

+039=25,76 ~х'=-(1,73)'+(3,00)'+ ... +(0,39) =88,6860. 3 — ' 8 — '8 0,86, 3 =0,93. 86,686 — 9 (2,86)в 6,89 Отсюда, используя (4.2.3) при х=-2,86; в=0,93; п= 9 и значение Гв(0,975) =-2,31 с рис. 3.!1, получаем, что 95%-ный доверительный интервал для !ь имеет вид (2,86 — 0,77 0,93; 2,86 + 0,77 0,93), т. е. (2,15; 3,57), Интерпретация этого 95%-ного доверительного интервала заключается в том, что если для большого числа повторных выборок строить такие интервалы, то в 95% всех случаев они будут накрывать истинное значение !л.

Заметим, что для этого примера можно построить бесконечное число доверительных интервалов с коэффициентом доверия 1 — сс. В этом случае, выбирая интервал, симметричный относительно выборочного среднего, мы получим самый короткий интервал. Доверительные интервалы для дисперсии. Чтобы построить доверительный интервал для дисперсии ов нормальной плотности вероятности, воспользуемся тем фактом, что выборочное распределение (и — 1)5в(ов совпадает с распределением случайной величины 4.2.

Применение метода вььбороинил распределений Поэтому, воспользовавшись рис. 3.10, можно найти такие пределы !ь и !в что или Рг((1,9>оа) и (1,У(о~) ) =1 — а Следовательно, 100(1 — сс)%-ный доверительный интервал, основанный на выборочной оценке зв, имеет вид (1,з', (,гт). (4.2.4) Для данных о токе коллектора в'=0,86; воспользовавшись рис. 3.10, получаем!ь = 0,36; !и=5,95, если ос=0,05. Следовательно, 95%-ный доверительный интервал для о' имеет внд (0,36 0,86; 5,95 0,86), т.

Характеристики

Список файлов книги