Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1), страница 13

° Р и с. 3.7. диаграмма разброса дая измерений ускорения (я единицах й), Для дискретных случайных величин совместная плотность вероятности записывается ргг(хь хг) и представляет собой вероятность того, что случайная величина Хг примет значение хь а Хг— значение ха. Условные распределения и независимость.

Рассмотрим для двух дискретных случайных величин функцию, определяемую как долю случаев, в которых Хг принимает значение хгг при условии, что Хг зафиксировано на некотором значении хг. Эта функция называется условнылг расггределением вероятностей Хг прн заданном Хг и обозначается риг(хь хг). Аналогично риг(хь хг) обозначает условное распределение вероятностей Хг при заданном Хг. Сов З.б Частотные распределения и распределения вероятностей местное распределение вероятностей Хг и Хг можно при этом записать в виде Рм (Хг ° Хг) = Рг (Хг) Ргы (Х| Хг)= Рг (хг) Р1 г (Хг Хг)* (3.1.13) где, например, рс(хг) — безусловное (маргинальное) распределение Хь Безусловное распределение вероятностей рс(хс) можно получить из совместного распределения вероятностей с помощью Р (~)=,» Р (Х Х).

рно дает долю случаев, в которых Хг равно хг вне зависимости от того, каково значение Хг. Если вероятность того, что случайная величина Хг принимает значение х не зависит от того, что случайная величина Х, принимает значение х,, то Условное РаспРеделепне веРоЯтностей РП г(ль хг) = рг(хс) и условное распределение вероятностей рг~г(хь х,) =- = рг(хг). В этом случае говорят, что случайные величины Х~ и Хг независимы, а выражение (3.1.13) для совместного распределения вероятностей разлагается на множители в виде р„(х,, х,) = р, (х,) р,(хг). (3.1.14) Аналогично для непрерывных случайных величин совместная плотность вероятности разлагается на множители вида .Ггг(х~ хг) = У~ (х1)Т (х1 хг) = тг(хт)~г г(х1 хг) (3.1.1о) в случае, если случайные величины зависимы, и на множители вида у„(х,, хг) ==,Т, (х,) Тг (хг), (3.1.1б) если случайные величины независимы. двумерная нормальная плотность вероятности.

Так же как нормальная плотность вероятности играет главную роль прн описании одиночных случайных вели гин, двумерная нормальная плотность вероятности играет столь жс важную роль среди двумерных плотностей вероятности. Двумерная нормальная плотность вероятности зависит от 90 Гл.

д Теория вероятностей 91 3.2. Моменты случайных вс»ччнн х = — ~~хин=~~х® (3.2.1) г оз о,о,ри о,о,р,з ... о,о»Р~» г ог о~огр~г гозРгз ° ° ° ого~Рг» г озо» Рз» о~озР~з огоЗРгз (ЗП .20) (3.2.2) г озо»Р3» озо„ры ого»рг» Е[Х) = ) х.гх(х)с/х' (3.2.3) пяти параметров: !гь рг, оь ог и ргг. Если рм=О, то (3.1.!7) распадается на произведение двух нормальных плотностей ве оатности; это говопит о том, что р, в случае р 3=-0 случайные величины отностей вероктноффи Чи ен том норг и Хг независимы.

Параметр р~г называется нозфф реляции; он измеряет степень линейной зависимости межд в мя случайными величинами. сти между двумя 3 1.5. Многомерные распределения , ситуацию можно Когда измеряются одновременна и количеств, сит а описать с помощью и случайных величин с задан - р анной и-мерной сов- местной функцией распределения Рзг „(х,, х„..., х„) и плотностью вероятности .Г„, „(...) имы, то совместная Если случайные величины взаимно независи плотность вероятности распадается на множители „Г13»(х,, х,, ..., х„) ==У',(х,) Гг(х,) ...

Г»(х»). (3.1.18) тн вероятности Важным частным случаем многомерной плотност р тности, котор ю являстся многомерная нормальная плотность вероя можно записать сжато, используя матрнчн ге об ные о означения, в виде у ! ух(х)= „„,, ехр~ — ~ (х — !г) у (х — !3)[, (3.1ПО) где х = (хь хгз, х»), и' = — (, ..., '»),, = (!зь !гг, ..., !гп) векторы строки и У вЂ” ' — матрица, обратная матрице ковариаций У, где Многомерная нормальная плотность вероятн п(п 3 /2 роятности зависит от и,'и+ )/ параметров, из которых п являются сре средними значениями рн (1=1, 2, ..., п); и — дисперсиями ог (1=1, 2, ..., и) и п(и — 1)/2 — корреляциями рп (1=1, 2, ..., п, /=/+1, „п), ы, т коРРелЯции РО=О, Если случайныс величины независимы, то ко и матрица У является диагональной, а совмсст овмсстная плотность ве- роятности распадается согласно (3.1.18) на произведение и одномерных нормальных распределений. Чтобы описать эмпирические данные с помощью многомерной нормальной плотности вероятности, необходимо оценить упомянутые выше п(п+3)/2 параметров, Этот вопрос обсуждается в гл.

4. 3.2. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 3.2.1. Моменты одномерных случайных величин Ести дано распределение вероятностеи рх(х) дискретнои сну чайной величины нли плотность вероятности /х(х) непрерывной случайной величины, можно вычислить вероятность того, что случайная величина находится между двумя значениями хз и хг. Иногда невозможно найти распределение вероятностей или плотность вероятности точно, и в таких случаях возникает необходимость охарактеризовать распределение с помощью нескольких чисел. Самыми простыми из них являются среднее значение и дисперсия. Среднее значение.

Иногда полезно знать, какое значение случайная величина Х принимает в среднем. В примере с контролем качества из равд. 3.!.! это значение представляет собой среднее число дефектных изделий в выборке, которое можно было бы ожидать. Среднее число дефектных изделий, которое действительно наблюдалось в М выборках, равно я я и называется выборочным средним частотного распределения.

Для данных, приведенных на рис. 3.1, х=7,1, и эта величина показана в виде жирной горизонтальной линии, вокруг которой группируются значения х. Так как отношения п„/Р/ являются оценками для вероятностей рх(х), среднее значение распределения вероятностей равно !я „)' хр (х). »=о Величина !3 обозначается обычно Е[Х) и называется математическим ожиданием случайной величины Х.

Оно лает среднее, или ожидаемое, значение, которое будет принимать Х в будущих экспериментах. Аналогично для непрерывной случайной величины 0З З.З. Моменты случайных величии Гл. 3 Теория вероятностей Срелнее знзченне Н Распределение веронтностеа рх!«) Лнсперсня Респрелеленне ар пр (1 — р) (:)'"-"' ' х=-о, 1, 2, ..

я )! Бнноынальиое Пуассона х=0,1,2, ° Срелнее зняченне Н плотность вероятности тх)«) днсперспн Нормальное п2 ехр~ — — ~ — ) ~ — ос< Х< со Прямоугольное (равномерное) — (Ь вЂ” а) 1 2 (а+ Ь)2 1 а< х< Ь а+Ь 1 в .«)я 0(х( со, р~)0 р 12 Отрицательное показательное (экспоненцнальвое) «=о (3.2.6) (3.2.?) Равенство (3.2.3) совпадает с выражением для центра тяжести неоднородного стержня с приходящейся на единицу длины удельной массой Гх(х), Расположенной на РасстоЯнии х от его конца. Аналогичным образом Е[Х) является центром тяжести плотности вероятности случайной величины Х, и, следовательно, оно служит для характеристики расположения распределения.

Дисперсия. Найдя расположение распределения, естественно перейти к описанию следующего цаглядного свойства — степени разброса распределения. Одной из мер этого разброса является дисперсия оя= ) (х — р)' Г (х) г(х =Е ((Х вЂ” (ь)2!, (3,2.4) которая характеризует рассеяние вокруг его среднего значения р. Если ?х(х) все более и более концентрируется около )ь, то о' будет уменьшаться. Обратно, если имеются значения х, удаленные от среднего, для которых Ух(х) не слишком мало, то оа будет большой. Возведение в квадрат и раскрытие скобок в (3.2.4) дает дргую эквивалентную формулу для дисперсии дру ар= Е (Х2) — р'. (3.2.5) Выражение (3.2.4) аналогично формуле для момента инерции стержня с неравномерной плотностью относительно его центра тяжести.

При этом формула (3.2.5) просто утверждает, что момент инерции относительно центра тяжести равен моменту инерции относительно начала координат минус момент полной массы стержня, сконцентрированной в центре тяжести, относительно начала координат. Табл. 3.3 дает среднее значение и дисперсию для некоторых важных дискретных и непрерывных распределений.

Дисперсию дискретного распределения вероятностей можно оценить с помощью выборочной дисперсии Аналогично среднее значение и дисперсию дайных х! ()=1, 2, ..., и), соответствующих непрерывной случайной величине, можно оценить по формулам Таблица З.З Некоторые важные фуннции распределения и их средние значения и дисперсии Положительный квадратный корень о из дисперсии оз называется стандартным отклонением. Его можно использовать для норми- ровки распределения, как мы сейчас покажем. Нормированное нормальное распределение.