Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1), страница 16

Первые два момента случайной величины х', полученные из (3.3.5), равны В гл. 4 будет показано, что выборочной оценкой дисперсии по выборке из и наблюдений является л э'= ~', (х, — х), е=! Р и с. Зчк Плотности вероятности Х'-распределения. Чтобы описать изменчивость этой функции от одной выборки к другой, вводят соответствующую случайную величину 3а, где Л'=- 1 „~~ (Х, — Х). с=1 З.З.

Выборочные распределения 107 Гл. 3. Теория вероятностей !О 9 Б 7 Б 5 4 2,5 О,ВО 1,5 Если Хт — независимые Лс(!з, 1)-случайные величины, то можно показать [2], что (п — 1)5з распределена как уа с м= (п — 1) степени,ии свободы. Термин «степени свободы» используется здесь в том же самом смысле, что и в статистической механикс. Так, для любого множества из и наблюдений будет только (и — 1) независимое отклонение (Хт — Х), так как их сумма равна нулю. Обычно будет предполагаться, что наблюдения распределены как /и'(!з, о').

В этом случае Хт/о будут распределены как Л!(гт/о, 1) „ так что случайная величина и (п — 1) —., = — —, ~~ (Х, — Х)" (3.3.8) т=1 будет иметь уз-распределение с м= п — 1. Так как 95з/оа распределена как уз, то вероятностные границы вида (3.3.9) можно получить из таблиц (1!. Перегруппировав (3.3.9), получаем, что случайная величина оз/5а удовлетворяет соотношению т Рг( (! 2 ( 5, (~ ( 2) ~=1 — а. (3.3.10) ГрафИКИ ВсрХНЕй И НИжНЕй ГраНИц М/Х,(1 — а/2) И т/Хн(а/2) приведены на рнс. 3.10 для ц,=0,01, 0,05 и 0,2 и для 3 ~~ м ~ 100. Отметим, что верхняя и нижняя границы в (З.З.!О) очень чувствительны к справедливости предположения о нормальности (3», в отличие от вероятностных границ среднего значения, которые можно построить, исходя из нормального закона, в силу центральной предельной теоремь!. Кривые рис.

3.10 можно использовать для определения интервала, попадание внутрь которого для случайной величины 5з/оа можно ожидать в 100(1 — а) % случаев. Например, предположим, что должны быть получены 20 наблюдений из Ь'(р, оз)-популяции. Тогда ъ =п — 1 = 19 и, используя (3.3.10) и рис.

3.!О, получаем Рг ( 0,58 ( —, ( 2,11 ~ = 1 — 0 05 = 0 95. Поэтому следовало бы ожидать, что в среднем в 19 случаях из 20 отношение о'/5' будет лежать в интервале от 0,58 до 2,11. Иначе говоря, значения 5з будут лежать с вероятностью 0,95 в интервале 0,47о'(5'~1,72оа, илн же значение 95'/о'=195'/о' будет лежать в интервале 89<195з/оз - 329, Границы 8,9~!9/2,11 и 32,9= = 19/0,58 для 95в/о' обычно приводятся в статистических таблицах.

!П 0,5 О,Б 0,7 0,5 0,5 ДБО 0,55 0,99 О,З 0,25 0,2 5 й 5 Б 7 В 0 !О !5 20 25 50 40 50 БП 70505ОГОО т Р ос. 3 !О. Графики зависимости л-у,1 2) стихая (! — а) =0,80; 0,95; 0,99. 3.3.3. Выборочное распределение среднего в случае, когда дисперсия неизвестна Для того чтобы определить вероятностные границы для сред- пего нормальных случайных величин, нужно знать о — стандартное отклонение популяции. Если о неизвестно, то невозможно сделать точные вероятностные утверждения, используя выборочное распределение Х, так как вероятностные границы будут зависеть 3 3. Выборочные распределения Гл. 3. Теория вероятностей 108 109 (3.3.11) 1 п (л' — и) В (3.3.12) гд г от неизвестного значения о.

В таком случае говорят, что о является лее|иаюи!им пара ветром. Чтобы построить вероятностные интервалы для среднего, когда и известно, естественно рассмотреть слуйайную величину !'= !' и (Х вЂ” и) Эта случайная величина распределена как У(0, ! ), и поэтому вероятностные интервалы можно получить из табл. 3.2. Важный шаг вперед в теории выборочных распределений был сделан в 1908 г. Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент. Он показал, что если о заменить в (3.3.11) на случайную величину 5, где 5' определяется выражением (3.3.7), то распределение случайной величины не будет зависеть от мешающего параметра о.

Следовательно, вероятностные утверждения относительно среднего нормальных наблюдений можно сделать независимо от того, каково значение о. Этот результат интуитивно очевиден, так как если бы наблюдения были умножены на некоторую константу (например, если бы наблюдения производились в сантиметрах вместо метров), то и числитель и знаменатель в (3.3.12) умножились бы на эту же константу, так что Т, осталось бы тем жс самым.

Плотность вероятности случайной величины Т„называется г-распределением Стьюдента с т степенями свободы и, подобно нормальной плотности, она симметрична относительно начала координат. Влияние замены о в (3.3.11) на 5, как это сделано в (3.3.12), выражается в том, что изменчивость случайной величины Т, возрастает, и, следовательно, г-распределение Стьюдента более размыто, чем нормальное распределение.

Однако, по мере того как т увеличивается, распределение 5 все более и более концентрируется около о, и поэтому г-распределение стремится к стандартному нормальному распределению (3.2.8), как это вновь следует из центральной предельной теоремы. г-распределение Стьюдента можно использовать для построения интервалов гя(а/2), г,(1 — а/2), в которые можно ожидать г|опадания случайной величины Т, в (1 — а)-й части всех случаев. Так как плотность вероятности симметрична, то г,(а/2) = — г (1 — а/2) и поэтому Рис. 3.11 показывает кривые г,(1 — а/2) в зависимости от т для а=0,05 и а=0,01.

Заметим, что для больших т кривые стремятся к значениям 1,96 н 2,58, являющимся 95%-ной и 99о/о-ной границами для нормированной нормальной плотности вероятности. Чтобы проиллюстрировать использование кривых на рис. 3,11, предположим, что нужно произвести, как и в примере равд. 3.3.1, г 3 о 3 о твою |3 го газо 43 оооо|ввоза У Р ис, 3 ||.

Графики зависимости г (| — о|2) от ч дяя !| — о) =0,99, 0,9о, 9 измерений из Лг()е, оз)-популяции. Тогда, согласно рис. 3.11, следует ожидать, что случайная величина )9 (Х вЂ” р)/5 будет лежать в интервале ( — 2,3; +2,3) в 95% случаев. Заметим, что соответствующий интервал в случае известного о, найденный из табл. 3.4, есть ( — 1,96; +1,96). Этот интервал примерно на !5% уже. 3.3.4. Выборочное распределение отношения двух дисперсий другое важное выборочное распределение появляется, когда требуется сравни ь выборочные оценки дисперсий 32| и 322, по, ученные из двух независимых выборок объема п| и пз соответственно.

Если выборки производятся из двух популяций, распределенных как йз(р| о') и Л|()зз оз) то из равд. 3.32 следует что 9|52/оз есть случайная величина )1~ с те =п| — ! и аналогично 925'/оа есть ч, 2 2 Гл. д Теария вероятностей ИО 3.3. Выборочные распределения (3.3.13) 2' го Рг ( 0*17 ( Ра го ( 2 9 ) = 0 90.

!О У. 4 6 ,— 7 — 5 6 Ю вЂ” !5 го Д5 2 — 30 40 --60 (го У2 45 (3.3.14) (3.3.15) случайная величина тг с т24 вг — 1. Если у' и тг независимы, то У2 "У, У2 плотность вероятности отношения г г .г гав! ~гкн г а 552 У,,(, называется Р-распределением Фишера с тг и тг стененялш свободьг. Р-распределсние является двупараметрическнм выборочным распределением, причем тг дает число степеней свободы числителя, 7 3 4 5 5 766!О !5 20 7530 40 60 60 !00 У, [2 и с. 3.!2.

Графики аависиыости /2, (0,95) от (уи 12) а тг — знаменателЯ. Когда У1 и тг оба велики, плотность веРоатности случайной величины Р концентрируется около единицы. Од- 2', У2 пако для малых значении У1 нли тг плотность распределяется до очень далеких от 1 значений. На практике теоретические дисперсии а', и о',, которые появляются в (3.3,!3), не будут известны. Однако сслн предположить, что о', =о'-,, то из (3.3.13) следует, что 5',/5, 'распределено как Р . Если же аг ~ ог, то 5'/5' будет распределено как У, 12 1 2' 1 2 (а'/ог)Р н, следовательно, распределение будет концентриро- 1 2 22,1'2 ваться около значения о',/ог а не !.

Рнс. 3.12 показывает 0,95-вероятностные точки для распределения Ру у . т. е. значения / (0,95) такие, что Рг(Р,, (Р, (0,95) ) =0,95. Заметим, что так как Р =1/Р, значения / и / могкно Ч,У, У„УР Ун У2 У2, У, использовать для построения вероятностных интервалов для слу- чайной величины Р . Таким образом, Рг~ (, „(Р «( Г „(0,95)~ =0,90. Например, если 11= 4, 422= 20, то нз рис.

3.12 получаем Рг (Р,,го«(2,9) =0,95; Рг ( Рго, 4 «(5,9 ) = Рг ( Р4,,2 > О,! 7 ) = 0,95. Следовательно, 3.3.5. Два свойства тг-распределения Приближение с помощью 7(2-раепРецеления. )(г-распределение занимает центральное место в вопросах приближения распределений сглаженных оценок спектральной плотности. Вообще, случайная величина 7(2 полезна для приближения случайной величины, скажем У, принимающей только положительные значения.

Предположим, например, что требуется аппроксимировать плотность вероятности положительной случайной величиной у с помощью плотности вероятности случайной величины а)(гу, где а и 42 пока не определены. Г1редполагается, что первые два момента г' даны. Тогда, если их приравнять первым двум молгентам а)(2,, которые можно вывести из (3.3.6), то получим Е ()'! =ау, Чаг (1'] =2а'у. Решая эти уравнения относителыю а и т, получаем 2 (Е [)'1)2 а= Е 1)'! откуда получаем параметры аппроксимирующего )(г-распределения, выраженные через первые два момента К Теорема разложения для случайных величин, подчиняющихся )(г-распределению.

Предположим, что случайная величина )(2 разлагается ца /г случайных величин Хг в виде У. х,' — -х'„+х'!,+ . +у', 112 Литература г=! г=! а ч Е ~ „«~~ )чХ, ~ = „~, г;Е [Х,] г=! (ПЗ.!.1) ЛИТЕРА ТУРА (П3.1.2) Аналогично результат (3.2.17) Тогда можно показать [4, 7" ], что если ч!+та+ ... +та=в, (3.3.16) то у' взаимно независимы. Обратно, если ув, независимы, то имеет '! место (3.3.16). Простое приложение этого очень важного свойства состоит в следующем. Предположим, что Хг, Хв, ..., Մ— и независимых случайных величин, распределенных как Аг(0, 1). Тогда а и ~ Х'; = ()г'гт Х)'+ ~ (Х! — Х)'. В левой части равенства стоит случайная величина !гв„, а первый член в правой части, будучи квадратом величины, распределенной как Аг(0, 1), является величиной у',.

Теперь можно проверить, что случайные величины Х и Х! — Х независимы и, следовательно, две случайные величины в правой части независимы. Результат (З.З.!6) в этом случае утверждает, что второй член распределен как Ха !. Р ! ай е г Гт. А., у а 1 ее Р., 51анвпса1 Таыев, О!!чег апд Воуд, Еопйоп, !9ЗБ, 2.