Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1), страница 15

д Теория еероятмостей Злв Вмбороямеге росяределемия 101 ам..., ая) . Тогда с точностью до членов первого порядка д(Х! Х,, ..., Х„)=Х(а!, а„..., а,)+ +.'Е(д'х ) (' -' где (дХ(г)Х!), обозначает частную производную по Х! в точке (Хь Хя, ..., Х„) = (аг, аь . а„). Взяв математическое ожидание от обеих частей (3.2.22), получаем Е [д(Хг, Х,, ..., Х„)] хт(аг, а,...., аи)+ +Х(дх. ) (Е[Х] — ). г=\ Если аг = Рь то второй член исчезает, так что Е [д(Хг, Х,...

„Хя)[ д(рг, р,, ..., р„). (3.2.24) (3.2.22) (3.2.23) я я '!7аг [й (Х,, Х,, ..., Х„)] = ~~ ~~( дх ) ( дх — ) Сох [Х„Х1]. г=! !.=! (3.2.25) Частные случаи формулы (3.2.25). Если п=!, то Чаг [д(Х)] — ( — „~ ) ягаг [Х]. Например, если д(Х) =Х', то 'угаг [Х'] 4!яе 'хгаг [Х]. (3.2.26) Если а=2, то угаг [д(Хг, Хе)] (дх ) хгаг[Хг]+(дх ) угаг [Хе]+ + 2 ( дх ) ( дх ) Сот [Хг, Ха] (3.2.27) Дисперсия нелинейной функции.

Из (3.2 22) имеем [з (Х! Хя Х ) К(1я! !ге ' г" )] я =Х( — "-,).'- ! =! Последнее выражение линейно г(о Хь поэтому, используя (3.2.17), получаем Например, если Х! и Хе — некоррелированные случайные величины 1! д(Х„Х,) = ]/ Х, +Х',, то (3.2.27) сводится к и! уаг [Х,] + и~ 'т'аг [Х ] 'йаг [д(Х„Х,)]— г!! + и! Преобразования, делающие дисперсию постоянной.

В статистических задачах часто получается так, что дисперсия случайной величины является некоторой функцией от ее среднего значения р, например ягаг[Х] = !ге. В этом случае логичней рассматривать случайную величину У=Х(р, так как Ъаг[У]=1 и, следовательно, масштаб измерения У не зависит от ее среднего значения. Более общий подход состоит в том, что рассматривают такую функцию й'(Х) от случайной величины, что ягаг[у(Х)] мало зависит от среднего значения Х и, следовательно, от среднего значения д(Х), Используя (3.2.26), получаем, что если потребовать, чтобы 'ягаг[д(Х)] была константой йг, то м! ( — ) г!г (р), где угаг[Х]=ф(р). Поэтому с точностью до адднтивпой константы (3.2.28) а случайная величина !т(Х) имеет дисперсию, которая мало зависит от среднего.

В упоминавшемся выше примере ягаг [Х]= гр(р) = = ре, так что п(р) =1п р. Таким образом, случайная величина !п Х имеет дисперсию, мало зависящую от среднего значения, н поэтому она дает более логичный масштаб измерения, чем сама Х. Преобразования, делагощие дисперсию постоянной, направлены на то, чтобы получить плотность вероятности для преобразованной случайной величины, более похожую па нормальную плотность, чем плотность величины Х. Следовательно, плотность вероятности преобразованной случайной величины будет полнее охарактеризована с помощью ее среднего значения и дисперсии, чем плотность самой Х. 3.3.

ВЫБОРОЧНЫЕ РЛСПРЕДЕЛЕННЯ Одна из важных задач теории вероятностей состоит в нахождении плотности вероятности 7х(х) некоторой функции Х(Хь Х, Х„) от и случайных величин Хг, Хя, ..., Хя, если дана их совместная плотность вероятности [2,2Я]. Эти выводимые распределения 3.3, Выборочные распределения 103 102 Гл. 3 Теория вероятностей используются при статистическом анализе данных следующим образом. Предположим, мы хотим собрать конечную выборку наблюдеНцй Х1, Ха.. Хео ПО КОтарЫМ НаМ НужНО СОСЧИтатЬ НЕКОтОруЮ функцию х(хь хь ..., х„), например среднее значение. Тогда, прежде чем данные собраны, можно описать все возможные наборы данных, которые можно было бы получить с помощью случайных величин Л'1, Хи ..., Х . Таким образом, полнота возможных экспериментов описывается и-мерным выборочным пространством, с которым можно связать совместную плотность вероятности /1 с, (х,, х...

хн). Используя методы, описанные, например, в [2], можно затем вычислить плотность вероятности /х(х) функции Х(Х1, Х,,, ..., Хн). Эту плотность вероятности можно использовать до сбора данных для предсказания частоты, с которой различные значения функции х(х1, хм ..., х ) будут попадать в интервал между двумя любыми пределами в повторяемых выборках объема и. Поэтому плотность вероятности /х(х) называется выборочным распределением случайной величины Х(Х1, Лм ..., Хн). 3.3.1.

Выборочное распределение среднего значения в случае, когда дисперсия известна Приведем простейший пример выборочного распределения. Пусть производится п независимых измерений некоторой переменной, например обратного коллекторного тока в транзисторе. В этом случае совместная плотность вероятности просто равна /'1 "а(Х1. Хг, ..., Хн)=-.«'1(Х1).«с(хт) ....«а(Хн), (3.3.1) Предположим, что нас интересует изменчивость выборочного среднего этих измерений.

Тогда если предположить, что каждая Хе распределена как Л'(1л, а'), то можно показать [2], что плотность вероятности среднего арифметического значения случайных велиеа чин Х = (1/и) ~ Хе будет распределена как У(1л, о'/и), т. е. 1-1 «'-(х)= —, ехр~ — 2 ( ) ~; (3,3,2) (3.3.2) называется выборочныле распределением среднего для нормальных случайных величин. Частотная интерпретация, которую можно применить к (3.3.2), заключается в следующем. Если представить себе очень большое число экспериментов, каждый из которых состоит из и независимых измерений, взятых из нормальной популяции с у(р, ос), то гистограмма распределения х стремилась бы к нормальному закону (3.3.2).

Выборочное распределение выборочного среднего обычно очень близко к нормальному, даже если отдельные распределения /1(х1) /н(х,) сами не являются нормачьнымн Этот важныи ре зультат следует из центральной предельной теоремы [2]. Выборочное распределение, подобно любому другому распределению, можно описать с помощью его моментов, обычно называемых выборочными моментами.

Например, выборочное распределение среднего нормальных случайных величин (3.3.2) полностью описывается с помощью выборочных моментов Е[Х]= — р„ Чаг [ Х] = —. (3.3.3) Частотная интерпретация, которую можно дать этим моментам, состоит в том, что среднее из большого числа выборочных средних будет лежать очень близко к среднему значению популяции, или теоретическому значению р, и что изменчивость выборочных средних от выборки к выборке характеризуется дисперсией ва/и.

Одно из основных применений выборочных распределений состоит в том, что они позволяют делать вероятностные утверждения относительно случайных величин, таких, как Х. Например, рассмотрим выборку из 9 значений хе (1= 1, 2,..., 9) случайной величины Х, про коВероятности, относящиеся торую известно, что она рас- к нормированной иормааьной пределена нормально с едн- плотнасти ничноп дисперсиеи, по ненз вестным средним значением 1л.

Из (3.3.2) и (3.3.3) получаем, что случайная величина Х распределена нормально с Е[Х]=-р и а«аг[Х[= 1 — Следовательно, воспользовавшись приводимыми в табл. 3.4 вероятностями, относящимися к нор- =- нленеалн ане ннтераааа ( — 1, С-ЧР ре ( — ч < г ч н) 0,683 0,950 0,954 0,990 0,997 0,317 0,050 0,046 0,010 0,003 1,00 1,96 2,00 2,58 3,00 Рг [ 1а — — ' < Х < 1а + — ' ~ = 0 95 1,96 1,96 1Г9 )' 9 или Рг [ р — 0,653 < Х < 1л + 0,653 [ = 0,95. мальному закону, можно подсчитать вероятность того, что наблюденное значение х случайной величины Х будет лежать в заданном интервале.

Например, Гл. 3. Теория еероятностея З.З. Выборочные распределения 105 05 О,а О,З О,с ОДО 14 15 ;ю Е ~Х'„~=а, 'тгаг [у'„] = 2ч. (3.3.6) (3.3.7) Это означает, что если случайная величина Х распределена нормально со средним значением рс и дисперсией 1, то с вероятностью 0,95 случайная величина Х будет лежать не дальше, чем на н-0,653 . от р. Частотная интерпретация этого факта состоит в том, что из большого числа выборок, каждая из которых состоит нз 9 реализаций Х, приблизительно одна из двадцати выборочных оценок х будет отличаться от истинного значения 1с больше, чем на 0,653.

Обратная и более трудная задача получения выводов относительно 1с по данному значению х обсуждается в гл. 4. 3.3.2. Выборочное распределение дисперсии Выборочное распределение среднего представляет собой распределение суммы случайных величин. Следующее простейшее выборочное распределение — распределение дисперсии нормальных случайных величин — представляет собой распределение суммы квадратов случайных величин Ха+Ха+...+Ха .

Предположим, например, что имеется п независимых измерений нз У(0, 1)-популяции и требуется найти выборочное распределение случайной ве- личины ыл= Х1+ Хе+ . +Хо (3.3.4) Распределение ти„называется тя-распределением с п степенями свободен Общий вид плотности вероятности тв-распределения с ч степенями свободы следующий: . Гу,'(х) = ходв ' ехр( — — ) (О (х ( оо), (3,3,5) где Г(т(2) = ( е сб""-~' с11 — гамма-функция от аргумента ъ/2. о Графики зависимости 7 * (х) от х для и=1, 2, 3 и !О приведены на рис.

3.9. Для о=1 плотность вероятности имеет бесконечную ординату при х = 0 и стремится к нулю, когда х стремится к бесконечности. Для и = 2 плотность вероятности является экспонентой, а для и » «3 плотность вероятности принимает унимодальную форму. Заметим, однако, что для малых т распределение очень несимметрично. По мере того как е возрастает, плотность вероятности начинает выглядеть все более и более похожей на нормальную, как это и предсказывается центральной предельной теоремой.