Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1), страница 8

Поэтому преобразование Фурье действительно периодической косинусоидальной волны (бесконечного протяжения) состоит из дельта- функции амплитуды а)2, сосредоточенной в 1=+(1/Л), и дельта- функции амплитуды а/2, сосредоточенной в Г = — (1/Л), Аналогично комплексный сигнал г(у)= — е ' ', — — 2(1( —, Гл. 2. Анализ Фурье Весовая функция полностью характеризует поведение системы, точно так же, как это делает дифференциальное уравнение.. Иив ивариантные во времени линейные системы. Уравнения (2.3.3) и (2.3.4) изображают в общем виде то, что известно под именем инвариантных во времени линейных систем, или фильтров. Они характеризуются следующими свойствами.

а) Свойство линейности: если х«(т) и хз(г) — два входных сигнала, а у~(У), уз(1) — соответствующие им выходные сигналы, то линейная комбинация р«1х«(2)+р хт(г) входных сигналов дает на выходе ту же самую линейную комбинацию выходных сигналов р1у1 (т) + рзуз (т). б) Свойство неизменности во времени: если входной сигнал х(~) задержать на время т, так что получится х(с — т), то выходной сигнал задержится на то же самое время и будет равен у(1 — т).

И менно свойство (б) обеспечивает то, что весовая функция Ь(и) не зависит от времени. Линейная система без снойства инвариантности во времени имела бы весовую функцию, зависящую от времени 6 Можно показать, что системы, которые могут быть описаны с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными 2.3.3 . В коэффициентами, имеют инвариантное во времени предстаат авленне ( .. ), прочем, многие нелинейные системы можно линеаризовпгь так, что для малых возмущений на входе можно использовать (2.3.3) как )триблнженное изображение системы. 2,3.2.

Функции скачка и импульсные функции Для любой физической системы весовая функция Ь(и) должна быть равна нулю для отрицательных значений и; это означает, что система не может давать отклик на входные сигналы, которые она еще не приняла. Это условие называется условием физической реализуемости. Для физически реализуемых систем уравнения (2,3,3) и (2.3.4) можно записать в виде у (1) == ) Ь (и) х (т' — и) «уи, (2.3.5) о илн же у (т) = ~ х (и) й (у — и) т(и.

(2.3,6) Функции отклика на единичный импульс «5 Предположим что на систему воздействует резкий импульс в момент времени 2=0, " и нз В нашей литературе используются также следующие названия: весовая функция, импульсная передаточная функция, импульсная пере ф функция импульсной реакции, импульсная характеристика.— Прим. персе, 2.3. Линейные системы и свертки так что х(2) = 6(1) Тогда 3' у (2) = ~ Ь (и) й (1 — и) е(и, (2.3.7) и, используя (2.2.5), получаем, что последнии интеграл равен л(2). Весовая функция л(1) называется функцией отклика этой системы на един ч единичный импульс [4], так как она дает выходной сигнал в момент т для системы, подверженной действию импульса при 2=0.

Отклики на единичный импульс для некоторых простых систем при риведены в первом столбце табл. 2.6. На рис. 2.7 приведены отклики на единичный импульс для трех из этих систем. В перво м п пмере (а) система представляет собой простую задержку, для копрп орой выходной сигнал, или отклик на единичный импульс, яв. ляторой в ется таким же импульсом, задержанным на время т. Во втором пр- имере (б) система описывается одной постоянной времени и изображается дифференциальным уравнением (2.3.2); для этой системы отклик на единичный импульс является экспоненциальной кривой, изображенной на рис. 2.7, б. Третий пример (в) представляет собой систему второго порядка, изображаемую дифференциальным уравнением 1 йзу + 2« йу + (р) "и (2.3.8) у(~)=~ й(и) сти, (2.3.9) так что отклик на единичный скачок равен интегралу от отклика на единичный импульс.

Из рис. 2.7 можно видеть, что отклик на единичный скачок для системы, являющейся чистой задержкой т, есть также единичный Для этой системы откликом на единичный импульс является затухающая синусоида, показанная на рис. 2.7, в. Функции отклика на единичный скачок *5 Линейную систему можно также охарактеризовать с помощью ее отклика на функцию. единичного скачка (2.2.7). Предположим, например, что входным сигналом является скорость притока холодной воды в теплообменник, а выходной сигнал — температура воды у выпускного отверстия. Тогда откликом на единичный скачок будут изменения температуры со временем у выпускного отверстия, после того как сделано единичное изменение входной скорости потока. Из (2.3.5) получаем, что отклик в момент времени 1 на единичный скачок при т = 0 равен ! »> Иногда называется также «переходная реакция нз скачок».— Прим, перез $ в Сд ОО д ОО и ! ! О д о х! О О и О в М о о О О О О О О э в э ! О з и х О в х (! =з О ох О х в *х» Зх вх х а.

хо х дд х о. хо д» ох й х х х х х х в В д» в« х О дд О' дд ох х ох хо х» в Ех ОО С» Ч л У л Ж ь. » в д ~ 7 ~! О Б в а у О О М э" ьв О С о» о» ОО О.О в в В О в х » »О ь а. в о с в в »" о О о х х х хв в х в о а. в х х в х х О в в в д »" в о о х Ов О л д дд в х » а «о во д»»д. д' в в в х х д х \ х х о в х а. О' О в О в в О» о а х а д» д а » в х о в х х в О' о с» О х о с в х в х х о вх М ва о в О О о .О в в в о( в х во ох о в х д сов о в «х в со хо« а Хвв а. ва.хв ма о с х б.

е Гл. 2. Анализ Фурье 59' 225 Линейные системы и свертки д=) н(м) с(и, о (2.3.10) ( К, ) ( й (и) ) сди, ( й(п) ) выл (Кт, сз и и (2.3.1 1) 2.3.3. Частотные характеристики скачок, начинающийся на т сея позднее, как показано на рис. 2.7, а. Для экспоненциального отклика на единичный импульс отклик на 0 0 т Единичный импульс на входе Единичный скачок на входе а й а в й й м и б и й ,й чь дтпклики на импульс Р ис. 2.7. Отклики на единичный импульс и единичный скачок для некоторых простых систем. единичный скачок экспоненциально возрастает, стремясь к своему предельному значению, как показано на рис. 2.7, б.

Для системй второго порядка (рис. 2.7, в) отклик на единичный скачок перехо- дит свое предельное значение и затем колеблется около него с уменьшающейся амплитудой. Когда 7 — ь.оо, отклик на единичный скачок (2.3.9) стремится к значению которое называется установившимся усилением системы, так как оно измеряет предельное значение усиления после того, как система возмущена единичным скачком и ей дана возможность дойти до нового установившегося значения.

Устойчивость. Система называется устойчивой [4), если ограниченные входные сигналы создают ограниченные сигналы на выходе. Ясно, что такое свойство желательно, так как в противном случае выходной сигнал неограниченно возрастал бы. Предположим, что ) х(7) ~ (Кь в (2.3.5), где К, — некоторая конечная константа. Тогда ~топ=!1 и) и — ~е с 1 ~ьи)1$ о — ич,с так что достаточным условием для того, чтобы система была устой- чивой, является где Ка — также некоторая конечная константа.

Другая форма усло- вия устойчивости будет дана в следующем разделе. Для входных сигналов, более сложных, чем импульс или скачок, вычисление выходного сигнала с помощью интеграла свертки (2.3.5) становится утомительным. Эта задача значительно упрощается при использовании анализа Фурье. Метод состоит в следующем: сигнал з(7) разлагают на его компоненты Фурье 5(7) по формуле (2.1.24), затем находят отклик системы на периодический сигнал зт(7) = евчи и и, наконец, суммируют все отклики по формуле (2.1.22), что и дает окончательный выходной сигнал. Сначала нужно узнать бо 2.3.

Линейные системы и свеРтки Гл. 2. Аникии Фурье «ь А(у) =) й(и) соз2.у и суп о (2.3.13) В Я= ) й(и) з1п2к7и аи. о Иначе (2.3.12) можно переписать в виде у(У) = 0 (7) соз ]2и~У+ ф(У)], где (2.3А 4) (2.3.15) 0(7) =)7А'(У)+ В'Я у (У) = асс( д ( — — ~1 . А(7)! Отс сюда отклик иа косииусоидальиую волну частоты 1 является коудой, умиожеисииусоидальиой волной той же частоты, ио с амплитудой, ум иой иа величину 0 (1), называемую коэффит1иентом усиления, и с фазой, сдвинутой иа величину Чз(Д), называемую фазовым углом. ,Как и прежде, для удобства оперирования с формулами рассмотрим отклик иа комлексиый входной сигнал Ер "П=СОЗ2 ус+уа1П2ит с частоты!. В этом случае выходным сигналом будет у(с) =Н(Т)е"кп= 0(у) еси "~ ~ "~", где функция Н(у)=0(у)еУт = ) п(и)е У ~ аи (23.17) о называется частотной характеристикой сисгемвс. Следовательно, частотная характеристика является преобразованием Фурье от функции отклика иа единичный импульс.

Графики Бодэ. Частотные характеристики, коэффициенты леиия и фазы л еиты усифазы для некоторых простых систем приведеиы отклик системы иа входной сигнал х(1) = соз 2п(с. Подстановка этого сигнала в (2.3.5) дает у (у) = ) Ь (и) соз 2я у (т — и) йи = ) й (и) [соз 2 11 соз 2я1 и + о о + з1п 2 71з1п2иТи] ага=А (у)сов 2««ус+ В(7) з1п2кус, (2 3,12) где в табл. 2.6, а коэффициенты усиления и фазы изображены иа рис. 2.8. Обычно иа график наносят логарифм коэффициента усиления в зависимости от логарифма частоты и фазу в зависимости от логарифма частоты.

Эти графики называют графиками Бодэ ]5]. Графики на рис. 2.8 распадаются естественным образом иа четыре категории. !. Е!омера 1 и 2 имеют постоянный коэффициент усиления для всех частот и называются широкополосными системами «1 (пропускающими все частоты), 2. Номера 3, 4, 5 и 6 таковы, что высокие частоты отфильтровываются или ослабляются системой, а низкие частоты пропускаются с различными коэффициентами усиления.