Дженкинс, Ваттс - Спектральный анализ и его приложения (выпуск 1), страница 7

Функция 5(1) называется преобразованием Фурье 'функции е(г). Соотношение Парсеваля (2.1.20) для случая бесконечного интервала можно записать в виде т/2 О» зз(~) ей= ) !Т5 Р— — тп Х= — ОО Предельные операции в (2.1.25) можно представить себе следующим образом: сначала считаем, что мощность, или дисперсия, !5 на частоте т~Т распределяется на полосе частот шириной ЦТ, что дает среднюю мощность Т!5 !' в этой полосе; затем эта средняя мощность стремится к непрерывному распределению мощности по частоте по мере того, как ширина полосы становится бесконечно малой.

Физически преобразование Фурье 5(1) представляет собой распределение интенсивности сигнала по частоте, т. е. является функцией плотности. Если е измеряется в вольтах и ь — в секундах, то размерность 5(!) есть «вольт-секунда», или «вольт на единицу частоты», так как ! имеет размерность частоты, т. е. сек-'.

В математических руководствах по анализу Фурье приводится множество достаточных условий для существования интегралов л » в с о. »о о е с » с о. о в О» х о а О х х 'О» 3 ао Гл. г, Анализ Фурье 44 гь ь гь 5 сл Е ~ ~(-со»т» со) 2/11 + (2кУ)з) в1п 2к1Ь 2нуь О, [П)Ь а )г[» Ь е аУН сов2нУо( (2.!.22) и (2.1.24). В этой книге мы обходим эти условия, используя теорию обобщенных функций, начало которой было положено Дираком и которая впоследствии была строго обоснована Шварцем Превосходное описание этой теории дано в [1, 4*[; можно рекомендовать также [2[. Согласно этой теории, каждая обобщенная функция имеет преобразование Фурье, которое само является обобщенной функцией.

Одно из следствий этой теории заключается в том, что ряд Фурье можно рассматривать как частный случай интеграла Фурье, как мы увидим впоследствии, Результаты равд. 2.1 резюмированы в табл. 2.3 на стр. 43. 2.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ИХ СВОИСТВА 2.2.1. Функции с хорошим поведением В качестве примера применения (2.1.24) рассмотрим преобразование Фурье простой функции в (1) = е ~щ. Тогда Я(Т)= ~ а-)г~а-Ут" ж= 1 1 2 1 — 12кУ + 1+ 12кУ 1+ (2яУ)т В табл. 2.4 приведены преобразования Фурье некоторых си~палов з(1), которые нам понадобятся позднее. Таблица 2.4 Некоторые простые функпии и их преобразования Фурье а а аз+12.

(г+ /в))а аз+ 12а(У вЂ” то))т Эти сигналы и их преобразования изображены на рис. 2.3, Вспоминая, что 5()) дает распределение интенсивности сигнала по частоте, отметим, что сигнал на рис. 2.3, и является вполне плавным, н поэтому в его преобразовании доминируют низкие частоты.

Заме- г.г. Преобразования Фурье и их свойства тим также, что острые углы в з (1), как на рис. 2.3, б, создают волнистую рябь, или боковые лепестки, в преобразовании, а периодич- Г) Р и с. 2.3. Некоторые простые сигналы и их преобразования Фурье. ности в в(1) появляются в преобразовании в виде пиков, что видно на рис. 2.3, в.

Все сигналы в табл. 2.4 являются четными функциями Ь, и поэтому их преобразования Фурье являются действительными и Гл. 2. Анализ Фурье 46 2.2. Преобразованил Фурье и их свойства 47 четными функциями. В общем случае это не так. Например, предпо- ложим, что з (Г) не является четной функцией О, г(0, е-е, 0~ (Г.=, оо. Тогда, используя (2.1.24), получим 1 1+ /2вУ Это преобразование является комплексным, его можно записать в виде суммы действительной и мнимой частей: 1 .

2«У Иначе его можно записать, используя (2.1.13), в виде амплитудной и фазовой функций 5 (У) =, ехр ( — /' агс1ц 2ву), )Г1+ 12и/) а так что ег (г ) =, у (у ) = агс1д ( — 2тс)'). )й1 + 12«У)з Отметим, что все эти преобразования затухают, или «диссипируют», когда 1 стремится к бесконечности. Теперь мы рассмотрим случаи, когда преобразования не затухают. 2.2.2. Обобщенные функции Единичная высота. Если а = 1, то в1п 2т/Ь 5(у)=2Ь 22«еЬ (2.2.1) Если Ь стремится к бесконечности, то в(с) стремится к константе, равной 1 всюду.

Поведение 5(1) при увеличении Ь проиллюстрировано на рис. 2.4, где можно видеть, что 5()) стремится стать острым пиком бесконечной высоты при 1=0 и ограничена во всех остальных точках. Такая функция понимается как дельта-функция Дирака, илн импульсная функция. Поэтому преобразование Фурье от константы есть дельта-функция.

Рассмотрим два специальных случая прямоугольного импульса, приведенного во второй строке табл. 2.4. Единичная площадь. Если 2аЬ = 1, то з1п 2«УЬ 2«УЬ (2.2.2) Дельта-функции. Последовательность функций (2.2.1) при Ь оо, которая послужила нам для определения дельта-функции, не является единственной. Вообще дельта-функцию можно определить как последовательность функций б„(Г), таких, что ) 6„(г) с(г = 1 для каждого л, (2.2.3) и в пределе, когда л- со (2.2.4) Примеры таких последовательностей функций вместе с их преобразованиями Фурье приведены в табл.

2,5. Заметим, что 5„(1) стремится к константе (единице) для всех 1, когда л — оо. Одну из физических интерпретаций дельта-функции дает описание процессов преобразования энергии в некоторой системе, Используя пример из механики, предположим, что твердый брусок находится в покое на плоской поверхности. Если выстрелить в этот брусок очень маленькой пулей, летящей с большой скоростью, то при ударе пули произойдет обмен энергии. Предполагая, что столкновение происходит столь быстро, что брусок не успевает сдвинуться за это время, можно считать, что пуля передала бруску импульс энергии в виде изменения количества движения. Другую интерпретацию, взятую из теории электромагнетизма, дает единичный точечный заряд в начале координат.

Дельта-функцию можно использовать как операторный прием для выбирания значения сигнала в данный момент времени. Следующая выкладка поясняет это: ,) ( Гв) з (с) с"с = в(Ге) (2.2.5) и-ь со ьь Когда Ь -О, 5(1) всюду стремится к единице. Однако по мере того как Ь убывает, з(Г) становится все более высокой, как показано на рис. 2.5.

Отсюда следует, что з(Г) стремится к дельта-функции, сосредоточенной в начале координат. Эти два случая показывают, что преобразование Фурье от константы есть дельта-функция и, наоборот, преобразование Фурье от дельта-функции есть константа. Эту взаимность следовало ожидать из-за симметрии равенств преобразования (2.1.22) и (2.1.24). ь (о 1) 2 в(п 2хп! и 2хп! 1У1< ° О, )у))п е — П(в 2) ф'и е ""' з) — ", е- ((( 2 пт+ (2ну)т е — (2 с(в( 1 и 4) х пап+ 1 б х а 1 — —, (У) (л (У) О, )У1) л из(п (хп!) (нп!)з я о о Д (! (о) з (!) с(! ( 1) з (!о). (2.2.6) (6'(!) Ж = — 1, — ьь о х (ь х о ь х н х,ь х а и еь 3 н х ,ь т х х х о 3 х о в о х о ,ь о. х о о х х о. й х о х х о х х о о х Бо .ь Р,х х и хо о сь 3 о хо ь ю о, ох ь х ох и х о.

( 22. Преобразования Фурье и их свойства Таблица 2.5 Последовательности, определяюи(не дельта-функции Рассматривая аналогичным способом предел последовательности т-х производных 6„(!) [11, можно определить т-ю производную дельта-функции, а именно 6( 1(!). Ее можно использовать для выбирания т-й производной некоторой функции в данной точке, Это приводит к обобщению (2.2.5), а именно Возвращаясь к интерпретации дельта-функции как единичного заряда в начале координат, можно сказать, что 6'(!) соответствует математической идеализации единичного диполя. Это обусловлено тем, что первый момент 6'(!) равен где мы воспользовались (2.2.6).

Поэтому абсолютный момент 6'(!) равен единице, что является стандартным определением единич- ного диполя. 50 Гл. 2. Анализ Фурье Функция единичного скачка вй С 6(1) тесно связана функция единичного скачка. Физически она соответствует приложению единичной силы, которая затем остается постоянной, или переключению крана, которое меняет поток в трубе. Математически она является сигналом, задаваемым равенствами О, ь'«..О, 1 — с=О, 2 ' У(1) = (2.2.7) 1, 1.">О (2.2.8) что иллюстрирует важный результат: производная функции скачка есть дельта-функция.

Преобразованием Фурье функции единичного скачка (2.2.7) является ("~) 2 (л ) + 72пт ' 2 .2.3. Ряды Фурье как преобразования Фурье Рассмотрим преобразование Фурье следующего сигнала; а, — 2 Я-.У( 2 2вс Т Т зг(ь) = О, 2 который является «периодическим» сигналолч в интервале ( — Т72, +Т)2). Непосредственно используя (2.1.24), получаем, что его пре- образование Фурье равно а (7, в1ппТ (т — (1ЯЦ Т в1пеТ [У+ (1ЫЦ ят [т — (1,ац + Т .т (т+ (1)вц (2.2.10) «11) Ц п'1 з1ер )нпсноп.

В операционном исчислении применяется также нвзввние «единичная функция (Хенисайда)». — Прим. перев. Функцию У(1) можно рассматривать как предел последовательности функций (у (1) при и- о, например — е 1 пь у<о, ~п (") Когда и- оо, то У„(1) - О для отрицательных 1 и к единице для положительных й Дифференцирование (з'„(1) дает „, и„(г)= — "е ' " =й„® (2.2.9) й2.

Преобразования Фурье и их свойства имеет преобразование Фурье М, .т (т — (вь)ац ог(1)=Т т(т — (ж ац Поэтому, когда Т- ос, сг(0 стре"итси сюда следует„ что периодический сигнал с периодом Л, представляемый рядом Фурье з(у) ~~~~ 5 е" (2.2.13) имеет преобразование Фурье ~(7)= ~ ~. [,.Т- —;), (2.2,14) вь ь которое представляет собой ряд, состоящий из дельта-функций, Та- ким образом, допуская обобщенные функции, ряды Фурье можно рассматривать как частный случай преобразований Фурье.

Для того чтобы найти коэффициенты Фурье 5, соответствую- щие некоторой обобщенной функции, уже нельзя применять клас- сическую формулу (2.1.18), так как обобщенная функция может оказаться неинтегрируемой в конечных пределах. Соответствующая формула, которую нужно использовать в таких случаях, приводится в [1[. В частности, можно показать, что преобразованием Фурье ряда, состоящего из дельта-функций ьь й(1 — лЛ), (2.2.15) й Когда Т стремится к бесконечности, сигнал згЯ становится действительно периодическим сигналом з(1) (периодическим для всех Яьв' моментов времени), в то время как преобразование 5г(1) стре- *";з мится к З(Л= 2 (й(7' — —,')+ [,7++)~, (2.2.12) поскольку каждый из членов внутри фигурных скобок в (2.2.11) является последовательностью, сходящейся к дельта-функции.