Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С., страница 9

В самом деле, тождественность безразмерных полей означает, что в подобных процессах безразмерные дифференциальные операторы имеют одно и то же значение. В символах это положение выражается записью (<рь пс <р/бфс) !пеш (6.2.1) где Ыеш — «одно и то же» в отличие от символа сопз(, означающего «постоянное значение». С другой стороны, рассматриваемые процессы имеют одну физическую природу и соответственно описываются одними и теми же основными уравнениями. Следовательно, для подобных процессов должно быть также удовлетворено все уравнение (6.1.5) в целом.

Последнее возможно только тогда, когда наряду с условиями (6.2.!) будет также выполнено условие К; = Ыеш. (6.2.2) Таким образом, в подобных процессах безразмерные комплексы К имеют одно и то же значение и называются критериями подобия. При этом следует отчетливо помнить, что подобие требует не равенства всех критериев друг другу, а одинаковости значений одноименных критериев, т. е. условие (6.2.2) в развернутой форме имеет вид К,= !депп К»= Ыет; (6.2.3) К = Ыегп.

Из уравнений (6.1.5) видно, что число критериев равно числу членов уравнения без единицы, т, е. гл=п — !. (6.2А) 6.3. ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ. УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ Физический процесс полностью описывается некоторой системой основных уравнений и присоединенных к ним краевых условий в том случае, когда эта система является замкнутой.

Тогда в принципе существует некоторая функция у; ==Ф,. (х,; х,; х,; ...; х„), ,"(6.3.1) где у; — искомая неизвестная (зависимая) переменная; х; — независимые переменные, входящие в основную систему уравнений. Для того чтобы выяснить, какие нз входящих в уравнения переменных являются независимыми, необходимо определить следующие условия протекания изучаемого процесса: !) геометрические свойства системы, в которой происходит процесс (включая и координатную систему); 2) существенные для этого процесса физические характеристики тел, образующих систему; 3) началь- ное или конечное состояние системы; 4) условия на границах системы в течение процесса. Как видно, этот перечень представляет собой расширенное определение краевых условий и называется условиями однозначности физического процесса. Таким образом, условия однозначности являются комплексом физических н математических условий, обеспечивающим локальное существование и единственность решения заданной системы уравнений.

Величины, входящие в условия однозначности, задаются внешним образом по отношению к основным уравнениям и являются поэтому независимыми переменнымн, множество которых однозначно определяет протекание данного физического явления. В соответствии с этим все остальные переменные, входящие в основные уравнения, являются зависимыми переменными. 6.4.

КОМБИНИРОВАНИЕ КРИТЕРИЕВ. СОБСТВЕННО КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ Рассмотренная выше безразмерная форма основных уравнений может быть получена путем деления ряда на любой из его членов, а не только на первый, как это было сделано в уравнениях (6.1.5). При этом нельзя указать какие- либо твердые правила выбора того или иного члена в качестве делителя. Следовательно, форма критериев К;, получающихся в результате приведения уравнения к безразмерному виду, вообще говоря, случайна, и количество возможных форм зависит от числа членов уравнения. Неизменным остается только общее число критериев, определяемое формулой.(6.2.4). Таким образом, первичные критерии, содержащиеся в уравнениях типа (6,1,5), могут состоять из масштабов как независимых, так и зависимых переменных. Допустим, что некоторая система основных уравнений содержит и критериев (6.2.3).

Очевидно, что множество условий (К; = — (беш), где ! = 1,2,..., и, эквивалентно множествам вида (К;!Кз = (оеш), где 1' фиксировано. Отсюда следует, что комбинация двух или нескольких первичных критериев также является критерием подобия. Однако общее число критериев подобия данного явления остается неизменным, т. е. не зависит от тех перестановок и рекомбинаций отдельных критериев, которые производятся внутри системы (6.2.3). Установленное правило комбинирования критериев подобия позволяет внутри любой системы первичных критериев выделить такие, которые состояли бы только из величин, входящих в условия однозначности. Таким образом, каждой системе первичных критериев подобия (К1 Ка Кз " Кт) (6.4.!) эквивалентна система критериев подобия (Ка Ка Каз~ " 1 Ка ~ Ка ~ Ка ~ Кк', ..., Ка ), (6.4.2) где та критериев Ка составлено как из зависимых, так и из независимых переменных и та критериев Ка составлено только из условий однозначности.

При этом и, + та = т, т. е. общее число критериев (6.4.1) и (6.4.2) одно и то же. Как уже было указано ранее, совокупность условий однозначности полностью определяет протекание данного процесса. В связи с этим критерии типа Кз, представляющие собой безразмерную форму условий однозначности, называются определяющими, а критерии типа Ка — неопределяющими, любой из которых является функцией системы определяющих критериев. Иными словами, размерной функциональной связи (6.3.1) всегда соответствует некоторая безразмерная связь типа Ка; = Ф1(КВ Ка ~ Ка,', ..л Ка ). (6.4.3) Отсюда непосредственно следует основное правило моделирования, сформулированное в свое время М.

В. Кирпичевым и А. А. Гухманом: подобны процессы, у которых подобны условия однозначности и численно одинаковы определяющие критерии. Каждая точка функции (6.4.3) соответствует группе подобных процессов, а множество точек этой зависимости эквивалентно множеству групп данного класса.

При анализе размерностей число определяющих критериев устанавливается формулой, аналогичной (6.1.1), т. е. лов = (в — га, (6.4.4) где (а — число независимых переменных данного процесса; гв — число пер- вичных размерностей, из которых составлены независимые переменные. а.з. кРитеРии пОдОБия кАк ОБОБщенные БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ В равд.

6.4 безразмерные параметры мы образовывали путем деления значения некоторой величины в данной точке на значение той же величины в масштабной точке. Теперь поступим несколько иначе. Выпишем уравнения теплопроводности и движения несжимаемой жидкости, полагая, что величины Х, с, р, р остаются постоянными в данном процессе: алло Т+ ц„(ср = дТ(дГ+(ог, агаб Т); д — (11р) угад р +чо7о оч = ди(д1+~ч~, ягад) ог; (6.5.1) 61ч ~ч = О. Так как температура и давление входят в эти уравнения только под знаками дифференциальных операторов, то уравнения (6.5.1) определяют не абсолютные значения Т и р, а нх отклонения от температуры и давления в некоторой масштабной точке.

Поэтому уравнения (6.5.1) можно переписать так: алло (Ь Т) + дг! ср = д (ЬТ) ~д1 + (ог, йгад (ЛТ)); д — (11р) дгаб (Лр)+ того оч =- дот1дГ+ (и, ягад) оч; дтто=О, (6.5.2) —,-Кгад ( —,)+ — Чой)= +(е, агад) е; осо Рео ) ео 1о о (ео Гдо) диче=О. (6.5.3) Здесь б:-= ЬТ(ЬТо — безразмерный температурный напор; е = еасо — безразмерная скорость; х = хП„у = уЛо, г = — аЛо — безразмерные координаты в дифференциальных операторах этих уравнений. Полученные безразмерные уравнения (6.5.3) содержат ряд комплексов в виде самостоятельных членов уравнения, сомножителей при дифференциальных операторах и непосредственно под знаками дифференциальных операторов.

Таким образом, уравнения (6.5.3) представляют собой связь между критериями подобия, выступающими в них в качестве не только безразмерных пара- где АТ и Лр — соответствующие перепады температур и давлений, определенные относительно некоторых заданных значений Т, и ре Разделим первое из этих уравнений на величину аЬТойо, а второе и третье — на величину гсоП„ где АТо — масштабный перепад температур; поо — масштаб скорости и 1,— масштаб длины.

Введя масштабные величины и физические характеристики (рассматриваемые в данном случае как постоянные) непосредственно под знаки дифференциальных операторов, получим метров при дифференциальных операторах, как в уравнениях типа (6.1.5), ио и в качестве обобщенных переменных. Это обстоятельство позволяет строить' безразмерные поля точечных значений соответствующих критериев рассматриваемого процесса. 66.

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ НЕКОТОРЫХ КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ Рассмотренные выше уравнения теплопроводности и движения несжимаемой жидкости дают семь критериев подобия: (Ы/а; гсэ/д/ Лр/рш' Ы/ч а///2; Ы/1; дч Р/ХЛТ). (6.6.1) Физический смысл некоторых из этих величин непосредственно ясен из самой их записи. Так, очевидно, что комплекс Лр/рш' является мерой отношения перепада статических давлений в потоке Лр к его динамическому напору риЧ2. Комплекс Ы// можно трактовать как отношение времени протекания процесса к некоторому масштабу, равному времени перемешения рассматриваемого элемента жидкости со скоростью в на пути /. Комплекс диет/АЛТ можно рассматривать как меру отношения количества тепла дчР, выделившегося в теле, к количеству тепла (х//) ЛТР, прошедшему через тело за счет теплопроводности.

При этом величина Р является масштабом объема тела, Р— мерой поверхности и / — мерой толщины. Остальные комплексы системы (6.6.1) требуют более детального исследования. Раскрывая значение коэффициента температуропроводности, представим комплекс Ы/а в виде отношения срш /(Л/1). Числитель этого отношения можно рассматривать как изменение теплосодержания потока в осевом направлении при изменении температуры на 1', а знаменатель — как тепловой поток за счет теплопроводности при поперечном градиенте температур 1'. Следовательно, критерий Ы/а является мерой отношения тепла, переносимого конвекцией, к теплу, проникаюшему в поток за счет теплопроводности.