Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С., страница 4

У чистых металлов коэффициент теплопроводности уменьшается с ростом температуры (рнс. 2.3), а у жидкостей эта зависимость подчас имеет весьма сложный характер (рис. 2.4. и 2.5). Так, коэффициент теплопроводностн воды в некотором интервале температур возрастает, а затем уменьшается (рис.

2.6). В газах импульс и энергия теплового движения передаются при непосредственном взаимодействии (столкновении) молекул, вследствие чего коэффициенты теплопроводности, вязкости и диффузии пропорциональны друг другу: а с)< срО, где 11 — коэффициент диффузии, м»/с. !5 о,гп а,пв 0,04 а,аг сьз с» с» с» с» с:» а т,'с Рис. 2.2.

Температурные зависимости коэффициентов теплопронодиости некоторых изоляционных материалов: 1 — асбест; 2 — ияфузорнаи земля; 3 — трепельвыв иврпич !обожженный): 4 — пробковая мелочь; азате-иый карборундовый кирпич; б — 57зй-иый карборуядовый кирпич 40 400 Х Е0,1 Ю 0,1 с с»тзы е» $ с» с» . с» с» с» сч 'Ф !6 . паб \ Е с щох о гоо бпо ооп т, к Рис. 2гю Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности не. которых газов при нормальном давлении: 1 — водород; 2 — гелий; 3 — неон; 4 — аргон; б — воздух; б — азот; 7 — двуокись уг. переда; 8 — фреев-12; 3 — фреоя-1! хгп =. гаа Е к" 100 Рис. 2гй Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности некоторых металлов: 1 — медь 100тз-ааи! 2 — медь зэ,этз-ная; 3— алюминий 99,799-~йй! 4 — алюманий 99,0зз.

ный; б — марганец 100тз-кый! б — маргаяеп зз,атз-ный! 7 — цика вз,атз.аый! 8 — плати. яа 100%-ная! 9-никедь 99%-ийй! 10 — ня. кель этсй-ный! и — железо 99,2сзбное! !2— свинец технически чистый ж к 0,1г Е со о,ов 0,00 »с к е 004 а вп. т,'с Рис. 2гж Температурные зависимости коэффициентов теплопроводности некоторых жидкостей: 1 — глицерин; 2 — уксусный авгидрад! 3— масляная кислота; 4 — пропялацетат; б— амиловый спирт; б — масло ВМ-4; 7 — бром беизол; 8 — днбромзгак В неметаллических конденсированных 07 г,б средах энергия теплового движения пере- Я,О дается в основном за счет колебаний мо- и лекул, т. е.

имеет место фононная тепло- О,б до проводность. В чистых конденсированных ". О,Π— — 10 э металлах теплота переносится движением ы ' ~м * р, бу -ф высокую теплопроводность и пропорциональность аВ ее электропроводности. В сплавах фононная и электронная теп- О,1 лопроводностибмогут быть соизмеримыми. Лля кристаллов имеет место анизотропия Рнс. 2.5. Температурные зависимости теплопроводности, т, е, значение Х не оди «оэффнпнентов теплопроводностн не- которых жидких металлов по данным иакова в направлении различных осей Л П, филиппова кристалла.

Таким образом, в уравнении (2.1.2) множитель пропорциональности Х в общем случае следует рассматривать как некоторую функцию температуры и координат, а следовательно, и времени. Однако во многих практически интерес- 0,0 эс . Оэ4 и ог 0 '100 200 000 400 000 б00 Г,'С Рнс. 2.6, Температурные зависимости коэффнпнентов теплопроводностп воды н водяного пара ных случаях с достаточной степенью точности оказывается возможным считать величину Х постоянной, вводя в расчет ее некоторое среднее значение в данном интервале температур.

2.2. УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ВЕЩЕСТВЕННОИ СРЕДЕ Вывод дифференциального уравнения распространения тепла основан на применении закона сохранения и превращения энергии. Лля тепловых процессов этот закон выражается в виде первого начала термодинамики, которое для единицы объема движущейся среды можно записать в виде уравнения Ъ с(1+ /-у г(1 = р [с[и+ д (иге/2)). (2.2.1) Здесь Яу — количество тепла, втекающего в единицу объема среды за единицу времени, Вт/м', /.и — работа, совершаемая внешними силами над единицей объема среды за единицу времени, Вт/м', и — внутренняя энергия одного килограмма среды, Дж/кг; ш — скорость движения (течения) среды, м/с. Уравнение (2.2.1) выражает то обстоятельство, что изменение полной энергии тела, складывающееся в данном случае из его внутренней энергии ри и кинетической энергии риз/2, обусловлено количеством теплоты, подводимой к 17 би-(-д(шг!2) =й+г((шг!2) — р 'с(р+ рр гг(р. (2.2.3) Выделим в рассматриваемом теле объем У, ограниченный поверхностью Р.

Уравнение теплового баланса этого обьема, отнесенное к единице времени, можно записать в виде (2.2.4) Внутренние источники тепла могут возникать вследствие излучения, объемных химических реакций, радиоактивного распада вещества, прохождения электрического тока, работы трения и т. п. Первый член этого уравнения представляет собой изменение теплосодержания рассматриваемого объема; второй член — количество тепла, ушедшее через поверхность р путем теплопроводности; третий — кбличество тепла, выделенное внутренними источниками (если ду имеет знак минус, то в теле находятся стоки тепла).

Между потоком вектора через замкнутую поверхность р, ограничивающую объем У, и расходимостью (дивергенцией) вектора существует связь, выражаемая формулой Гаусса — Остроградского: ядр = 1 йч ФП/. 1. ч) Преобразование (2.2.5) справедливо, если в объеме У нет сильных разрывов функции. Следовательно, в тепловой задаче это означает, что область У не должна включать границы раздела фаз.

Вводя преобразование (2.2.5) в левую часть уравнения (2.2.4), находим Я„= б(ч(Хдгаб Т)+дю (2.2.6) В прямоугольных координатах йч ц = др„1дх+ дс(„)ду+ дс(Ддг, Если принять гипотезу (2.1.2), то д; = — ХдТ~дхь Тогда выражение (2.2.6) в прямоугольных координатах имеет вид Яч=) ~ — + — + — )+ ГРТ дгТ дгТХ дХ дТ дХ дТ дХ дТ + — + — — +ич. (2.2.9) ~ дхг дуг дгг ) дх дх ду ду дг дг Подставляя это значение Яч в уравнение (2.2.1) и принимая во внимание соотношение (2.2.3), получаем уравнение Фурье — Кирхгофа: (дгТ д'Т, д'Т) дХ дТ дХ дТ дх дТ (, дхг дуг ' дгг / дх дх ду ду дг дг си р й )й й Это уравнение параболического типа, т.

е. имеет нестационарные решения при бесконечно большой скорости распространения теплового возмущения. Реальная же скорость распространения теплового возмущения в вещественной среде имеет порядок не более средней скорости теплового движения структурных частиц, а для излучения равна скорости распространения электромагнит- (2.2.5) (2.2.7) 48 телу, и внешней работой, совершаемой над телом. Поскольку рассматривается движение элемента потока жидкости, то работа в данном случае связана с изменением давления и внутренним трением текущей среды.

Внутренняя энергия среды связана с ее энтальпией (теплосодержанием) уравнением г(и = й — г( (р/р). (2.2.2) Для совершенного газа й = ср дТ. Воспользовавшись этими соотношениями, получаем ных волн. Однако во многих практических приложениях можно ограничиться уравнением распространения тепла в форме (2.2.10). Оно содержит давление р, скорость течения среды ш и плотность р. Следовательно, для общего решения задачи о теплообмене в движущейся вещественной среде к уравнению (2.2.10) необходимо присоединить еще уравнения, определяющие поле скоростей и связь между термодинамическими параметрами состояния среды. Такое замыкание системы дифференциальных уравнений теплообмена в движущейся вещественной среде достигается присоединением к уравнению распространения тепла уравнений движения и сплошности потока жидкости и уравнения состояния.

Полные производные по времени от давления, теплосодержания, квадрата скорости и плотности являются функциями координат и времени, в связи с чем полный дифференциал любой из них: йр = — с(1+ — с(х+ — с(у+ — с(г. дф дф дф дср (2.2.1 !) дг дх ду дг Отсюда др дф дср дх дф ду дф + — — + — — + — —. (2.2.1 2) с/С дг дх дг ду й дг сд Величины с(х/с1/ = ш„; с(у!Ш = ш„; с(г/Ш = пс, представляют собой проекции вектора скорости течения среды на соответствующие координаты. Таким образом, рассматриваемая полная производная распадается на две с физической точки зрения разные части. Первый член правой части выражения (2.2.12) характеризует изменение данной величины, связанное с изменением поля этой величины во времени. Сумма остальных трех членов правой части выражения (2.2.12) характеризует изменение данной величины, происходящее в связи с перемещением рассматриваемого элемента среды из одной точки пространства в другую.

Иначе говоря, частная производная дф/д/ представляет собой скорость изменения ф во времени в той точке пространства, в которой элементарный объем среды находится в данный момент времени, а сумма ш„дф/дх+ псг дф/ду+ ш, дср/дг = (су, вегас(.ф) (2.2.13) представляет собой скорость изменения ф, обусловленного перемещением элементарного объема среды с(Р' из точки со значением ср.= ср, в точку со значением ф фг' В связи с изложенным величина дф/д/ называется местным или локальным изменением, а величина (су, угас( ф) — изменением перемещения или конвективным изменением.

Для того чтобы подчеркнуть непосредственную связь производной с(ф/с(/ с движущейся средой (субстанцией), ее обозначают специальным символом /!ф/с(Г и называют субстанциональной производной: /)ф/с(/= дф/д/+ш„дф/дх+ шгдф/ду+ ш, дср/дг (2.2.14) или, в векторной форме: Пф/с(1 = дф/д/+(и, ягад ср). (2.2. 15) 2.3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Вводя полученное выше значение субстанциональной производной в урав- нение (2.2.10), получаем I дгТ дгТ дгТт дХ дТ дХ дТ дХ дТ А — + — + — + + + — +у= (, дх' дуг дгг ) дх дх ду ду дг дг с' дс д! дс дс 'с =р — +ш — +ш — +ш — + (, дс дх ду дг ) / дсгг/2 дисг/2 дсгг/2 дссг/2 С +р ( — +шх — +шг +юг — )— дг " дх " ду ' дг ) (9 — ~. — ( — +ш„— +ш„— +и,— ~+ / др др др др ~ 1,д/ "дк "ду *дг) + — — +ш — +ш — +ш — .

р / др др др др ~ р ~ д/ дк " ду дг ) В векторной форме это уравнение имеет вид йч(Лдгаб Т)+ ау+ Еу+ — — — — = р — +р — ° (2 3 2) Рр р Рр Р/ 0ар/2 д! р д/ д/ д/ При умеренных скоростях течения жидкости, когда работа внешних сил и кинетическая энергия потока малы по сравнению с его энтальпией (т. е. практически можно пренебречь влиянием изменения давления и кинетической энер,гией), уравнение распространения тепла в вещественной среде существенно упрощается и принимает вид бгу(Лягай Т)+ау =рР//с//. (2.3.3) Если коэффициент теплопроводности и удельную теплоемкость среды можно с достаточной точностью считать постоянными, то ЛЧ' Т+г/у =срРТ/й.

(2.3.4) В неподвижной среде, в частности в твердом теле, ш = О и при постоянных физических свойствах ЛЧ' Т+ г/г =- срд Т/дй (2.3.5) При отсутствии внутренних источников тепла, умеренных скоростях течения и постоянных физических свойствах среды уравнение распространения тепла принимает наиболее простую форму (уравнение Фурье — Остроградского ;(21): — ЧгТ=дТ/д/+(~ч, ягаб Т). (2.3.6) ср В это уравненив Л, с (для газа ср) и р входят не порознь, а вместе — в виде .комплекса (2.3.7) а.= Л/ср, :играющего здесь ту же роль, что и коэффициент диффузии в уравнении массо- переноса. Очевидно, что всякий комплекс, составленный нз нескольких физических характеристик, может, в свою очередь, рассматриваться как новая физическая величина, характеризующая некоторые особые свойства среды.