Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С., страница 6

М., «Наука», 1973, Т. 1, 336 с.; Т. 2, 384 с. 3. Шлихтияг Г. Теория пограничного слоя. М., «Наука», 1968. йзз Р (в«) = 25 — — (Фч чу)х (3.3Л) з называется функцией рассеяния (диссипации) механической энергии потока. Это рассеяние энергии происходит путем перехода ее в теплоту в результате действия внутреннего трения жидкости. 1'лапа УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА 4.1. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ Путем ввода краски в поток жидкости или дыма в поток газа, движущихся в канале с прозрачными стенками, можно наблюдать траектории отдельных элементов изучаемого потока. При этом оказывается, что характер движения существенно меняется при переходе от одних значений скоростей течения к другим.

В области малых скоростей окрашенные частицы следуют в потоке по вполне определенным плавным траекториям, все время сохраняя движение в направлении вектора средней скорости потока, а возникающие в потоке случайные нерегулярности не развиваются, а гаснут. Этот вид движения называется ламинарным (слоистым) течением. При этом под средней скоростью потока прн р = сопз( понимается отношение 1п = 1 Ц пп(аг(1, пью (4.!.1» — — йгад 'р+ъ7' в = (и, йгад),ду1 1 Р б1ч и = О. (4.1.2) Если величины р и ч заданы, то уравнения (4.1.2) содержат только два неизвестных: давление р и скорость течения в. Следовательно, движение рассматриваемого потока определяется вполне однозначно, если известны геометрическая конфигурация канала, кинематическая вязкость жидкости и поле скоростей течения или поле относительных перепадов давления ((Чр) дгаб р).

Выбирая в качестве независимой переменной скорость течения жидкости„ имеем в качестве определяющих параметров потока три величины (ч; в; 1). Здесь 1 — характерный геометрический размер канала (для круглой трубы 1 = 0); и — осредненная по сечению канала скорость течения жидкости. Составляя безразмерную комбинацию этих трех величин, получаем комплекс Ке= в1/и (4.1.3) 26 где Лг' — промежуток времени, за который производится осреднение, с. При некотором значении средней расходной скорости потока упорядоченное течение резко нарушается: в потоке возникают пульсации скорости, подкрашенные струйки быстро размываются, отдельные объемы («комки») жидкости начинают двигаться поперек потока и даже в обратном направлении к общему осредненному движению. Возникшее нерегулярное, случайное в отношении малых элементов потока движение является весьма устойчивым в среднем и единственным реально существующим в области значительных скоростей течения.

Таким образом, наиболее характерным видом движения жидкой среды является движение, не упорядоченное в малых элементах потока. Такого рода течение называется турбулентным. В области скоростей, при которых имеет место ламинарное течение, не только капельные жидкости, но и газы во многих случаях могут рассматриваться как практически несжимаемые среды. Кроме того, при вынужденном течении обычно можно пренебречь действием силы тяжести. Уравнения движения и сплошности установившегося течения при этих условиях примут вид Рейнольдс показал, что переход от одного. режима течения жидкости к другому происходит при некотором определенном значении этого безразмерного комплекса, а именно: при движении жидкости в круглой трубе ламинарное течение имеет место, когда Ке ( 2000, а турбулентное — при Ке ) 2000.

Комплекс Ке получил наименование критерия режима движения и называется числом Рейнольдса. Как будет показайо в дальнейшем, этот критерий имеет весьма общее значение, характеризуя основные гидродинамические свойства потока. Таким образом, можно сказать„~что число Рейнольдеа характеризует степень устойчивости потока по отношению к внешним и внутренним возмущениям. Значение числа Ке, при котором нарушается устойчивость течения жидкости, называется критическим и обозначается символом Ке„р.

При Ке( Ке„ любыв;возмущения, возникающие в потоке, с течением времени затухают и не могут изменить общий ламинарный характер течения. Наоборот, при Ке) ) Ке„р любые, даже весьма малые, возмущения самопроизвольно возрастают и приводят к неустойчивости течения, т. е. к турбулизации потока. Опыты показали, что путем удаления источников возмущений можно искусственно затянуть ламинарное движение в области значений числа Ке )> )) Ке„р. Таким образом удавалось сохранять ламинарное течение в круглой трубе при Ке до 50 000.

Однако при этом малейшее возмущение мгновенно нарушало устойчивость такого течения и переводило его в турбулентное. На значение Ке„р существенно влияет форма потока. Например, в сходящихся каналах (конфузоры) критическое значение числа Рейнольдса больше, чем в цилиндрической трубе, а', в расширяющемся потоке (диффузоре) это число может быть весьма малым. 4зк УРАИНЕНИЯ ОСРЕДНЕННОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ рр= в +У, (4.2.1) где ю — вектор осредненной скорости в данной точке потока; У вЂ” вектор пульсационной составляющей истинной скорости, дающий отклонение этой скорости по величине и направлению от осредненного значения.

Значение ос- редненной скорости потока в данной точке определяется интегралом 1 г ~ч = — ий, л~ (4.2.2) 27 Турбулентное течение характеризуется беспорядочным перемещением внутри потока отдельных объемов жидкости, существенно ббльших тех, к которым еще можно применить понятие дифференциального объема сплошной среды. Следовательно, общие уравнения гидродинамикн приложимы и к турбулент,ному течению. При этом необходимо тем или иным способом учесть статистическую природу турбулентности. Опыт показывает, что инерционные приборы (например, трубка Пито), помещенные в турбулентный поток, дают достаточно устойчивые во времени показания, т. е.

значения скоростей и температур в турбулентном потоке за достаточно большой промежуток времени в среднем остаются постоянными. Таким образом, при установившемся осредненном движении потока его средняя за некоторый промежуток времени М скорость течения ш остается постоянной, истинные же (актуальные) скорости элементов потока непрерывно отклоняются от этого среднего значения как по величине, так и по направлению.

Наблюдать эти отклонения можно с помощью термоанемометра, доплер-лазерного анемометра, электронного стробоскопа и других малоинерционных методов. Актуальную скорость можно представить в виде суммы где промежуток времени М должен быть достаточно большим по сравнению с периодом пульсации скорости, чтобы для различных промежутков времени результат осреднения был один и тот же. Отсюда очевидно, что ~ ч((=о, (4.2.3) ьс поскольку за период И все пульса((ионные составляющие скорости взаимно компенсируются. Пульсации скорости вызывают в по(гоке также пульсации давления, температуры (в случае теплообмена), концентрации растсм)ренного ве)цества (в случае диффузии) и т. п. Связь между пульсационнымм составляющими и осредненными значениями этих величин может быть определеца по формулам эвго же типа, что приведенные выше выражения (4.2.1) и (4.2.2) для скорости течения.

Так как турбулентные пульсации согласно всем имеющимся наблюдениям не упорядочены, то, следовательно, осредненные характеристики турбулентного потока имеют статистическую природу, аналогично параметрам системы, состоящей из большого числа беспорядочно перемещающихся частиц, с тем, однако, принципиальным отличием, что сами элементы турбулентного потока не являются устойчивыми в пространстве и времени.' Обозначим пульсацию плотности через 6 и пульсацию расхода через у: в,= пс„+У„; ви — — юг+)7„; пс,=ш,+У,; Р=, +Ь; Рвх = Рп>„+)х; Рвх Рви +Ь Р в» = Р пс» +!» (4.2.4) дРвх + дРвхвх + дРвгв» + дРв,вх дР, 2 д двх + д( дх ду дг дк дк дк (4.2.б) Аналогичные выражения могут быть составлены н для двух других проекций.

Осредненное уравнение сплошностн имеет вид дс дг ду дг (4.2.7) 28 Принимая во внимание уравнение сплошности (3.2.2), можно написать, что Р * д(р -) + д(р * х) д(рвгв) д(р™*вх) Р + т т > »(с >СС дк . ду дг Р— = Рви д(Раг) + д(рвх в») ( д(Рвивг) + д(рв» вг) . (4 2 3) сп дх' ду дг Рв» д (Рв») д (Рвх в») ) д (РЯ'у в») ) д (Рв» в») Р ( ссс дс дк ду дг Подставим эти значения проекций вектора р):)я>/с(( в уравнения (3.3.3) и произведем по типу (4.2.2) операцию осреднения по времени величин, входящих в эти уравнения.

Получим Далее, следуя Рейнольдсу, примем следующие правила осреднения. 1. Вторичное осреднение по той же переменной не изменяет значения, полученного после первого осреднения, т. е. если Ф= — ~ рг(г, (4.2.8) то 1 Р— р= — ~ 4ч(Г=Ч ьс (4.2.9)~ Последнее означает, что на отрезке И величина <р может рассматриваться нли как постоянная, или как линейная функция времени.

2. Осреднеиное произведение асредненного значения на актуальное значение равно произведению осредненных значений, т. е. Й=чФ (4.2.101 3. В соответствии с равенством (4.2.3), если пульсационная составляющая величины <р есть Ф, то ~ ФИ=О. (4.2.1 1) ьс При этом значение И существенно больше периода пульсации. Принимая во внимание эти соотношения, находим рго„' го„= (рш„+1'„) (го +У ) =рв„го„+1„'о'; ри == (р+б) (в„+1'„) = рв„+Я~„. Соответственно (4.2.12) уОвх дувх д — — д — — д + ргохшх+ — Ршгшх+ ргогшх+ дг дг дх' ду " дг д д —., д )х х + д !у х + д !г х (4.2.13) двх двх двх — двх др х ) х 1 х ) х дг дх " ду * дг дх [дг д д " д д дв„д Г двх дву т д / двх двг +2 „° р' " + — '+ — р' — "+ дх дх ' ду ( ду дх ) дг ( дг дх ) 2 д ! двх двг двк 1 — — — р~ — "+ — "-+ — *); 3 дх ( дх ду дг ) — двд — дво — дву — дво ду +рш +р +~ + дг дх ду * дг ду +Я ( — 8),)++(-1.),)+ —,'„( — 1,)',)+ —,' ( — 1,),)1+ д годви двх~ д дво д /дво дв, ~ л- — р — "-~- — ' -)-2 — и — + — р~ — -1- — ' дх (дх ' ду) ду' ду дг (дг ду) 2 д Г дв„дву д|о, 1 — — — р ( — *+ — + — '); 3 ду ( дх ду дг (4.2.14) Подставив эти выражения в уравнение (4.2.6) и приняв во внимание уравнение сплошности (4.2.7), получим уравнения осредненного движения сжимаемой жидкости в следующем виде: до~, — до~, — дмг ди~г др, — +Ргах — +Ргуг — +Ргвг = КР + д~', " дх ' " ду дг дг +[ — ( — бУ,)+ — ( — )„У,) + — ( — !гУ,) + — ( — 1,1',)1+ д / дггг д~ох ~ д / да~г дму 1 д долг хс — р( — '+ — *)+ — р( — *+ — ~+2 — и — '— дх ( дх дг ! ду ( ду дг 7 дг ' дг Пульсации расхода связаны с пульсациями плотности и скорости соотно~шениями вида 1~ Ух=((Р+6) М+У1) — Ршв) Уь=РУ~ Уа+ш~бУд+М';Уд.

(42.15) Если плотность и вязкость жидкости остаются неизменными при изменении р и Т, тор = сопз1, 1г = сопз1, б = О, и уравнения (4.2.14) и (4.2.7) переходят л известные уравнения Рейнольдса: Рмх ' дг др — — — + Рч .+[, ( РУ.)+, ( РУгУ.) + дх ду дх ( — р1,1„)1; =- — — + рт7' гр, + ( — ( — РУ„Уу) + — ( — Р1'„) + ( Р ' Уг)~ ' д 1-— дг Рмг дг д дг (4.2.16) Рв, Р ' =ар — — +р1" ш,+[ — ( — РУ.У.) + дг дг 1 дх д * д ду дг дмх дггр, дгрг — "+ — + — = О. дх ду дг — — +р — + — ( — РУ„У„) =О. др дгм дх ду' ду (4.2.1Л Введя обозначение для турбулентных касательных напряжений ЙО тг= — РУ У„=рт— ду (4.2.18) и заметив, что др дт Р в 0 / ~йФ~ — = — =р — + — ~р.— ~, д ду ду ду '1 ду)' (4.2.19) Из этих уравнений видно, что в осредненном движении пульсации скорости вызывают появление членов, стоящих в квадратных скобках и аналогичных по смыслу членам вязкого трения.

Они называются членами турбулентного трения и выражают потерю энергии в результате переноса количества движения значительными (молярными) объемами жидкости, перемещающимися вследствие пульсации скорости в потоке. Нагляднее всего можно пояснить эту мысль на примере установившегося плоского потока, осредненное движение которого параллельно оси х, а скорость тр является функцией только координаты у. В этом случае из уравнений (4.2.16) следует, что получим выражение для суммарных касательных напряжений т = ((х+ рг) г( гуФу (4.2.20) Величина (хг рассматривается при этом как некоторый коэффициент турбулентной «вязкости» и называется коэффициентом турбулентного переноса количества движения. Следует отчетливо представлять, что величина рг, так же как и аналогичные ей коэффициенты турбулентного переноса теплоты и массы, о которых будет идти речь в дальнейшем, отнюдь не является неким физическим свойством текущей среды. Так, в потоке жидкости с постоянными Р и р величина рг зависит от абсолютного значения Р, числа Рейнольдса потока и координат.