Основы теории теплообмена Кутателадзе С.С., страница 12

Рассматривая плоское ребро (площадь сечения и периметр стержня не меняются вдоль координаты х), можем написать: (7.5.2) сР Т/г/нн = мР (Т вЂ” Т0))/)'О . Температура вдоль стержня непрерывно меняется, причем максимально возможное ее изменение лежит в пределах от Т, до Т,. Нетрудно убедиться, что частное решение дифференциального уравнения (7.5.2), удовлетворяющее указанному характеру рассматриваемого физического процесса, может быть представлено в виде экспоненциальной функции (7.5.3) Т вЂ” Тв = С ехр (тн), где С и т — постоянные.

Дифференцирование этого уравнения дает (7.5.4) он Т/г(н' = Ст' ехр (тн). 52 Подставляя эти значения Т вЂ” Т, и УТЫхх в уравнение (7.5.2), получаем Ст'ехр (тх) =(аР!)с[)) Сехр (тх), ' откуда т = .(-Р'аР)).К (7.5.5) Следовательно, уравнению(7.5.2) удовлетворяют два частных решения типа (7.5.3). В одном решении показатель экспоненты положителен, а в другом— отрицателен. Как известно, общим решением рассматриваемого дифференци- ального уравнения является сумма его частных решений, т.

е. Т вЂ” Т,=С,ехр(тх)+С,ехр( — тх), (7.5.6) где т — положительное значение корня (7.5.5). Постоянные интегрирования С, и С, определяются из граничных условий в начале и конце стрежня. При х= 0 Т = Т,. При определении температуры на свободном торце стержня (х = Ь) необходимо учесть, что количество тепла, передаваемого к этому торцу за счет теплопроводности вдоль стержня, отдается через поверхность торца в окружающую среду, т.

е. е (с]Т)йх)е = ас (Тс — Те). (7.5.7) Из первого граничного условия имеем Т, — Т, = С„+ С,. Отсюда Т вЂ” Т,= = С, [ехр (тх) — ехр ( — тх)]+ (Т, — Т,) ехр ( — тх). Используя условие (7.5.7), находим, что (с]Т]с]х) с = т (С, [ех р (т( ) + ех р ( — тЬ)) — (Т, — Т,) ехр ( — тЕ)); кроме того, Ть — Т, = С, [ехр (тй) — ехр ( — т1.)[ -]-(Тх — Т,) ехр ( — т(.). Подставляя значения (г[Т)с]х)ь и Тс — Т, в уравнение (7.5.7) и вводяобоз- начение и = ас()т = + ~/асе [))а)сР, (7.5.8) получаем значение первой константы интегрирования: С,=(т,— Т,) (1 — л) ехр ( — т() ехр (т))+ехр ( — т()+л [ехр (тЕ) — ехр (-тЕ)! Соответственно С,=-(Т,— Т,) (1+ л) ех (т(.) ехр (т() +ехр ( — тС) + л [ехр (тЕ) — ехр ( — т( В Таким образом, окончательно получаем Т Т ! (Т 7 ) (1 — «)ехР1 — ~(~ — хИ+(1+л)ехв!т(1 — хН 2 [сн (тс) — л еь (т(.) ] Т Т + Гх — То (7.5.10) сь (т(.) — л хн (тд) Когда теплоотдача от свободного торца стержня мала или торец хорошо изолирован, можно положить ас = О.

В этом случае л = 0 и соответственно ехр ! — т (Š— х)]+ехр1т ((.— «В (7.5.12) сь (тс) Раскрывая значение с]1 (тЕ), перепишем формулу (7.5.11) следующим образом: Т=Т, ] (Т,— Т)~ ехР( т~) -!. ехР(т~11/[ЕХр(тц ]-ЕХр( — тй)!. 1 ехр( — тх) ехр(тх) ]/ 53 (7.5.16) 7.6. ПРЯМОЕ РЕБРО ПОСТОЯННОГО ТЕПЛОВОГО НАПРЯЖЕНИЯ В ребре постоянной толщины плотность теплового потока резко уменьшается вдоль оси х. Так, например, закону распределения температуры по длине бесконечного стержня, выражаемого формулой (7.5:13), соответствует закон изменения плотности теплового потока д = — Лг(Т?г(х = Лгп(Т,— Т,) ехр ( — тх). (7.6.1) Очевидно, что материал ребра использовался бы более эффективно, если бы теплонапряжение единицы его поперечного сечения оставалось постоянным или почти постоянным.

Зададимся условием, чтобы плотность теплового потока д =- (Лш~„, (Т, — Т,) (7.6.2) оставалась постоянной вдоль всего ребра, а на свободном конце ребра установилась температура, практически равная температуре окружающей среды. При этом условии Т =- Т,— дх/Л; 4=(Т,— Т,) Л?и, (7.6.3) где 1. — высота ребра. При достаточно широком ребре, когда его ширина г?))6, можно положить Р=2(Н+б) ж 2Н; й =- ЬН ж 6Р/2; пт = ЦlаР?ЛО)„=, ж Р' 2а! Лб„ (7.6.4) где 6 — толщина ребра у его основания. Воспользовавшись уравнениями (7.6.3) и (7.6.4), находим, что в рассматриваемом случае высота ребра и его толщина у основания должны находиться в определенном соотношении, а именно: 7-!6,=(2В1) ыз, (7.6.5) где В1 =ад„!Л. 64 При стержне бесконечной длины (1.

= со), ехр ( — тЛ) = О и Т = Т, +(Тт — Т,) ехр ( — 'тх). (7.5.13) Последняя формула дает распределение температур вдоль стержня весьма большой длины по сравнению с его поперечным сечением (теоретически бесконечно длинный стержень). Количество тепла, отдаваемое стержнем окружающей среде, равно количеству тепла, втекающему в стержень через его закрепленный торец: 9 ЛО (г(Т) (х) = о (7.5.14) Дифференцируя уравнение (7.5.9) и подставляя полученное значение г(ТЫх при х = О в уравнение (7.5.14), получаем: а) теплоотдача стержня конечной длины (?.5.1 5) сь (тЕ) + и зь (тЕ) б) теплоотдача стержня с изолированным свободным торцом Я = Л()т (Т, — Т,) !1) (тЕ.); в) теплоотдача стержня бесконечной длины а -Лиш(Т,— Т,), (7.5.1 7) где т имеет положительное значение по формуле (7.5.5).

Подставляя в уравнение (7.5.1) значение Т из системы (7.5.3) и принимая во внимание, что в тонких ребрах (Ю/г(х)е сс 1, после интегрирования получаем — = 1+ В1 ( — ) — 2В)— (7.6.5) ба ~ бо / бе бо Подставляя в это уравнение значение Т./ба из выражения (7.5.5), находим, что толщина свободного торца ребра бс = 0,5 6,. Обычно в целях большей простоты изготовления параболический профиль ребра заменяется трапециевидным. 7.7.

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПРЯМОМ ТРАПЕЦИЕВИДНОМ И В ПЛОСКОМ КРУГЛОМ РЕБРАХ Схемы этих задач с указанием систем координат даны на рис. 7.З и 7.4. Толщина прямого трапециевидного ребра 6 = 2х 1е гр. Подставляя значение 6 в выражение (7.6.4) для й и далее в (7.5.1), получаем уравнение их с(в д Ы21 + с(б/с(зг — д = О. (7.7.1) Здесь и 3== ах 1/1+си'~р х1к~р т — т т — т Для плоского круглого ребра й=2пйб; Р=4яй; йх.= И. Подставляя эти величины в (7.5.1), приходим к уравнению охб ! оЭ вЂ” + — — — 0=0, оаа аа оае где ив = /7)х Хб/2а — текущий безразмерный радиус. (7.7.2) Рис. 7.3.

Схема трапепиевидиого ребра Рис. 7.4. Схема круглого ребра р! 55 Решения двух последних уравнений известны и даются в цилиндрических .функциях. Решения эти громоздки, и их удобнее представлять в виде расчетных графиков (рис. 7.5 — 7.7). На рис. 7.5 е = 9г'/РЯ', где с/ — тепло, отдаваемое ребром, Вт; Я' — то же по формуле (7.5.15), Вт; Р— поверхность рассчитываемого ребра, м', Г— поверхность прямоугольного ребра, длина, высота и толщина которого равны гдб йвб Орб О ОЕ 0,4 О,б 00 Ф Рис.

7.5. График для расчета количества тепла, отводимого трапециевидным ребром О,О О; б '-'00 О,б 0 Ол Оч' Об Об д~ Рис. 7.6. График для расчета количества тепла, отводимого круглым ребром Рис. 7.7. График для расчета количества тепла, отводимого коническим шалом 7.6. кОэФФициент эФФектиВнОсти Ореврения Применение оребрения поверхности нагрева особенно эффективно в тех случаях, когда коэффициент теплоотдачи от одной среды существенно больше, чем коэффициент теплоотдачи к другой среде.

Так, например, оребрение труб весьма эффективно, когда внутри трубы течет вода или жидкий металл, а с внешней стороны — газ. Применяется оребрение и со стороны жидкости и даже конденсирующихся паров, имеющих малые коэффициенты теплоотдачи (некоторые холодильные агенты). Для односторонне оребренной поверхности можно составить систему уравнений: 0:=, Е (Т вЂ” Т„,); а = () „А,)Е (Т„,,— Т„а); (7.8.1) Здесь Š— основная поверхность теплообмена; Еор — поверхность оребрения; Š— коэффициент эффективности оребрения.

Решая эту систему уравнений, получаем (7.8.2) длине, высоте и средней толщине рассматриваемого ребра, м'. На том же ри~у~ке ба =- (Т, — Та)!(Т, — Т,). На рис. 7.6. е ==- Я/Ед, гдег7 — количество тепла, передаваемого с единицы поверхности прямоугольного ребра длиной 1 м и толщиной, равной толщине данного круглого ребра. На рис. 7.7 Я = (л0а!2) (Тг — То) 7 В. о,у 2, арф ~/~ (л+а1Эг пг) Рис.

7.8. Коэффициент эффективности круглых ребер с цилиндрическим осно- ванием где )е =- (1!а, + 6„7).„+ ЕЪэ (Е + ЕЕ,в)) '. Отсюда отчетливо видно, что при ест )) ае общий коэффициент теплопередачи можно существенно увеличить путем оребрения так, чтобы имело место условие ЕГ,п )) Е.

Коэффициент эффективности оребрения Е всегда меньше единицы, поскольку средняя температура поверхности ребра меньше температуры у его основания. Поскольку температура у основания ребра Т, совпадает с температурой основной поверхности теплообмена Е, то количество тепла, переданное оребрением, будет равно 1~оп = ссЕо» (Тх Тэ) Е. (7.8.3) Рис.

7.9. Коэффициент эффективности квадратных ребер с цилиндрическим основанием и ребер с прямым основанием (ф=0,9 для прямых и поперечных ребер иа овальной трубе; ф=085 для поперечных ребер йа круглых трубах) 57 Отсюда в соответствии с формулой (7.5.15) для прямого ребра постоянной тол- щины (7.8.4) На рис. 7.8 и 7.9 приведены составленные Э.С.

Карасиной графики для определения Е круглых поперечных ребер, квадратных поперечных ребер и ребер с прямым основанием. На рис. 7.9 дан также график для определения коэффициента ед, на который следует умножить величину Е в случае трапециевидного сечения ребра. 7.9. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В СТЕРЖНЕ И ШАРЕ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА Внутренние источники тепла могут возникать при прохождении через тело электрического тока, при фазовых переходах, химических превращениях, радиоактивном распаде, внутреннем трении и т. п. Вычислим распределение температур в плоской стенке и цилиндрическом стержне с равнораспределенными внутренними источниками, т.